Производная понятие о производной функции. Найти производную: алгоритм и примеры решений
Производная функции одной переменной.
Введение.
Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».
Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.
В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.
§1. Определение производной.
Механический и геометрический смысл
производной.
Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.
Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.
Итак, производной функцииy=f(x)
в точкеx0 называется
предел (если он существует) отношения
приращения функции
к приращению аргумента
при
.
Производную принято обозначать
так:
.
Таким образом, по определению
Для обозначения производной употребляются
также символы
.
Механический смысл производной.
Если s=s(t)
– закон прямолинейного движения
материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.
Геометрический смысл производной.
Если функция y=f(x)
имеет производную в точке,
то угловой коэффициент касательной к
графику функции в точке
равен
.
Пример.
Найдите производную функции
в точке
=2:
1) Дадим точке
=2
приращение
.
Заметим, что.
2) Найдем приращение функции в точке
=2:
3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
Найдем предел отношения при
:
.
Таким образом,
.
§ 2. Производные от некоторых
простейших функций.
Студенту необходимо научиться вычислять
производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=
.
Найдем производную функции у=х.
т.е.
(x)′=1.
Найдем производную функции
Производная
Пусть
тогда
Легко заметить закономерность в
выражениях производных от степенной
функции
приn=1,2,3.
Следовательно,
. (1)
Эта формула справедлива для любых действительных n.
В частности, используя формулу (1), имеем:
;
.
Пример.
Найдите производную функции
.
.
Данная функция является частным случаем функции вида
при
.
Используя формулу (1), имеем
.
Производные функций y=sin x и y=cos x.
Пусть y=sinx.
Разделим на ∆x, получим
Переходя к пределу при ∆x→0, имеем
Пусть y=cosx .
Переходя к пределу при ∆x→0, получим
;
.
(2)
§3. Основные правила дифференцирования.
Рассмотрим правила дифференцирования.
Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)"=u"+v".(3)
Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).
Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Следовательно,
Итак, (u+v)"=u"+v".
Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)"=u"v+uv". (4)
Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.
Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Отсюда
Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь
Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.
Если
то
(5)
Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y"=0.
Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y"=Cu"(x).
Пример 1.
Найдите производную функции
.
Данная функция имеет вид
,
гдеu=x,v=cosx. Применяя правило
дифференцирования (4), находим
.
Пример 2.
Найдите производную функции
.
Применим формулу (5).
Здесь
;
.
Задачи.
Найдите производные следующих функций:
;
11)
2);
12)
;
3)13)
4)14)
5)15)
6)16)
7
)17)
8)18)
9)19)
10)20)
Содержание статьи
ПРОИЗВОДНАЯ –производной функции y = f (x ), заданной на некотором интервале (a , b ) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производную принято обозначать так:
Широко употребляются и другие обозначения:
Мгновенная скорость.
Пусть точка M движется по прямой. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения M 0 , зависит от времени t , т.е. s есть функция времени t : s = f (t ). Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка M находилась на расстоянии s от начального положения M 0, а в некоторый следующий момент t + Dt оказалась в положении M 1 – на расстоянии s + Ds от начального положения (см. рис .).
Таким образом, за промежуток времени Dt расстояние s изменилось на величину Ds . В этом случае говорят, что за промежуток времени Dt величина s получила приращение Ds .
Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки M в момент времени t . Если, например, тело в начале промежутка Dt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать представление об истинной скорости ее движения в момент t . Чтобы точнее выразить истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Dt . Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при Dt ® 0. Этот предел называют скоростью движения в данный момент:
Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути Ds к приращению времени Dt , когда приращение времени стремится к нулю. Так как
Геометрическое значение производной. Касательная к графику функции.
Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления .
Пусть кривая есть график функции y = f (x ) в прямоугольной системе координат (см . рис.).
При некотором значении x функция имеет значение y = f (x ). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M 0(x , y ). Если аргументу x дать приращение Dx , то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+ Dy = f (x + Dx ). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M 1(x + Dx , y + Dy ). Если провести секущую M 0M 1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox , из рисунка непосредственно видно, что .
Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M 1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M 0, и угол j изменяется с изменением Dx . При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M 0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:
Следовательно, f ´(x ) = tga
т.е. значение производной f ´(x ) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f (x ) в соответствующей точке M 0(x ,y ) с положительным направлением оси Ox .
Дифференцируемость функций.
Определение. Если функция y = f (x ) имеет производную в точке x = x 0, то функция дифференцируема в этой точке.
Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.
Если функция y = f (x ) дифференцируема в некоторой точке x = x 0, то она в этой точке непрерывна.
Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x 0 функция y = f (x ) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x | непрерывна для всех x (–Ґ х x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a ,b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f (a ) = f (b ) = 0), то внутри отрезка [a ,b ] существует, по крайней мере одна, точка x = с , a c b, в которой производная f ў(x ) обращается в нуль, т.е. f ў(c ) = 0.
Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a , b ] найдется по крайней мере одна точка с , a c b, что
f (b ) – f (a ) = f ў(c )(b – a ).
Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f (x ) и g (x ) – две функции, непрерывные на отрезке [a , b ] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем g ў(x ) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a , b ] найдется такая точка x = с , a c b, что
Производные различных порядков.
Пусть функция y = f (x ) дифференцируема на некотором отрезке [a , b ]. Значения производной f ў(x ), вообще говоря, зависят от x , т.е. производная f ў(x ) представляет собой тоже функцию от x . При дифференцировании этой функции получается так называемая вторая производная от функции f (x ), которая обозначается f ўў (x ).
Производной n- го порядка от функции f (x ) называется производная (первого порядка) от производной n- 1- го и обозначается символом y (n ) = (y (n – 1))ў.
Дифференциалы различных порядков.
Дифференциал функции y = f (x ), где x – независимая переменная, есть dy = f ў(x )dx , некоторая функция от x , но от x может зависеть только первый сомножитель f ў(x ), второй же сомножитель (dx ) является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит. Так как dy есть функция от x , то можно определить дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d 2y :
d (dx ) = d 2y = f ўў(x )(dx ) 2 .
Дифференциалом n- го порядка называется первый дифференциал от дифференциала n- 1- го порядка:
d n y = d (d n –1 y ) = f (n )(x )dx (n ).
Частная производная.
Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов x i (i изменяется от 1 до n , i = 1, 2,… n ), f (x 1, x 2,… x n ), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, x i . Частная производная 1-ого порядка по x i определяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме x i , сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения
Определенные таким образом частные производные 1-ого порядка (как функции тех же аргументов) могут, в свою очередь, также иметь частные производные, это частные производные второго порядка и т.д. Взятые по разным аргументам такие производные называются смешанными. Непрерывные смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования и равны между собой.
Анна Чугайнова
Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.
Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.
Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе. Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин. Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.
Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.
Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля». На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей. Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.
Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов. Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» - здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков. К каждому из них, например, на прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.
Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.
В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:
- Значение производной в некоторой точке x 0 ,
- Точки максимума или минимума (точки экстремума),
- Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).
Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.
Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.
Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.
Вычисление значения производной. Метод двух точек
Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:
- Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
- Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
- Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.
Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.
Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .
Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .
Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.
Вычисление точек максимума и минимума
Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:
- Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
- Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).
Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:
- Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
- Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
- Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.
Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.
Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:
Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.
Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:
Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].
Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:
На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.
Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.
Нахождение интервалов возрастания и убывания функции
В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:
- Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
- Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:
- Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
- Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.
Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:
- Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
- Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
- Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.
Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:
Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:
Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.
Составить отношение и вычислить предел .
Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования ? Благодаря единственному пределу . Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:
Пример 1
По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .
Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.
Рассмотрим некоторую
(конкретную) точку , принадлежащую области определения
функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки
о/о
-я)
и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим предел:
Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение :
Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .
Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала , то, осуществив замену , получаем:
Ответ
В который раз порадуемся логарифмам:
Пример 2
Найти производную функции , пользуясь определением производной
Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .
Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.
Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».
Устранение неопределённости закомментирую пошагово:
(1) Используем свойство логарифма .
(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.
(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом
, при этом в качестве бесконечно малой величины
выступает .
Ответ : по определению производной:
Или сокращённо:
Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
Пример 3
В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).
Пример 3:
Решение
: рассмотрим некоторую точку
, принадлежащую области определения функции
. Зададим в данной точке приращение
и составим соответствующее приращение функции:
Найдём производную в точке
:
Так как в качестве
можно выбрать любую точку
области определения функции
, то
и
Ответ
:
по определению производной
Пример 4
Найти производную по определению
А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.
Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой .
Пример 4:
Решение
, принадлежащую
, и зададим в ней приращение
Найдём производную:
Используем замечательный предел
Ответ
:
по определению
Пример 5
Найти производную функции , используя определение производной
Решение
: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , изададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:
Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию
вместо
«икса» следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число и так же подставляем его в функцию
вместо
«икса»: . Записываем разность , при этом необходимо полностью взять в скобки
.
Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.
Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
В итоге:
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим .
Ответ
: по определению.
В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы
:
Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.
Пример 6
Найти производную функции по определению производной
Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:
Пример 6:
Решение
: рассмотрим некоторую точку
, принадлежащую
, и зададим в ней приращение аргумента
. Тогда соответствующее приращение функции:
Вычислим производную:
Таким образом:
Поскольку в качестве
можно выбрать любое действительное число, то
и
Ответ
:
по определению.
Вернёмся к стилю №2:
Пример 7
Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции
:
Решение
: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:
Найдём производную:
(1) Используем тригонометрическую формулу
.
(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.
(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.
(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое .
(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
Ответ : по определению
Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».
Пример 8
Пользуясь определением, найти производную функции
Пример 8:
Решение
: рассмотрим произвольную точку
, принадлежащую
, зададим в ней приращение
и составим приращение функции:
Найдём производную:
Используем тригонометрическую формулу
и первый замечательный предел:
Ответ
:
по определению
Разберём более редкую версию задачи:
Пример 9
Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.
Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число
Вычислим ответ стандартным способом:
Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо рассматривается конкретное значение.
Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу
:
Ответ : по определению производной в точке.
Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.
Пример 10
Используя определение, найти производную функции в точке
(одно из которых может оказаться и бесконечным)
, о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной
.
Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11