Реактивное движение. Пример расчёта массы ракеты

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеетудельный импульсм/c. Коэффициент– это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массуракеты-носителя.

Первая космическая скоростьдля выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь – вдвое ниже). Характеристическая скорость, таким образом, равнам/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина. Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно.

Расчёт для двухступенчатой ракеты.

Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двухступенчатой ракеты м/c. На этот раз, что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения,

для 2-й ступени получаем:

т;

т;

полная масса 2-й ступени составляет 55,9 т.

Для 1-й ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-й ступени, и после соответствующей подстановки получаем:

т;

полная масса 1-й ступени составляет 368,1 т;

общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит 10 + 55,9 +368,1 = 434 т.

Аналогичным образом выполняются расчёты для большего количества ступеней. В результате получаем:

Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит 323,1 т.

Четырёхступенчатой – 294,2 т.

Пятиступенчатой – 281 т.

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатостьв ракетостроении: при той же конечной скорости ракета с большим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это – сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями – переходниками – несущими конструкциями. Каждая из них должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значениеперегрузки, которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента, а, вместе с ним, и положительного эффектамногоступенчатости. В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Анализ баллистических возможностей ракет говорит о следующем:

При этом приращения скорости, сообщаемые ступенями для двух- и трехступенчатых ракет, имеют различные пропорции (табл. 2).

Оптимальное соотношение масс ступеней зависит от коэффициента тяговооруженности, представляющего собой отношение тяги двигателя к начальной массе ракеты. Поэтому для анализа влияния различных параметров ракеты на оптимальное соотношение масс ступеней обычно рассматривают скорость полета, определяемую с учетом величины коэффициента тяговооруженности. При баллистическом проектировании в качестве предварительных можно принимать соотношения масс ступеней, как в табл. 3.

Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования – при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции. Формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке, и т.д., с целью контроля достижения ракетой заданной скорости.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от, проверенной 23 февраля 2018; проверки требуют.

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур (англ. William Moore ) в 1810-1811 годах, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университета в 1856 году.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы :

Как видно из таблицы, гравитационная составляющая является наибольшей в общей величине потерь. Гравитационные потери возникают из-за того, что ракета, стартуя вертикально, не только разгоняется, но и набирает высоту, преодолевая тяготение Земли, и на это также расходуется топливо. Величина этих потерь вычисляется по формуле:

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

Наибольшая часть потерь на управление ракеты приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Выведенная в конце XIX века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса .

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

Данный расчет является упрощенным и не учитывает затрат на изменение потенциальной энергии тела, и при его прямом применении возникает иллюзия, что затраты уменьшаются с ростом высоты орбиты. В реальности без учета потерь на сопротивление атмосферы и гравитационных потерь за время вывода на орбиту потребная скорость (мгновенно приданная телу на уровне нулевой высоты над поверхностью) оказывается выше. Её можно примерно определить, применив закон сохранения механической энергии (гипотетическая эллиптическая орбита с перицентром в точке касания Земли и апоцентром на высоте целевой орбиты):

Это приближение не учитывает импульсов на переход с круговой орбиты Земли на эллиптическую и с эллиптической на новую круговую, а также применимо только к хомановским переходам (то есть применение для параболических и гиперболических переходов не работает), но много точнее, чем просто принимать за потребную скорость первую космическую для широкого диапазона высот НОО.

Тогда на высоте 250 км потребная скорость для вывода составит 8,063 м/с, а не 7,764, а для ГСО (35 786 км над уровнем Земли) - уже 10,762 м/с, а не 3,077 м/с, как было бы при игнорировании затрат на изменение потенциальной энергии.

Для первой ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса второй ступени; после соответствующей подстановки получаем:

Таким образом, полная масса первой ступени составляет 368,1 т, а общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит 10+55,9+368,1 = 434 т. Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем, что стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит 323,1 т, четырёхступенчатой - 294,2 т, пятиступенчатой - 281 т.

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении: при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования - при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке , и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Космонавтика регулярно достигает ошеломительных успехов. Искусственным спутникам Земли постоянно находятся все более разнообразные применения. Пребывание космонавта на околоземной орбите стало обычным явлением. Это было бы невозможно без главной формулы космонавтики - уравнения Циолковского.

В наше время продолжается изучение как планет и других тел нашей Солнечной системы (Венеры, Марса, Юпитера, Урана, Земли и пр.), так и удаленных объектов (астероиды, другие системы и галактики). Умозаключения о характеристике космического движения тел Циолковского положили начало теоретическим основам космонавтики, которые привели к изобретению десятков моделей электро-реактивных двигателей и крайне интересных механизмов, например, солнечного паруса.

Основные проблемы освоения космоса

В качестве проблем освоения космоса четко выделяются три области исследования и разработок в науке и технике:

1. Полеты около Земли или конструирование искусственных спутников.
2. Лунные полеты.
3. Планетарные полеты и полеты к объектам Солнечной системы.

Уравнение Циолковского для реактивного движения способствовало тому, что человечество в каждой из этих областей достигло удивительных результатов. А также появилось множество новых прикладных видов наук: космическая медицина и биология, системы жизнеобеспечения на космическом аппарате, космическая связь, и др.

Большинство людей сегодня слышали об основных достижениях: первая высадка на луну (США), первый спутник (СССР) и подобное. Помимо самых известных достижений, которые у всех на слуху, существует много и других. В частности, СССР принадлежат:

• первая орбитальная станция;
• первый облет Луны и фотографии обратной стороны;
• первая посадка на Луну автоматизированной станции;
• первые полеты аппаратов к другим планетам;
• первая посадка на Венеру и Марс и пр.

Многие даже не представляют, насколько огромными были достижения СССР в сфере космонавтики. Во всяком случае, они были значительно больше, чем просто первый спутник.

Но и США внесли не меньший вклад в развитие космонавтики. В США провели:

• Все крупные достижения в использовании околоземной орбиты (спутники и спутниковая связь) для научных целей и решения прикладных задач.
• Множество экспедиций на Луну, исследования Марса, Юпитера, Венеры и Меркурия с расстояния пролетных траекторий.
• Множество научных и медицинских экспериментов, проводимых в невесомости.

И хотя на данный момент достижения других стран меркнут на фоне СССР и США, но Китай, Индия и Япония активно присоединились к изучению космоса в период после 2000 года.

Однако достижения космонавтики не ограничиваются только верхними слоями планеты и высокими научными теориями. На простую жизнь она тоже оказала большое влияние. В результате изучения космоса в нашу жизнь пришли такие вещи: молния, липучка, тефлон, спутниковая связь, механические манипуляторы, беспроводные инструменты, солнечные батареи, искусственное сердце и многое другое. И именно формула скорости Циолковского, которая помогла преодолеть гравитационное притяжение и способствовала появлению в науке космической практики, помогла всего этого добиться.

Термин "космодинамика"

Уравнение Циолковского легло в основу космодинамики. Однако следует разобраться с этим термином подробнее. Особенно в вопросе близких к нему по смыслу понятий: космонавтика, небесная механика, астрономия и др. Космонавтика переводится с греческого "плавание во Вселенной". В обычном случае этим термином обозначается масса всех технических возможностей и научных достижений, позволяющих изучать комическое пространство и небесные тела.

Космические полеты - это то, о чем человечество мечтало столетиями. И эти мечты превратились в реальность, из теории - в науку, а все благодаря формуле Циолковского для скорости ракеты. Из трудов этого великого ученого нам известно, что теория космонавтики стоит на трех столпах:

1. Теория, описывающая движение космических аппаратов.
2. Электро-ракетные двигатели и их производство.
3. Астрономические знания и исследования Вселенной.

Как уже ранее отмечалось, в космическую эру появилось множество других научно-технических дисциплин, таких как: системы управления космическими кораблями, системы связи и передачи данных в космосе, навигация в космическом пространстве, космическая медицина и многое другое. Стоит отметить, что во времена зарождения основ космонавтики даже не было как такового радио. Изучение электромагнитных волн и передачи на большие расстояния с их помощью информации только начиналось. Поэтому основатели теории серьезно рассматривали в качестве способа передачи данных световые сигналы - отраженные в сторону Земли солнечные лучи. Сегодня невозможно представить космонавтику без всех смежных с ней прикладных наук. В те далекие времена воображение ряда ученых действительно поражало. Помимо способов связи ими также затрагивались такие темы, как формула Циолковского для многоступенчатой ракеты.

Можно ли выделить среди всего многообразия какую-либо дисциплину в качестве главной? Ею является теория движения космических тел. Именно она служит главным звеном, без которого невозможна космонавтика. Эту область науки принято называть космодинамикой. Хотя у нее существует множество тождественных названий: небесная или космическая баллистика, механика полета в космосе, прикладная небесная механика, наука о движении искусственных небесных тел и т. д. Все они обозначают одну и ту же область изучения. Формально космодинамика входит в небесную механику и использует ее методы, однако есть крайне важное отличие. Небесная механика только изучает орбиты у нее нет возможности выбора, а вот космодинамика призвана определять оптимальные траектории достижения тех или иных небесных тел космическими аппаратами. И уравнение Циолковского для реактивного движения позволяет кораблям определить как именно можно влиять на траекторию полета.

Космодинамика как наука

С тех пор, как К. Э. Циолковский вывел формулу, наука о движении небесных тел прочно оформилась как космодинамика. Она позволяет космическим кораблям пользоваться методами поиска оптимального перехода между разными орбитами, что называется орбитальным маневрированием, и является основой теории передвижения в космосе, точно так же как базой для полетов в атмосфере является аэродинамика. Однако она не единственная наука, занимающуюся данным вопросом. Помимо нее существует еще и ракетодинамика. Обе эти науки составляют прочную основу для современной космической техники и обе входят в раздел небесной механики.

Космодинамика состоит из двух основных разделов:

1. Теория о движении центра инерции (масс) объекта в космосе, или теория о траекториях.
2. Теория о движении космического тела относительно его центра инерции, или теория вращения.

Чтобы разобраться что представляет собой уравнение Циолковского, нужно хорошо понимать механику, т. е. законы Ньютона.

Первый закон Ньютона

Любое тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое до тех пор, пока приложенные к нему внешние силы не вынудят его изменить это состояние. Иными словами вектор скорости такого движения остается постоянным. Такое поведение тел также называется инерциальным движением.

Любой другой случай, при котором происходит какой-либо изменение вектора скорости, означает, что тело обладает ускорением. Интересным примером в данном случае является движение материальной точки по окружности или любого спутника по орбите. В данном случае происходит равномерное движение, но не прямолинейное, ведь вектор скорости постоянно меняет направление, а значит, ускорение не равно нулю. Данное изменение скорости можно вычислить по формуле v 2 / r, где v - постоянная величина скорости, а r - радиус орбиты. Ускорение в этом примере будет направлено к центру окружности в любой точки траектории движения тела.

Исходя из определения закона, причиной изменения направления материальной точки может быть только сила. В ее роли (для случая со спутником) выступает гравитация планеты. Притяжение планет и звезд, как легко можно догадаться, имеет большое значение в космодинамике в целом и при использовании уравнения Циолковского, в частности.

Второй закон Ньютона

Ускорение прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела. Или в математической форме: a = F / m, или более привычно - F = ma, где m - это коэффициент пропорциональности, который представляет собой меру для инерции тела.

Так как любая ракета представляется, как движение тела с переменной массой, уравнение Циолковского будет изменяться каждую единицу времени. В вышеописанном примере о спутнике, движущемся вокруг планеты, зная его массу m, можно легко выяснить силу, под действием которой он вращается по орбите, а именно: F = mv 2 /r. Очевидно, что данная сила будет направлена к центру планеты.

Возникает вопрос: почему спутник не падает на планету? Он не падает, так как его траектория движения не пересекается с поверхностью планеты, потому что природа не заставляет его двигаться вдоль действия силы, ибо ей сонаправлен только вектор ускорения, а не скорости.

Также следует отметить, что в условиях, когда известна сила, действующая на тело, и его масса, можно выяснить ускорение тела. А по нему математическими методами определяется путь, по которому двигается это тело. Здесь мы приходим к двум основным задачам, решением которых занимается космодинамика:

1. Выявление сил, при помощи которых можно манипулировать движением космического корабля.
2. Определение движения этого корабля, если известны действующие на него силы.

Вторая задача является классическим вопросом для небесной механики в то время, как первая показывает исключительную роль космодинамики. Поэтому в данной области физики помимо формулы Циолковского для реактивного движения крайне важно понимать ньютоновскую механику.

Третий закон Ньютона

Причиной силы, действующей на какое-либо тело, всегда является другое тело. Но верно также и обратное. В этом заключается суть третьего закона Ньютона, который гласит, что всякому действию есть действие, равное по величине, но противоположно направленное, называемое противодействием. Другими словами, если тело А действует с силой F на тело B, то тело B действует на тело А с силой -F.

В примере со спутником и планетой третий закон Ньютона приводит нас к пониманию того, что с какой силой планета притягивает спутник, точно с такой же спутник притягивает планету. Данная сила притяжения ответственна за придание ускорения спутнику. Но она также придает ускорение и планете, но ее масса так велика, что данное изменение скорости ничтожно мало для нее.

Формула Циолковского для реактивного движения полностью строится на понимании последнего закона Ньютона. Ведь именно за счет выбрасываемой массы газов основное тело ракеты приобретает ускорение, которое позволяет ему двигаться в нужном направление.

Немного о системах отсчета

Рассматривая какие-либо физические явления, сложно не затрагивать такую тему, как систему отсчета. Движение космического корабля, как и любого другого тела в пространстве, может фиксироваться в разных координатах. Не существует неправильных систем отсчета, есть лишь более удобные и менее. Например, движение тел в Солнечной системе лучше всего описывать в гелиоцентрической системе отсчета, то есть в координатах, связанных с Солнцем, также именуемых системой Коперника. Однако движение Луны в данной системе рассматривать менее удобно, поэтому ее изучают в геоцентрических координатах - отсчет ведется относительно Земли, это называется системой Птолемея. А вот, если стоит вопрос в том, попадет ли пролетающий рядом астероид в Луну, удобнее будет использовать опять гелиоцентрические координаты. Важно уметь пользоваться всеми координатными системами и быть способным смотреть на задачу с разных точек зрения.

Ракетное движение

Основным и единственным способом передвижения в космическом пространстве является ракета. Впервые этот принцип был выражен, по данным сайта "Хабр", формулой Циолковского в 1903 году. С тех пор инженеры космонавтики изобрели десятки видов ракетных двигателей, использующих самые разнообразные виды энергии, но все они объединены одним принципом работы: выбрасывание части массы из запасов рабочего тела для получения ускорения. Силу, которая образуется в результате данного процесса, принято называть силой тяги. Приведем некоторые умозаключения, которые позволят прийти к уравнению Циолковского и выводу его основной формы.

Очевидно, что тяговая сила будет увеличиваться в зависимости от объемов выбрасываемой из ракеты массы в единицу времени и той скорости, которую удается этой массе сообщить. Таким образом, получается соотношение F = w * q, где F - тяговая сила, w - скорость отбрасываемой массы (м/с) и q - масса, расходуемая в единицу времени (кг/с). Стоит отдельно отметить важность системы отсчета, связанной именно с самой ракетой. В противном случае невозможно характеризовать силу тяги ракетного двигателя, если измерять все относительно Земли или других тел.

Исследования и эксперименты показали, что соотношение F = w * q остается справедливым только для случаев, когда выбрасываемая масса представляет собой жидкость или твердое тело. Но в ракетах используется струя раскаленного газа. Поэтому в соотношение нужно ввести ряд поправок, и тогда получим дополнительный член соотношения S * (p r - p a), который суммируется с изначальным w * q. Здесь p r - давление, оказываемое газом, на срезе сопла; p a - атмосферное давление и S - площадь сопла. Таким образом, уточненная формула будет выглядеть следующим образом:

F = w * q + Sp r - Sp a.

Откуда видно, что по мере набора высоты ракетой атмосферное давление будет становиться меньше, а сила тяги - возрастать. Однако физики любят удобные формулы. Поэтому зачастую используется формула, похожая на свою первоначальную форму F = w э * q, где w э - эффективная скорость истечения массы. Она определяется экспериментальным путем во время испытания двигательной установки и численно равна выражению w + (Sp r - Sp a) / q.

Рассмотрим понятие, тождественное w э - удельный импульс тяги. Удельный - значит относящийся к чему-то. В данном случае это к гравитации Земли. Для этого в вышеописанной формуле правая часть умножается и делится на g (9,81 м/с 2):

F = w э * q = (w э / g) * q * g или F = I уд * q * g

Измеряется данная величина I уд в Н*с/кг или что тоже самое м/с. Иными словами удельный импульс тяги измеряется в единицах скорости.

Формула Циолковского

Как легко можно догадаться, помимо тяги двигателя на ракету действует множество других сил: притяжение Земли, гравитация других объектов Солнечной системы, атмосферное сопротивление, давление света и т. д. Каждая из этих сил придает свое ускорение ракете, а суммарное из действие сказывается на итоговом ускорение. Поэтому удобно ввести понятие реактивного ускорения или a r = F т / M, где М - масса ракеты в определенный период времени. Реактивное ускорение - это ускорение, с которым двигалась бы ракета при отсутствии действующих на нее сил из вне. Очевидно, что по мере расходования массы, ускорение будет увеличиваться. Поэтому есть еще одна удобная характеристика - начальное реактивное ускорение a r0 = F т * M 0 , где М 0 - это масса ракеты в момент начала движения.

Логичным будет звучать вопрос о том, какую скорость способна развить ракета в подобном пустом пространстве, после того как израсходует какое-то количество массы рабочего тела. Пусть масса ракеты изменилась от m 0 до m 1 . Тогда скорость ракеты после равномерного израсходования массы до значения m 1 кг будет определяться формулой:

V = w * ln(m 0 / m 1)

Это не что иное, как формула движения тел с переменной массой или уравнение Циолковского. Она характеризует энергетический ресурс ракеты. А скорость, получаемая данной формулой, называется идеальной. Можно записать данную формулу в ином тождественном варианте:

V = I уд * ln(m 0 / m 1)

Стоит отметить, применение Формулы Циолковского для расчета топлива. Точнее сказать, массы ракеты носителя, которая потребуется для выведения определенного веса на орбиту Земли.

В конце следует сказать и о таком великом ученом, как Мещерский. Вместе с Циолковским они являются праотцами космонавтики. Мещерский внес огромный вклад в создание теории движения объектов переменной массы. В частности, формула Мещерского и Циолковского выглядит следующим образом:

m * (dv / dt) + u * (dm / dt) = 0,

где v - скорость материальной точки, u - скорость отброшенной массы относительно ракеты. Данная соотношение также называется дифференциальным уравнением Мещерского, тогда формула Циолковского получается из нее как частное решение для материальной точки.

«Земля – колыбель человечества. Но нельзя вечно жить в колыбели». Это высказывание принадлежит русскому изобретателю, выдающемуся учёному-самоучке Константину Эдуардовичу Циолковскому.

Циолковского называют отцом космонавтики. Ещё в 1883 г. в своей рукописи "Свободное пространство" он высказывал мысль о том, что в космосе можно передвигаться с помощью ракеты. Но теорию ракетного движения он обосновал гораздо позже. В 1903 г. была опубликована первая часть труда учёного, который назывался «Исследование мировых пространств реактивными приборами». В этом труде он привёл доказательства того, что ракета является аппаратом, способным совершать космический полёт.

Научными разработками в области воздухоплавания и аэродинамики Циолковский занимался и ранее. В 1892 г. в работе «Теория и опыт аэростата» он описал управляемый дирижабль с оболочкой из металла. В те времена оболочки делали из прорезиненной ткани. Понятно, что дирижабль Циолковского мог служить гораздо дольше. Кроме того, он был оснащён системой подогрева газа и имел переменный объём. А это позволяло сохранять постоянную подъёмную силу при различных температурах окружающей среды и на различной высоте.

В 1894 г. учёный опубликовал статью «Аэростат или птицеподобная (авиационная) летательная машина», в которой описал летательный аппарат тяжелее воздуха – аэроплан с металлическим каркасом. В статье были даны расчёты и чертежи цельнометаллического самолёта с одним изогнутым крылом. К сожалению, в то время идеи Циолковского не были поддержаны в научном мире.

Многие поколения учёных мечтали о полётах за пределы Земли – на Луну, Марс и другие планеты. Но как будет двигаться летательный аппарат в космосе, где абсолютная пустота и нет опоры, оттолкнувшись от которой он получит ускорение? Циолковский предложил использовать для этой цели ракету, приводимую в движение реактивным двигателем.

Как устроен ракетный двигатель

В космическом пространстве нет ни твёрдой, ни жидкой, ни газообразной опоры. И ускорение космическому кораблю может сообщить только реактивная сила . Для появления этой силы внешние воздействия не нужны. Она возникает, когда продукты сгорания вытекают из сопла ракеты с некоторой скоростью относительно самой ракеты.

Основная часть ракетного двигателя – камера сгорания . В ней и происходит процесс сгорания топлива. В одной из стенок этой камеры есть отверстие, называемое реактивным соплом . Вот через это отверстие и выбрасываются газы, образуемые при сгорании.

Продукты сгорания топлива в двигателях называют рабочим телом. Вообще, рабочее тело – это некое условное материальное тело, расширяющееся при нагреве и сжимающееся при охлаждении. В каждом типе двигателя оно разное. Так, в тепловых двигателях, рабочее тело – это продукты сгорания бензина, дизельного топлива и др. В ракетных – продукты сгорания ракетного топлива. А топливо для ракетных двигателей также бывает разным. И в зависимости от его вида различают ядерные ракетные двигатели, электрические ракетные двигатели, химические ракетные двигатели.

В ядерном ракетном двигателе рабочее тело нагревается за счёт энергии, которая выделяется при ядерных реакциях.

В электрических ракетных двигателях источником энергии служит электрическая энергия.

Химические ракетные двигатели , в которых топливо (горючее и окислитель) состоит из веществ, находящихся в твёрдом состоянии, называются твёрдотопливными (РДТТ). А в жидкостных ракетных двигателях (ЖРД) компоненты топлива хранятся в жидком агрегатном состоянии.

Циолковский предложил использовать для полётов в космосе жидкостные ракетные двигатели. Такие двигатели преобразуют химическую энергию топлива в кинетическую энергию выбрасываемой из сопла струи. В камерах сгорания этих двигателей происходит экзотермическая (с выделением теплоты) реакция горючего и окислителя. В результате этой реакции продукты сгорания нагреваются, расширяются и, разгоняясь в сопле, истекают из двигателя с огромной скоростью. А ракета, согласно закону сохранения импульса, получает ускорение, направленное в другую сторону.

И в наше время для полётов в космосе применяют ракетные двигатели. Конечно, существуют и другие проекты двигателей, например, космический лифт или солнечный парус , но все они находятся в стадии разработки.

Первая ракета Циолковского

Люди придумали ракеты очень давно.

В конце III века до нашей эры человечество изобрело порох. А сила, возникающая при взрыве пороха, могла приводить в движение различные предметы. И пиротехнические средства стали использовать для фейерверков. Позже были созданы пушки и мушкеты. Их снаряды могли летать на вполне приличное расстояние. Но ракетами их всё-таки назвать нельзя было, так как они не имели собственного топлива. Но с их появлением возникли предпосылки для создания настоящих ракет.

Китайские «огненные стрелы», к которым прикреплялись трубки из плотной бумаги, заполненные горючим веществом и открытые с заднего конца, вылетавшие из лука при поджигании заряда, уже можно было считать ракетами.

В конце XIX века ракеты уже были на вооружении в артиллерии. Циолковский же предложил ракету – летательный аппарат, который передвигается в космическом пространстве за счёт действия реактивной тяги.

Как же выглядела первая ракета Циолковского? Это был летательный аппарат в виде металлической продолговатой камеры (формы наименьшего сопротивления), внутри которого располагались 2 отсека: жилой и двигательный. Жилой отсек предназначался для экипажа. А в двигательном отсеке находился жидкостный ракетный двигатель, работающий на водородно-кислородном топливе. Жидкий водород служил топливом, а жидкий кислород – окислителем, необходимым для горения водорода. Газы, образующиеся при сгорании топлива, имели очень высокую температуру и текли по трубам, расширяющимся к концу. Разредившись и охладившись, они вырывались из раструбов с огромной относительно ракеты скоростью. На выбрасываемую массу действовала сила со стороны ракеты. А согласно третьему закону Ньютона (закон равенства действия и противодействия) такая же сила, называемая реактивной, действовала и на ракету со стороны выбрасываемой массы. Эта сила сообщала ракете ускорение.

Формула Циолковского

Формула для вычисления скорости ракеты, обнаружена в математических трудах Циолковского, написанных им в 1897 г.

,

V - скорость летательного аппарата после выработки всего топлива:

I – отношение тяги двигателя к расходу топлива в секунду (величина, называемая удельным импульсом ракетного двигателя). Для теплового ракетного двигателя u = I.

M 1 – масса летательного аппарата в начальный момент полёта. Она включает массу самой конструкции ракеты, массу топлива и массу полезной нагрузки (например, космического корабля, который выводится ракетой на орбиту).

M 2 – масса летательного аппарата в конечный момент полёта. Так как топливо к этому времени уже израсходовано, то это будет масса конструкции + масса полезной нагрузки.

С помощью формулы Циолковского можно рассчитать количество топлива, необходимое ракете для получения заданной скорости.

Из формулы Циолковского получаем отношение начальной массы ракеты к её конечной массе:

Обозначим:

M o – масса полезного груза

M k - масса конструкции ракеты

M t - масса топлива

Масса конструкции зависит от массы топлива. Чем больше топлива необходимо ракете, тем больше резервуаров потребуется для его транспортировки, а значит, большей будет и масса конструкции.

Отношение этих масс выражается формулой:

где k – коэффициент, который показывает количество топлива на единицу массы конструкции ракеты.

Этот коэффициент может быть разным в зависимости от того, какие материалы использованы в конструкции ракеты. Чем легче и прочнее эти материалы, тем меньшим будет коэффициент, и легче конструкция. Кроме того, он зависит и от плотности топлива. Чем плотнее топливо, тем меньшие по объёмы ёмкости потребуются для его транспортировки, и тем выше значение k .

Подставив в формулу Циолковского выражения начальной и конечной массы ракеты через массы конструкции, груза и топлива, получим:

Из этого выражения следует, что величина массы топлива равна:

Зная значение удельного импульса топлива и массу полезного груза, можно рассчитать скорость ракеты.

Эта формула имеет смысл только в том случае, если

или

Если это условие не выполняется, ракета никогда не сможет достигнуть заданной скорости.

Многоступенчатая ракета

Чтобы преодолеть притяжение Земли, летательный аппарат должен развить горизонтальную скорость около 7,9 км/сек. Эта скорость называется первой космической скоростью . Получив такую скорость, он будет двигаться вокруг Земли по концентрической орбите и станет искусственным спутником Земли. При меньшей скорости он упадёт на Землю.

Чтобы покинуть орбиту Земли, аппарат должен обладать скоростью 11,2 км/сек. Эта скорость называется второй космической скоростью . А космический аппарат, получивший такую скорость, становится спутником Солнца.

Каждое небесное тело имеет свои значения космических скоростей. Например, для Солнца вторая космическая скорость равна 617,7 км/сек.

Вес топлива, необходимого для получения даже первой космической скорости, по расчётам превышает вес самой ракеты. А ведь кроме топлива, она должна нести ещё и полезный груз: экипаж, приборы и т.п. Понятно, что такую ракету построить невозможно. Но Циолковский нашёл решение и этой задачи. А что если механически скрепить вместе несколько ракет? Учёный предложил направлять в космическое пространство целый «ракетный поезд». Каждая ракета в таком «поезде» называлась ступенью, а сам «поезд» - многоступенчатой ракетой.

Двигатель первой, самой большой ступени, включается при старте. Она получает ускорение и сообщает его всем остальным ступеням, которые по отношению к ней являются полезной нагрузкой. Когда всё топливо выгорит, эта ступень отделяется от ракеты и сообщает свою скорость второй ступени. Далее таким же образом разгоняется вторая ступень, которая также отделится от ракеты, когда закончится топливо. И так будет до тех пор, пока не закончится топливо в двигателе последней ступени ракеты. Тогда и эта ступень отделится от космического корабля, а он займёт свое место на космической орбите.

Рассмотрим движение ракеты в невесомости, т.е.. Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость ракеты
. Масса ракеты вместе с топливом равна M , масса самой ракеты
. Ракета при горении топлива может выбрасывать газы со скоростью u . Какую максимальную скорость v может развить ракета при полном расходовании топлива?

Из уравнения Мещерского в этом случае получаем

md v = - udm , или

Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения

- уравнение Циолковского ,

где
- число Циолковского .

Чтобы ракета при существовавших на то время видах топлива развивала первую космической скорости 8 км /с , необходимо было иметь очень большое число
, т.е. масса топлива во много раз должна была превышать массу оболочки ракеты. Чтобы избежать этого Циолковский предложил использовать многоступенчатые ракеты. После выгорания топлива в одной ступени ракеты эта ступень отбрасывается, и начинает работать следующая ступень ракеты. Циолковский таким образом предсказал полеты человека в космическое пространство.

Момент импульса материальной точки относительно начала координат

Для простоты рассмотрим случай плоского движения, т.е. траектория движения материальной точки лежит в одной плоскости, которую мы расположим перпендикулярно плоскости листа. Выберем на плоскости начало координат О и положение материальной точки будем описывать радиус-вектором . Скорость точки , ее импульс
, ускорение , и сила будут расположены в плоски движения материальной точки, как показано на рисунке.

-

- момент силы относительно начала координат.

Модуль вектора
равен

, где
- угол между векторами и . Если опустить перпендикуляр из точки O на направление действия силы, то его длина будет плечом силы ,
и модуль момента сил будет равен произведению силы на плечо, т.е.
, что совпадает со школьным определением момента силы.

Аналогично моменту силы вводится момент импульса

-

- момент импульса материальной точки относительно начала координат .

,

где
- угол между векторами и ,
-плечо импульса , т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки O на направление вектора материальной точки. Оба вектора
и , согласно определения направлены перпендикулярно плоскости движения материальной точки.

В общем случае неплоского движения, направление векторов
и не совпадают, но существует закон, который связывает момент импульса с моментом силы
. Чтобы установить этот закон, возьмем производную от вектора :

.

В результате получаем:

-

- закон изменения момента импульса материальной точки относительно начала координат .

Закон сохранения момента импульса системы материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек: Выберем начало координат О , тогда положение точек будет задаваться радиус-векторами

.

Пусть материальные точки обладают импульсами

,

и пусть между материальными точками системы действуют силы внутреннего взаимодействия , а также на материальные точки действуют внешние силы . Определим моменты этих сил относительно начала координат:

- момент внутренней силы ,

- момент внешней силы .

Определим также моменты импульсов материальных точек

.

Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим

Силы взаимодействия между материальными точками действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же прямой. Их моменты относительно начала координат О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил равна нулю. В результате получим

.

Если система материальных точек является замкнутой, то
, и тогда имеет место закон сохранения момента импульса

-

- закон сохранения момента импульса системы материальных точек.

Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный момент импульса системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени .