मान्य और अमान्य मान। दूसरा अध्याय। बीजीय व्यंजक
\(\frac(x)(x-1)\) चर का मान 1 के बराबर होगा, नियम का उल्लंघन किया गया है: शून्य से विभाजित नहीं कर सकते. इसलिए, यहाँ \(x\) एक इकाई नहीं हो सकता है, और ODZ इस प्रकार लिखा जाता है: \(x\neq1\);यदि व्यंजक \(\sqrt(x-2)\) में चर का मान \(0\) के बराबर है, तो नियम का उल्लंघन होता है: मूल व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए. तो यहां \(x\) \(0\), और \(1, -3, -52,7\), आदि भी नहीं हो सकता। अर्थात्, x 2 से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए और ODZ होगा: \(x\geq2\);
लेकिन व्यंजक \(4x+1\) में हम x के बजाय किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, और किसी भी नियम का उल्लंघन नहीं किया जाएगा। इसलिए, यहां स्वीकार्य मानों का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है। ऐसे मामलों में, ODZ दर्ज नहीं किया जाता हैक्योंकि इसमें कोई उपयोगी जानकारी नहीं है।
आप उन सभी नियमों को पा सकते हैं जिनका पालन किया जाना चाहिए।
समीकरणों में ODZ
हल करते समय स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में याद रखना महत्वपूर्ण है और, क्योंकि वहां हम केवल चर के मूल्यों की तलाश कर रहे हैं और हम गलती से उन्हें ढूंढ सकते हैं जो गणित के नियमों का उल्लंघन करते हैं।
ODZ के महत्व को समझने के लिए, आइए समीकरण के दो समाधानों की तुलना करें: ODZ के साथ और ODZ के बिना।
उदाहरण:
प्रश्न हल करें
समाधान
:
| ओडीजेड के बिना: | ओडीजेड के साथ: | |
| \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | |
| ओडीजेड: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\) | ||
| \(x^2-x=12\) | \(x^2-x=12\) | |
| \(x^2-x-12=0\) | \(x^2-x-12=0\) | |
| \(डी=(-1)^2-4 1 (-12)=49\) | \(डी=(-1)^2-4 1 (-12)=49\) | |
| \(x_1=\)\(=4\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\) | |
| \(x_1=\)\(=-3\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2 1)\)\(=-3\) - ODZ में फिट नहीं है | |
| उत्तर : \(4; -3\) | उत्तर : \(4\) |
फर्क देखें? पहले समाधान में, हमारे उत्तर में एक गलत, अनावश्यक ! दिखाई दिया! विश्वासघाती क्यों? और आइए इसे मूल समीकरण में बदलने का प्रयास करें।
\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)
आप देखिए, हमें बाईं ओर और दाईं ओर गैर-गणना योग्य, अर्थहीन भाव मिले (आखिरकार, आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते)। और तथ्य यह है कि वे वही हैं अब कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि ये मूल्य मौजूद नहीं हैं। इस प्रकार, "\(-3\)" एक अनुपयुक्त, बाहरी जड़ है, और मान्य मानों की श्रेणी हमें ऐसी गंभीर त्रुटियों से बचाती है।
यही कारण है कि पहले समाधान के लिए आपको एक ड्यूस मिलेगा, और दूसरे के लिए - पांच। और ये शिक्षक की उबाऊ नाइटपिकिंग नहीं हैं, क्योंकि ओड्ज़ को ध्यान में रखने में विफलता एक छोटी सी गलती नहीं है, बल्कि एक बहुत ही विशिष्ट गलती है, एक खोया हुआ संकेत या गलत सूत्र का उपयोग। आखिरकार, अंतिम उत्तर गलत है!
स्वीकार्य मूल्यों की सीमा खोजने से अक्सर हल करने या समीकरणों की आवश्यकता होती है, इसलिए आपको इसे अच्छी तरह से करने में सक्षम होना चाहिए।
उदाहरण : व्यंजक का दायरा ज्ञात कीजिए \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)
समाधान : व्यंजक के दो मूल हैं, जिनमें से एक हर में है। इस मामले में लगाई गई पाबंदियों को कौन याद नहीं करता। कौन याद करता है, लिखता है कि पहली जड़ के नीचे की अभिव्यक्ति शून्य से अधिक या उसके बराबर है, और दूसरे के नीचे - शून्य से अधिक है। क्या आप समझते हैं कि प्रतिबंध जिस तरह से हैं, वे क्यों हैं?
उत्तर : \((-2;2,5]\)पर यह सबकसंकल्पना बीजीय भिन्न. भिन्नों के साथ, एक व्यक्ति सबसे सरल में मिलता है जीवन स्थितियां: जब किसी वस्तु को कई भागों में विभाजित करना आवश्यक हो, उदाहरण के लिए, दस लोगों के लिए समान रूप से केक काटना। जाहिर है, सभी को केक का एक टुकड़ा मिलेगा। इस मामले में, हम एक संख्यात्मक अंश की अवधारणा के साथ सामना कर रहे हैं, लेकिन एक स्थिति संभव है जब एक वस्तु को अज्ञात संख्या में भागों में विभाजित किया जाता है, उदाहरण के लिए, x द्वारा। इस मामले में, एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति की अवधारणा उत्पन्न होती है। आप पहले से ही पूर्णांक व्यंजकों (चरों के साथ व्यंजकों में विभाजन को शामिल नहीं करते) और ग्रेड 7 में उनके गुणों से परिचित हो चुके हैं। अगला, हम अवधारणा पर विचार करेंगे तर्कसंगत अंश, साथ ही चर के स्वीकार्य मान।
तर्कसंगत अभिव्यक्तिमें विभाजित हैं पूर्णांक और भिन्नात्मक व्यंजक.
परिभाषा।तर्कसंगत अंश - भिन्नात्मक अभिव्यक्तिरूप का , जहां बहुपद हैं। - अंश भाजक।
उदाहरणतर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ:
- भिन्नात्मक भाव; पूर्णांक अभिव्यक्ति हैं। पहली अभिव्यक्ति में, उदाहरण के लिए, अंश है, और हर है।
अर्थ बीजीय भिन्न, किसी तरह बीजगणतीय अभिव्यक्ति, इसमें शामिल चरों के संख्यात्मक मान पर निर्भर करता है। विशेष रूप से, पहले उदाहरण में भिन्न का मान चर के मानों पर और दूसरे में केवल चर के मान पर निर्भर करता है।
पहले विशिष्ट कार्य पर विचार करें: मान की गणना तर्कसंगत अंशपर विभिन्न मूल्यइसमें शामिल चर।
उदाहरण 1 a), b), c) के लिए भिन्न के मान की गणना करें
समाधान।चर के मूल्यों को संकेतित अंश में बदलें: ए), बी), सी) - मौजूद नहीं है (क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते)।
उत्तर:ए) 3; बी) 1; ग) मौजूद नहीं है।
जैसा कि हम देखते हैं, दो हैं विशिष्ट कार्यकिसी भिन्न के लिए: 1) भिन्न की गणना करना, 2) ढूँढना मान्य और अमान्य मानशाब्दिक चर।
परिभाषा।मान्य चर मानवेरिएबल्स के मान हैं जिनके लिए अभिव्यक्ति समझ में आता है। चरों के सभी अनुमेय मानों के समुच्चय को कहते हैं ओडीजेडया कार्यक्षेत्र.
शाब्दिक चरों का मान अमान्य हो सकता है यदि इन मानों के लिए भिन्न का हर शून्य. अन्य सभी मामलों में, चर के मान मान्य हैं, क्योंकि अंश की गणना की जा सकती है।
उदाहरण 2
समाधान।इस व्यंजक को समझने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि भिन्न का हर शून्य के बराबर न हो। इस प्रकार, चर के केवल वे मान जिनके लिए हर शून्य के बराबर होगा, अमान्य होंगे। भिन्न का हर, इसलिए हम रैखिक समीकरण को हल करते हैं:
इसलिए, चर के मान के लिए भिन्न का कोई अर्थ नहीं है।
उत्तर: -5.
उदाहरण के हल से चरों के अमान्य मान ज्ञात करने का नियम इस प्रकार है - भिन्न का हर शून्य के बराबर होता है और संगत समीकरण के मूल मिलते हैं।
आइए कुछ ऐसे ही उदाहरण देखें।
उदाहरण 3निर्धारित करें कि एक चर के किन मूल्यों पर एक अंश का कोई मतलब नहीं है .
समाधान।.
उत्तर।.
उदाहरण 4निर्धारित करें कि चर के किन मूल्यों के लिए अंश का कोई मतलब नहीं है।
समाधान।.
इस समस्या के अन्य सूत्र भी हैं - खोजने के लिए कार्यक्षेत्रया मान्य अभिव्यक्ति मानों की श्रेणी (ODZ). इसका मतलब है - चर के सभी मान्य मान खोजें। हमारे उदाहरण में, ये सभी मान हैं सिवाय . परिभाषा के क्षेत्र को संख्यात्मक अक्ष पर आसानी से दर्शाया गया है।
ऐसा करने के लिए, हम उस पर एक बिंदु काट देंगे, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:
चावल। एक
इस तरह, भिन्न डोमेन 3 को छोड़कर सभी संख्याएँ होंगी।
उत्तर।.
उदाहरण 5निर्धारित करें कि चर के किन मूल्यों के लिए अंश का कोई मतलब नहीं है।
समाधान।.
आइए परिणामी समाधान को संख्यात्मक अक्ष पर चित्रित करें:
चावल। 2
उत्तर।.
उदाहरण 6
समाधान।. हमने दो चरों की समानता प्राप्त की है, हम संख्यात्मक उदाहरण देंगे: या, आदि।
आइए इस समाधान को प्लॉट करें कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक:
चावल। 3. किसी फलन का ग्राफ
इस ग्राफ पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक भिन्न के स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र में शामिल नहीं हैं।
उत्तर।.
विचार किए गए उदाहरणों में, हमें एक ऐसी स्थिति का सामना करना पड़ा जहां शून्य से विभाजन हुआ। अब उस मामले पर विचार करें जहां टाइप डिवीजन के साथ एक और दिलचस्प स्थिति उत्पन्न होती है।
उदाहरण 7निर्धारित करें कि चर के किन मूल्यों के लिए अंश का कोई मतलब नहीं है।
समाधान।.
यह पता चला है कि अंश का कोई मतलब नहीं है जब । लेकिन यह तर्क दिया जा सकता है कि ऐसा नहीं है, क्योंकि: 
.
ऐसा प्रतीत हो सकता है कि यदि अंतिम व्यंजक 8 for के बराबर है, तो मूल व्यंजक की भी गणना की जा सकती है, और इसलिए, के लिए समझ में आता है। हालांकि, अगर हम इसे मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें मिलता है - इसका कोई मतलब नहीं है।
उत्तर।.
इस उदाहरण को और अधिक विस्तार से समझने के लिए, हम निम्नलिखित समस्या को हल करते हैं: किस मान के लिए संकेतित अंश शून्य के बराबर है?
48. बीजीय व्यंजकों के प्रकार।
संख्याओं और चरों से, जोड़, घटाव, गुणा, भाग के संकेतों का उपयोग करके, एक तर्कसंगत शक्ति तक बढ़ाना और जड़ निकालना, और कोष्ठक का उपयोग करके, बीजीय व्यंजक संकलित किए जाते हैं।
बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उदाहरण:
यदि किसी बीजीय व्यंजक में चरों में विभाजन और चरों से मूल का निष्कर्षण नहीं होता है (विशेषकर, भिन्नात्मक घातांक के साथ घातांक), तो इसे पूर्णांक कहा जाता है। ऊपर लिखे गए व्यंजक 1, 2 और 6 पूर्णांक हैं।
यदि एक बीजीय व्यंजक संख्याओं और चरों से बना हो, जिसमें जोड़, घटाव, गुणा, घातांक के साथ एक प्राकृतिक घातांक और भाग का उपयोग किया जाता है, और चर के साथ व्यंजकों में विभाजन का उपयोग किया जाता है, तो इसे भिन्नात्मक कहा जाता है। अतः, ऊपर लिखे व्यंजकों से व्यंजक 3 और 4 भिन्नात्मक हैं।
पूर्णांक और भिन्नात्मक व्यंजक परिमेय व्यंजक कहलाते हैं। अतः, ऊपर से परिमेय व्यंजक व्यंजक 1, 2, 3, 4 और 6 हैं।
यदि कोई बीजीय व्यंजक चरों से मूल के निष्कर्षण का उपयोग करता है (या चरों को भिन्नात्मक घात तक बढ़ाना), तो ऐसे बीजीय व्यंजक को अपरिमेय कहा जाता है। अतः उपरोक्त से व्यंजक 5 और 7 अपरिमेय हैं।
अतः बीजीय व्यंजक परिमेय और अपरिमेय हो सकते हैं। परिमेय व्यंजक, बदले में, पूर्णांक और भिन्न में विभाजित होते हैं।
49. चर के मान्य मान। बीजीय व्यंजक की परिभाषा का क्षेत्र।
वेरिएबल मान जिनके लिए बीजीय व्यंजक समझ में आता है, स्वीकार्य चर मान कहलाते हैं। चरों के सभी स्वीकार्य मानों के समुच्चय को बीजीय व्यंजक का प्रांत कहा जाता है।
एक पूर्णांक अभिव्यक्ति इसके चर के किसी भी मूल्य के लिए समझ में आता है। तो, चर के किसी भी मूल्य के लिए, अनुच्छेद 48 से संपूर्ण अभिव्यक्ति 1, 2, 6 समझ में आता है।
भिन्नात्मक व्यंजक चरों के उन मानों के लिए कोई अर्थ नहीं रखते हैं जो हर को शून्य में बदल देते हैं। इसलिए, आइटम 48 से भिन्नात्मक व्यंजक 3 को छोड़कर, सभी के लिए समझ में आता है, और भिन्नात्मक व्यंजक 4 सभी a, b, c के लिए अर्थ रखता है, मानों a को छोड़कर
एक अपरिमेय अभिव्यक्ति चर के उन मूल्यों के लिए समझ में नहीं आती है जो एक ऋणात्मक संख्या में बदल जाती हैं, जो एक समान डिग्री की जड़ के संकेत के तहत या एक भिन्नात्मक शक्ति के घातांक के संकेत के तहत निहित अभिव्यक्ति है। इसलिए, अपरिमेय अभिव्यक्ति 5 केवल उन लोगों के लिए समझ में आता है a, b जिसके लिए a अपरिमेय व्यंजक 7 केवल और (आइटम 48 देखें) के लिए समझ में आता है।
यदि एक बीजीय व्यंजक में चरों को वैध मान दिया जाता है, तो एक संख्यात्मक व्यंजक प्राप्त होगा; इसके मान को चरों के चुने हुए मानों के लिए बीजीय व्यंजक का मान कहा जाता है।
उदाहरण। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए जब
समाधान। हमारे पास है
50. एक अभिव्यक्ति के समान परिवर्तन की अवधारणा। पहचान।
दो भावों पर विचार करें जब हमारे पास . 0 और 3 की संख्याएँ संगत मान कहलाती हैं। के लिए भाव आइए समान भावों के संगत मान खोजें
दो भावों के संगत मान एक-दूसरे के बराबर हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, विचार किए गए उदाहरण में, समानता संतुष्ट है), या वे एक-दूसरे से भिन्न हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, माना गया उदाहरण में)।
एक चर के साथ किसी भी अभिव्यक्ति में मान्य मानों की सीमा होती है, जहां यह मौजूद होता है। निर्णय में डीएचएस को हमेशा ध्यान में रखा जाना चाहिए। यदि नहीं, तो आपको गलत परिणाम मिल सकता है।
यह आलेख दिखाएगा कि ओडीजेड को सही तरीके से कैसे ढूंढें, उदाहरणों के साथ इसका इस्तेमाल करें। यह निर्णय में ODZ निर्दिष्ट करने के महत्व पर भी विचार करेगा।
यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1
मान्य और अमान्य चर मान
यह परिभाषा चर के अनुमत मूल्यों से संबंधित है। परिभाषा पेश करते समय, आइए देखें कि इसका क्या परिणाम होगा।
ग्रेड 7 से शुरू होकर, हम संख्याओं के साथ काम करना शुरू करते हैं और संख्यात्मक भाव. चर के साथ प्रारंभिक परिभाषाएँ चयनित चर के साथ भावों के मूल्य पर कूद जाती हैं।
जब चयनित चर वाले व्यंजक होते हैं, तो उनमें से कुछ संतुष्ट नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक अभिव्यक्ति जैसे 1: ए, यदि ए \u003d 0, तो इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि शून्य से विभाजित करना असंभव है। यानी अभिव्यक्ति में ऐसे मूल्य होने चाहिए जो किसी भी स्थिति में फिट हों और उत्तर दें। दूसरे शब्दों में, वे उपलब्ध चर के साथ समझ में आता है।
परिभाषा 1
यदि चर के साथ एक अभिव्यक्ति है, तो यह तभी समझ में आता है जब उन्हें प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मूल्य की गणना की जा सकती है।
परिभाषा 2
यदि चर के साथ एक अभिव्यक्ति है, तो इसका कोई मतलब नहीं है, जब उनके प्रतिस्थापन के साथ, मूल्य की गणना नहीं की जा सकती है।
यानी इससे पूरी परिभाषा इस प्रकार है
परिभाषा 3
मौजूदा मान्य चर वे मान हैं जिनके लिए अभिव्यक्ति समझ में आती है। और अगर इसका कोई मतलब नहीं है, तो उन्हें अमान्य माना जाता है।
उपरोक्त को स्पष्ट करने के लिए: यदि एक से अधिक चर हैं, तो उपयुक्त मानों की एक जोड़ी हो सकती है।
उदाहरण 1
उदाहरण के लिए, 1 x - y + z जैसे व्यंजक पर विचार करें, जहां तीन चर हैं। अन्यथा, आप इसे x = 0 , y = 1 , z = 2 के रूप में लिख सकते हैं, जबकि अन्य अंकन (0, 1, 2) है। इन मानों को मान्य कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि आप अभिव्यक्ति का मूल्य पा सकते हैं। हम पाते हैं कि 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1। यहाँ से हम देखते हैं कि (1, 1, 2) अमान्य हैं। प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप शून्य से भाग होता है, अर्थात् 1 1 - 2 + 1 = 1 0 ।
ODZ क्या है?
बीजीय व्यंजकों के मूल्यांकन में मान्य मानों की श्रेणी एक महत्वपूर्ण तत्व है। इसलिए, गणना करते समय इस पर ध्यान देने योग्य है।
परिभाषा 4
ओडीजेड क्षेत्रदिए गए व्यंजक के लिए अनुमत मानों का समुच्चय है।
आइए एक अभिव्यक्ति का एक उदाहरण लेते हैं।
उदाहरण 2
यदि हमारे पास 5 z - 3 के रूप का व्यंजक है, तो ODZ का रूप (- ∞ , 3) (3 , + ∞) है। यह मान्य मानों की श्रेणी है जो दिए गए व्यंजक के लिए चर z को संतुष्ट करती है।
यदि z x - y के रूप के व्यंजक हैं, तो यह स्पष्ट है कि x y , z कोई भी मान लेता है। इसे ODZ व्यंजक कहते हैं। प्रतिस्थापन करते समय शून्य से विभाजन प्राप्त न करने के लिए इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए।
मान्य मानों की श्रेणी और परिभाषा के क्षेत्र का एक ही अर्थ है। उनमें से केवल दूसरे का प्रयोग व्यंजकों के लिए किया जाता है, और पहले वाले का प्रयोग समीकरणों या असमानताओं के लिए किया जाता है। डीपीवी की मदद से अभिव्यक्ति या असमानता समझ में आती है। फ़ंक्शन परिभाषा का डोमेन चर x के स्वीकार्य मानों के डोमेन के साथ अभिव्यक्ति f (x) से मेल खाता है।
ओडीजेड कैसे खोजें? उदाहरण, समाधान
डीपीवी को खोजने का मतलब उन सभी मान्य मूल्यों को खोजना है जो किसी दिए गए फ़ंक्शन या असमानता में फिट होते हैं। यदि इन शर्तों को पूरा नहीं किया जाता है, तो गलत परिणाम प्राप्त किया जा सकता है। ODZ को खोजने के लिए, किसी दिए गए व्यंजक में परिवर्तनों से गुजरना अक्सर आवश्यक होता है।
ऐसे भाव हैं जहां उनका मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है:
- यदि शून्य से विभाजन है;
- एक ऋणात्मक संख्या की जड़ निकालना;
- एक नकारात्मक पूर्णांक संकेतक की उपस्थिति - केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए;
- एक ऋणात्मक संख्या के लघुगणक की गणना;
- टेंगेंट 2 + π · k , k Z और कोटैंजेंट π · k , k ∈ Z की परिभाषा का डोमेन;
- एक संख्या के आर्क्साइन और आर्ककोसाइन का मान ज्ञात करना जो कि [ - 1 से संबंधित नहीं है; एक ] ।
यह सब डीएचएस होने के महत्व को बताता है।
उदाहरण 3
ODZ व्यंजक x 3 + 2 x y - 4 . ज्ञात कीजिए .
समाधान
किसी भी संख्या को क्यूब किया जा सकता है। इस व्यंजक में भिन्न नहीं है, इसलिए x और y कुछ भी हो सकते हैं। यानी ODZ कोई भी संख्या है।
उत्तर: x और y कोई भी मान हैं।
उदाहरण 4
ODZ व्यंजक 1 3 - x + 1 0 ज्ञात कीजिए।
समाधान
यह देखा जा सकता है कि एक भिन्न है, जहाँ हर शून्य है। इसका मतलब है कि x के किसी भी मान के लिए, हमें शून्य से भाग मिलेगा। इसका मतलब है कि हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इस अभिव्यक्ति को अनिश्चित माना जाता है, अर्थात इसमें ODZ नहीं है।
उत्तर: ∅ .
उदाहरण 5
दिए गए व्यंजक x + 2 · y + 3 - 5 · x का ODZ ज्ञात कीजिए।
समाधान
उपलब्धता वर्गमूलकहता है कि यह व्यंजक शून्य से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए। पर ऋणात्मक मानइसका कोई मतलब नहीं है। इसलिए, x + 2 · y + 3 ≥ 0 के रूप की असमानता को लिखना आवश्यक है। यही है, यह स्वीकार्य मूल्यों की वांछित सीमा है।
उत्तर: x और y का समुच्चय जहाँ x + 2 y + 3 ≥ 0 है।
उदाहरण 6
प्रपत्र 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) का ODZ व्यंजक ज्ञात कीजिए।
समाधान
शर्त के अनुसार, हमारे पास एक भिन्न है, इसलिए इसका हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। हमें वह x + 1 - 1 ≠ 0 प्राप्त होता है। रेडिकल एक्सप्रेशन हमेशा तब समझ में आता है जब शून्य से बड़ा या उसके बराबर हो, यानी x + 1 ≥ 0। चूँकि इसका एक लघुगणक है, इसका व्यंजक पूर्ण रूप से धनात्मक होना चाहिए, अर्थात x 2 + 3 > 0. लघुगणक का आधार भी होना चाहिए सकारात्मक मूल्यऔर 1 से भिन्न है, तो हम और शर्तें x + 8 > 0 और x + 8 ≠ 1 जोड़ते हैं। इससे यह पता चलता है कि वांछित ODZ फॉर्म लेगा:
x + 1 - 1 0 , x + 1 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1
दूसरे शब्दों में, इसे एक चर वाली असमानताओं की प्रणाली कहा जाता है। समाधान ODZ [ − 1 , 0) (0 , + ∞) के ऐसे रिकॉर्ड की ओर ले जाएगा।
उत्तर: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)
परिवर्तन करते समय एलएचएस को ध्यान में रखना क्यों महत्वपूर्ण है?
समान परिवर्तनों के लिए, ODZ को खोजना महत्वपूर्ण है। ऐसे मामले हैं जब ODZ का अस्तित्व नहीं होता है। यह समझने के लिए कि क्या समाधान में एक दी गई अभिव्यक्ति है, आपको मूल अभिव्यक्ति के चर के ODZ और प्राप्त अभिव्यक्ति के ODZ की तुलना करने की आवश्यकता है।
पहचान परिवर्तन:
- ओडीजेड को प्रभावित नहीं कर सकता है;
- डीएचएस में विस्तार या वृद्धि हो सकती है;
- ODZ को कम कर सकता है।
आइए एक उदाहरण देखें।
उदाहरण 7
यदि हमारे पास x 2 + x + 3 · x के रूप का व्यंजक है, तो इसका ODZ परिभाषा के पूरे क्षेत्र में परिभाषित होता है। समान पदों में कमी और व्यंजक के सरलीकरण के साथ भी, ODZ नहीं बदलता है।
उदाहरण 8
यदि हम व्यंजक x + 3 x - 3 x का उदाहरण लें, तो चीजें भिन्न हैं। हमारे पास एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है। और हम जानते हैं कि शून्य से भाग की अनुमति नहीं है। तब ODZ का रूप (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ) होता है। यह देखा जा सकता है कि शून्य कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे कोष्ठक के साथ जोड़ते हैं।
एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति की उपस्थिति के साथ एक उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण 9
यदि x - 1 · x - 3 है, तो आपको ODZ पर ध्यान देना चाहिए, क्योंकि इसे एक असमानता (x - 1) · (x - 3) ≥ 0 के रूप में लिखा जाना चाहिए। अंतराल विधि द्वारा हल करना संभव है, तब हम पाते हैं कि ODZ रूप ले लेगा (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) । x - 1 · x - 3 को बदलने और जड़ों के गुणों को लागू करने के बाद, हमारे पास ODZ को पूरक किया जा सकता है और इसे x - 1 0, x - 3 ≥ 0 के रूप में असमानताओं की प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है। इसे हल करने पर, हमें वह [ 3 , + ) प्राप्त होता है। इसलिए, ODZ को पूर्ण रूप से इस प्रकार लिखा जाता है: (- ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) ।
डीएचएस को संकीर्ण करने वाले परिवर्तनों से बचना चाहिए।
उदाहरण 10
जब x = - 1 व्यंजक x - 1 · x - 3 के उदाहरण पर विचार करें। प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 । यदि इस व्यंजक को रूपांतरित करके x - 1 x - 3 के रूप में लाया जाता है, तो गणना करते समय हमें यह मिलता है कि 2 - 1 2 - 3 व्यंजक का कोई अर्थ नहीं है, क्योंकि मूलक व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
समान परिवर्तनों का पालन किया जाना चाहिए, जो डीएचएस को नहीं बदलेगा।
यदि ऐसे उदाहरण हैं जो इसे बढ़ाते हैं, तो इसे डीपीवी में जोड़ा जाना चाहिए।
उदाहरण 11
x x 3 + x के रूप के भिन्न के उदाहरण पर विचार करें। यदि हम x से घटा दें, तो हमें वह 1 x 2 + 1 प्राप्त होता है। तब ODZ फैलता है और (− ∞ 0) ∪ (0 , + ) बन जाता है। इसके अलावा, गणना करते समय, हम पहले से ही दूसरे सरलीकृत अंश के साथ काम कर रहे हैं।
लघुगणक की उपस्थिति में स्थिति थोड़ी भिन्न होती है।
उदाहरण 12
यदि ln x + ln (x + 3) के रूप का कोई व्यंजक है, तो उसे लघुगणक के गुण के आधार पर ln (x (x + 3)) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह दर्शाता है कि ODZ (0 , + ) से (− ∞ , - 3) ∪ (0 , + ) तक। इसलिए, ODZ ln (x (x + 3)) निर्धारित करने के लिए ODZ, यानी (0 , + ) सेट पर गणना करना आवश्यक है।
हल करते समय, शर्त द्वारा दी गई अभिव्यक्ति की संरचना और रूप पर ध्यान देना हमेशा आवश्यक होता है। यदि परिभाषा का क्षेत्र सही पाया जाता है, तो परिणाम सकारात्मक होगा।
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विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, हमें अक्सर अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तन करने पड़ते हैं। लेकिन ऐसा होता है कि कुछ मामलों में किसी प्रकार के परिवर्तन की अनुमति है, लेकिन दूसरों में नहीं। डीएचएस चल रहे परिवर्तनों की स्वीकार्यता की निगरानी के मामले में महत्वपूर्ण सहायता प्रदान करता है। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।
दृष्टिकोण का सार इस प्रकार है: मूल अभिव्यक्ति के लिए चर के ODZ की तुलना समान परिवर्तन करने के परिणामस्वरूप प्राप्त अभिव्यक्ति के लिए चर के ODZ के साथ की जाती है, और तुलना के परिणामों के आधार पर, उपयुक्त निष्कर्ष निकाले जाते हैं।
सामान्य तौर पर, समान परिवर्तन कर सकते हैं
- ओडीजेड को प्रभावित न करें;
- डीएचएस के विस्तार के लिए नेतृत्व;
- ODZ के संकुचन का कारण बनता है।
आइए प्रत्येक मामले को एक उदाहरण के साथ समझाएं।
व्यंजक x 2 +x+3·x पर विचार करें, इस व्यंजक के लिए चर x का ODZ समुच्चय R है। अब इस व्यंजक के साथ निम्नलिखित समान परिवर्तन करते हैं - आइए समान पदों को लाते हैं, परिणामस्वरूप यह x 2 +4 x का रूप लेगा। जाहिर है, इस व्यंजक का ODZ चर x भी समुच्चय R है। इस प्रकार, परिवर्तन ने ODZ को नहीं बदला।
पर चलते हैं। व्यंजक x+3/x−3/x लें। इस मामले में, ODZ शर्त x≠0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो समुच्चय (−∞, 0)∪(0, +∞) से मेल खाती है। इस व्यंजक में भी ऐसे ही पद हैं, जिन्हें घटाकर हम व्यंजक x पर आते हैं, जिसके लिए ODZ R है। हम क्या देखते हैं: परिवर्तन के परिणामस्वरूप, ODZ का विस्तार हुआ है (मूल अभिव्यक्ति के लिए चर x के ODZ में संख्या शून्य जोड़ दी गई है)।
यह परिवर्तनों के बाद स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को कम करने के उदाहरण पर विचार करने के लिए बनी हुई है। अभिव्यक्ति लें 
. चर x का ODZ असमानता (x−1) (x−3)≥0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो इसके समाधान के लिए उपयुक्त है, उदाहरण के लिए, परिणामस्वरूप हमारे पास (−∞, 1]∪∪; S. A. Telyakovskii द्वारा संपादित किया गया है। - 17- ई एड. - एम.: शिक्षा, 2008. - 240 पीपी.: चित्रण - आईएसबीएन 978-5-09-019315-3।
