द्विघात समीकरण के मूल सूत्र को कैसे हल करें I एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण। एब्सिस्सा अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं का प्रतिच्छेदन

अधिक सरल तरीके से. ऐसा करने के लिए, कोष्ठक में से z निकालें। आपको मिलता है: z(az + b) = 0. गुणनखंड लिखे जा सकते हैं: z=0 और az + b = 0, क्योंकि दोनों का परिणाम शून्य हो सकता है। संकेतन az + b = 0 में, हम दूसरे को एक भिन्न चिह्न के साथ दाईं ओर ले जाते हैं। यहाँ से हमें z1 = 0 और z2 = -b/а मिलता है। ये मूल की जड़ें हैं।

यदि az² + c \u003d 0 के रूप का एक अधूरा समीकरण है, तो इस मामले में वे केवल मुक्त शब्द को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करके पाए जाते हैं। इसका चिन्ह भी बदल दें। आपको रिकॉर्ड az² \u003d -s मिलता है। व्यक्त z² = -c/a. मूल लें और दो समाधान लिखें - वर्गमूल का एक सकारात्मक और एक नकारात्मक मान।

टिप्पणी

यदि समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए संपूर्ण समीकरण को उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें।

द्विघात समीकरणों को हल करने का ज्ञान स्कूली बच्चों और छात्रों दोनों के लिए आवश्यक है, कभी-कभी यह एक वयस्क की मदद कर सकता है साधारण जीवन. कई विशिष्ट निर्णय विधियां हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करना

इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको विएटा प्रमेय का उपयोग करना चाहिए या विवेचक का पता लगाना चाहिए। सबसे आम तरीका है विवेचक को खोजना, क्योंकि a, b, c के कुछ मानों के लिए Vieta प्रमेय का उपयोग करना संभव नहीं है।

विभेदक (D) को खोजने के लिए, आपको सूत्र D=b^2 - 4*a*c लिखना होगा। D का मान शून्य से अधिक, कम या उसके बराबर हो सकता है। यदि D, or . से बड़ा है शून्य से कम, तो दो जड़ें होंगी, यदि D \u003d 0, तो केवल एक जड़ बची है, अधिक सटीक रूप से हम कह सकते हैं कि इस मामले में D की दो समान जड़ें हैं। ज्ञात गुणांक a, b, c को सूत्र में रखें और मान की गणना करें।

विवेचक मिल जाने के बाद, x ज्ञात करने के लिए, सूत्रों का उपयोग करें: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a जहां sqrt दी गई संख्या का वर्गमूल निकालने का कार्य है। इन भावों की गणना करने के बाद, आपको अपने समीकरण के दो मूल मिलेंगे, जिसके बाद समीकरण को हल माना जाता है।

यदि D शून्य से कम है, तब भी उसके मूल हैं। स्कूल में, इस खंड का व्यावहारिक रूप से अध्ययन नहीं किया जाता है। विश्वविद्यालय के छात्रों को पता होना चाहिए कि मूल के नीचे एक नकारात्मक संख्या दिखाई देती है। हम काल्पनिक भाग को अलग करके इससे छुटकारा पाते हैं, अर्थात -1 जड़ के नीचे हमेशा काल्पनिक तत्व "i" के बराबर होता है, जिसे उसी सकारात्मक संख्या के साथ मूल से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि D=sqrt(-20), परिवर्तन के बाद, D=sqrt(20)*i प्राप्त होता है। इस परिवर्तन के बाद, समीकरण का हल मूलों के समान खोज में कम हो जाता है, जैसा कि ऊपर वर्णित है।

Vieta के प्रमेय में x(1) और x(2) मानों का चयन शामिल है। दो समान समीकरणों का उपयोग किया जाता है: x(1) + x(2)= -b; एक्स (1) * एक्स (2) = एस। और बहुत महत्वपूर्ण बिंदुगुणांक b से पहले का चिन्ह है, याद रखें कि यह चिन्ह समीकरण में एक के विपरीत है। पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि x(1) और x(2) की गणना करना बहुत सरल है, लेकिन हल करते समय, आप इस तथ्य का सामना करेंगे कि संख्याओं को ठीक से चुनना होगा।

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए तत्व

इसके अलावा, अपूर्ण द्विघात समीकरणों के बारे में मत भूलना। हो सकता है कि आपको कुछ पद याद आ रहे हों, यदि ऐसा है, तो इसके सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं। यदि x^2 या x के पहले कुछ नहीं है, तो गुणांक a और b 1 के बराबर हैं।

”, यानी पहली डिग्री के समीकरण। इस पाठ में, हम पता लगाएंगे द्विघात समीकरण क्या हैऔर इसे कैसे हल करें।

द्विघात समीकरण क्या है

महत्वपूर्ण!

एक समीकरण की डिग्री उस उच्चतम डिग्री से निर्धारित होती है जिस पर अज्ञात खड़ा होता है।

यदि अज्ञात की अधिकतम डिग्री "2" है, तो आपके पास द्विघात समीकरण है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• एक्स 2 - 8 = 0

महत्वपूर्ण! द्विघात समीकरण का सामान्य रूप इस तरह दिखता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0

• "ए" - पहला या वरिष्ठ गुणांक;
• "बी" - दूसरा गुणांक;
• "सी" एक स्वतंत्र सदस्य है।

"ए", "बी" और "सी" खोजने के लिए आपको द्विघात समीकरण "कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0" के सामान्य रूप के साथ अपने समीकरण की तुलना करने की आवश्यकता है।

आइए द्विघात समीकरणों में गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करने का अभ्यास करें।

• ए = -1
• बी = 1
• सी =

  1

  3

• ए = 1
• बी = 0.25
• सी = 0

• ए = 1
• बी = 0
• सी = −8

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें

रैखिक समीकरणों के विपरीत, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक विशेष समीकरण का उपयोग किया जाता है। जड़ों को खोजने का सूत्र.

याद है!

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आपको चाहिए:

• द्विघात समीकरण को सामान्य रूप "कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0" में लाएं। यानी दायीं तरफ सिर्फ "0" ही रहना चाहिए;
• जड़ों के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके यह पता लगाएं कि द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सूत्र को कैसे लागू किया जाए। आइए द्विघात समीकरण को हल करें।

एक्स 2 - 3x - 4 = 0

समीकरण "x 2 - 3x - 4 = 0" को पहले ही सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में घटा दिया गया है और इसके लिए अतिरिक्त सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसे हल करने के लिए, हमें केवल आवेदन करने की आवश्यकता है द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र.

आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" परिभाषित करें।

इसकी सहायता से कोई भी द्विघात समीकरण हल किया जाता है।

सूत्र "x 1; 2 \u003d" में मूल अभिव्यक्ति को अक्सर बदल दिया जाता है
"बी 2 - 4ac" अक्षर "डी" के लिए और विवेचक कहा जाता है। "विभेदक क्या है" पाठ में विवेचक की अवधारणा पर अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

द्विघात समीकरण के एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x

इस रूप में, गुणांक "ए", "बी", और "सी" को निर्धारित करना मुश्किल है। आइए पहले समीकरण को सामान्य रूप "कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0" में लाएं।

एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x
एक्स 2 + 9 + एक्स - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
एक्स 2 - 6x + 9 = 0

अब आप जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स =

ऐसे समय होते हैं जब द्विघात समीकरणों में कोई जड़ें नहीं होती हैं। यह स्थिति तब होती है जब मूल के नीचे सूत्र में ऋणात्मक संख्या दिखाई देती है।

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र। वास्तविक, बहु और जटिल जड़ों के मामलों पर विचार किया जाता है। एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन। ज्यामितीय व्याख्या। मूल निर्धारण और गुणनखंडन के उदाहरण।

मूल सूत्र

द्विघात समीकरण पर विचार करें:
(1) .
द्विघात समीकरण की जड़ें(1) सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
; .
इन सूत्रों को इस प्रकार जोड़ा जा सकता है:
.
जब द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात हो जाते हैं, तब दूसरी डिग्री के बहुपद को कारकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है (तथ्यात्मक):
.

इसके अलावा, हम मानते हैं कि वास्तविक संख्याएं हैं।
विचार करना द्विघात समीकरण का विभेदक:
.
यदि विवेचक धनात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं:
; .
तब वर्ग त्रिपद के गुणनखंड का रूप है:
.
अगर भेदभाव करने वाला शून्य, , तो द्विघात समीकरण (1) के दो गुणज (बराबर) वास्तविक मूल हैं:
.
गुणनखंडन:
.
यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो जटिल संयुग्म मूल हैं:
;
.
यहाँ काल्पनिक इकाई है;
और जड़ों के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं:
; .
फिर

.

ग्राफिक व्याख्या

अगर निर्माण फंक्शन ग्राफ
,
जो एक परवलय है, तो अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण के मूल होंगे
.
जब , ग्राफ भुज अक्ष (अक्ष) को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
जब , ग्राफ एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।
जब , ग्राफ x-अक्ष को पार नहीं करता है।

नीचे ऐसे रेखांकन के उदाहरण दिए गए हैं।

द्विघात समीकरण से संबंधित उपयोगी सूत्र

(एफ.1) ;
(एफ.2) ;
(एफ.3) .

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

हम रूपांतरण करते हैं और सूत्र (f.1) और (f.3) लागू करते हैं:




,
कहाँ पे
; .

तो, हमें दूसरी डिग्री के बहुपद के लिए सूत्र के रूप में मिला:
.
इससे यह देखा जा सकता है कि समीकरण

पर प्रदर्शन किया
तथा ।
अर्थात्, और द्विघात समीकरण के मूल हैं
.

द्विघात समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने के उदाहरण

उदाहरण 1

(1.1) .

समाधान

.
हमारे समीकरण (1.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं:
;
;
.

यहाँ से हम वर्ग त्रिपद का अपघटन कारकों में प्राप्त करते हैं:

.

फलन का ग्राफ y = 2 x 2 + 7 x + 3 x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह दो बिंदुओं पर x-अक्ष (अक्ष) को पार करता है:
तथा ।
ये बिंदु मूल समीकरण (1.1) के मूल हैं।

उत्तर

;
;
.

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(2.1) .

समाधान

हम द्विघात समीकरण को में लिखते हैं सामान्य दृष्टि से:
.
मूल समीकरण (2.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक शून्य है, समीकरण के दो बहु (बराबर) मूल हैं:
;
.

फिर त्रिपद के गुणनखंड का रूप है:
.

फलन का ग्राफ y = x 2 - 4 x + 4एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह एक बिंदु पर x-अक्ष (अक्ष) को स्पर्श करता है:
.
यह बिंदु मूल समीकरण (2.1) का मूल है। चूँकि यह जड़ दो बार गुणनखंडित होती है:
,
तब ऐसे मूल को गुणज कहते हैं। अर्थात्, वे मानते हैं कि दो समान जड़ें हैं:
.

उत्तर

;
.

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(3.1) .

समाधान

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखते हैं:
(1) .
आइए मूल समीकरण (3.1) को फिर से लिखें:
.
(1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
विभेदक ऋणात्मक है, . इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आप जटिल जड़ें पा सकते हैं:
;
;
.

फिर


.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ x-अक्ष को पार नहीं करता है। कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह भुज (अक्ष) को पार नहीं करता है। इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

उत्तर

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। जटिल जड़ें:
;
;
.

द्विघातीय समीकरण. भेदभाव करने वाला। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

द्विघात समीकरणों के प्रकार

द्विघात समीकरण क्या है? यह कैसा दिखता है? अवधि में द्विघात समीकरणकीवर्ड है "वर्ग"।इसका मतलब है कि समीकरण में आवश्यक रूप सेएक x वर्ग होना चाहिए। इसके अलावा, समीकरण में (या नहीं भी हो सकता है!) बस x (पहली डिग्री तक) और सिर्फ एक संख्या (स्वतंत्र सदस्य)।और दो से अधिक डिग्री में x नहीं होना चाहिए।

गणितीय शब्दों में, द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

यहां ए, बी और सी- कुछ नंबर। बी और सी- बिल्कुल कोई, लेकिन एक- शून्य के अलावा कुछ भी। उदाहरण के लिए:

यहां एक =1; बी = 3; सी = -4

यहां एक =2; बी = -0,5; सी = 2,2

यहां एक =-3; बी = 6; सी = -18

खैर, आप विचार समझ गए...

इन द्विघात समीकरणों में, बाईं ओर है पूरा स्थिरसदस्य। गुणांक के साथ x चुकता एक,गुणांक के साथ पहली शक्ति के लिए x बीतथा मुक्त सदस्य

ऐसे द्विघात समीकरण कहलाते हैं पूरा।

क्या हो अगर बी= 0, हमें क्या मिलेगा? हमारे पास है एक्स पहली डिग्री में गायब हो जाएगा।यह शून्य से गुणा करने पर होता है।) यह पता चलता है, उदाहरण के लिए:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-एक्स 2 +4x=0

आदि। और यदि दोनों गुणांक बीतथा सीशून्य के बराबर हैं, तो यह और भी आसान है:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

ऐसे समीकरण, जिनमें कुछ छूट जाता है, कहलाते हैं अपूर्ण द्विघात समीकरण।जो काफी तार्किक है।) कृपया ध्यान दें कि x वर्ग सभी समीकरणों में मौजूद है।

वैसे क्यों एकशून्य नहीं हो सकता? और आप इसके बजाय स्थानापन्न करें एकशून्य।) वर्ग में X गायब हो जाएगा! समीकरण रैखिक हो जाएगा। और यह अलग तरह से किया जाता है ...

यह सभी मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरण हैं। पूर्ण और अपूर्ण।

द्विघात समीकरणों का हल।

पूर्ण द्विघात समीकरणों का हल।

द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है। सूत्रों और स्पष्ट सरल नियमों के अनुसार। पहले चरण में, दिए गए समीकरण को मानक रूप में लाना आवश्यक है, अर्थात। देखने के लिए:

यदि इस रूप में आपको पहले से ही समीकरण दिया गया है, तो आपको पहले चरण को करने की आवश्यकता नहीं है।) मुख्य बात सभी गुणांकों को सही ढंग से निर्धारित करना है, एक, बीतथा सी.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को कहते हैं विभेदक. लेकिन उसके बारे में नीचे। जैसा कि आप देख सकते हैं, x ज्ञात करने के लिए हम उपयोग करते हैं केवल ए, बी और सी. वे। द्विघात समीकरण से गुणांक। बस मूल्यों को ध्यान से बदलें ए, बी और सीइस सूत्र और गिनती में। स्थानापन्न अपने संकेतों के साथ! उदाहरण के लिए, समीकरण में:

एक =1; बी = 3; सी= -4। यहाँ हम लिखते हैं:

उदाहरण लगभग हल हो गया:

यही उत्तर है।

सब कुछ बहुत सरल है। और आपको क्या लगता है, आप गलत नहीं हो सकते? अच्छा, हाँ, कैसे...

सबसे आम गलतियाँ मूल्यों के संकेतों के साथ भ्रम हैं ए, बी और सी. या बल्कि, उनके संकेतों के साथ नहीं (भ्रमित होने के लिए कहां है?), लेकिन प्रतिस्थापन के साथ नकारात्मक मानजड़ों की गणना के सूत्र में। यहां, विशिष्ट संख्याओं के साथ सूत्र का विस्तृत रिकॉर्ड सहेजा जाता है। यदि गणना में कोई समस्या है, तो इसे करो!

मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहां एक = -6; बी = -5; सी = -1

मान लीजिए कि आप जानते हैं कि आपको शायद ही पहली बार उत्तर मिलते हैं।

खैर, आलसी मत बनो। एक अतिरिक्त लाइन लिखने में 30 सेकंड का समय लगेगा और त्रुटियों की संख्या तेजी से गिरेगा. इसलिए हम सभी कोष्ठकों और चिह्नों के साथ विस्तार से लिखते हैं:

इतनी सावधानी से पेंट करना अविश्वसनीय रूप से कठिन लगता है। लेकिन लगता ही है। इसे अजमाएं। अच्छा, या चुनें। कौन सा बेहतर है, तेज, या सही? इसके अलावा, मैं तुम्हें खुश कर दूंगा। थोड़ी देर बाद, सब कुछ इतनी सावधानी से पेंट करने की आवश्यकता नहीं होगी। यह सिर्फ सही निकलेगा। खासकर यदि आप व्यावहारिक तकनीकों को लागू करते हैं, जिनका वर्णन नीचे किया गया है। Minuses के एक समूह के साथ यह बुरा उदाहरण आसानी से और त्रुटियों के बिना हल किया जाएगा!

लेकिन, अक्सर, द्विघात समीकरण थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

क्या आप जानते हैं?) हाँ! यह अपूर्ण द्विघात समीकरण.

अपूर्ण द्विघात समीकरणों का हल।

उन्हें सामान्य सूत्र द्वारा भी हल किया जा सकता है। आपको बस सही ढंग से यह पता लगाने की जरूरत है कि यहां क्या बराबर है ए, बी और सी.

समझना? पहले उदाहरण में ए = 1; बी = -4;एक सी? यह बिल्कुल मौजूद नहीं है! अच्छा, हाँ, यह सही है। गणित में, इसका अर्थ है कि सी = 0 ! बस इतना ही। सूत्र में के स्थान पर शून्य रखिए सी,और सब कुछ हमारे लिए काम करेगा। इसी तरह दूसरे उदाहरण के साथ। केवल शून्य हमारे यहाँ नहीं है साथ, एक बी !

लेकिन अधूरे द्विघात समीकरणों को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। बिना किसी सूत्र के। पहले अपूर्ण समीकरण पर विचार करें। बाईं ओर क्या किया जा सकता है? आप एक्स को कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें।

और इसका क्या? और तथ्य यह है कि उत्पाद शून्य के बराबर है, और केवल अगर कोई भी कारक शून्य के बराबर है! विश्वास मत करो? खैर, फिर दो गैर-शून्य संख्याएँ लेकर आएँ, जिन्हें गुणा करने पर शून्य मिलेगा!
काम नहीं करता है? कुछ...
इसलिए, हम विश्वास के साथ लिख सकते हैं: एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 4.

हर चीज़। ये हमारे समीकरण की जड़ें होंगी। दोनों फिट। उनमें से किसी को भी मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही पहचान 0 = 0 प्राप्त होती है। जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान सामान्य सूत्र की तुलना में बहुत सरल है। मैं ध्यान देता हूं, वैसे, कौन सा एक्स पहला होगा, और कौन सा दूसरा - यह बिल्कुल उदासीन है। क्रम में लिखना आसान एक्स 1- जो भी कम हो एक्स 2- वह जो अधिक हो।

दूसरा समीकरण भी आसानी से हल किया जा सकता है। हम 9 को दाईं ओर ले जाते हैं। हम पाते हैं:

यह 9 से जड़ निकालने के लिए बनी हुई है, और बस। प्राप्त:

भी दो जड़ें . एक्स 1 = -3, एक्स 2 = 3.

इस प्रकार सभी अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है। या तो एक्स को कोष्ठक से निकालकर, या बस संख्या को दाईं ओर स्थानांतरित करके, उसके बाद रूट निकालकर।
इन तरीकों को भ्रमित करना बेहद मुश्किल है। सिर्फ इसलिए कि पहले मामले में आपको एक्स से रूट निकालना होगा, जो किसी भी तरह समझ से बाहर है, और दूसरे मामले में ब्रैकेट से बाहर निकलने के लिए कुछ भी नहीं है ...

भेदभाव करने वाला। विभेदक सूत्र।

जादुई शब्द विभेदक ! हाई स्कूल के एक दुर्लभ छात्र ने यह शब्द नहीं सुना है! वाक्यांश "विवेककर्ता के माध्यम से निर्णय लें" आश्वस्त और आश्वस्त करने वाला है। क्योंकि विवेचक से तरकीबों का इंतजार करने की जरूरत नहीं है! इसे संभालने में आसान और परेशानी से मुक्त है।) मैं आपको सबसे ज्यादा याद दिलाता हूं सामान्य सूत्रसमाधान के लिए कोईद्विघातीय समीकरण:

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को विवेचक कहा जाता है। विवेचक को आमतौर पर पत्र द्वारा दर्शाया जाता है डी. विभेदक सूत्र:

डी = बी 2 - 4ac

और इस अभिव्यक्ति में ऐसा क्या खास है? इसके लायक क्यों था विशेष नाम? क्या विभेदक का अर्थ?आख़िरकार -बी,या 2एइस सूत्र में वे विशेष रूप से नाम नहीं ... अक्षर और अक्षर।

बात यह है। इस सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय, यह संभव है केवल तीन मामले।

1. विवेचक सकारात्मक है।इसका मतलब है कि आप इससे जड़ निकाल सकते हैं। जड़ को अच्छी तरह से निकाला गया है या बुरी तरह से यह एक और सवाल है। यह महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत रूप में क्या निकाला जाता है। तब आपके द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। दो अलग समाधान।

2. विवेचक शून्य है।तो आपके पास एक ही उपाय है। चूँकि अंश में शून्य जोड़ने या घटाने से कुछ भी नहीं बदलता है। कड़ाई से बोलते हुए, यह एक जड़ नहीं है, बल्कि दो समान. लेकिन, एक सरलीकृत संस्करण में, इसके बारे में बात करने की प्रथा है एक हल।

3. विवेचक ऋणात्मक है।एक ऋणात्मक संख्या वर्गमूल नहीं लेती है। अच्छी तरह से ठीक है। इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।

सच कहूं तो सरल उपायद्विघात समीकरण, विभेदक की अवधारणा की विशेष रूप से आवश्यकता नहीं है। हम सूत्र में गुणांकों के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, और हम विचार करते हैं। वहाँ सब कुछ अपने आप निकल जाता है, और दो जड़ें, और एक, और एक भी नहीं। हालाँकि, अधिक जटिल कार्यों को हल करते समय, बिना ज्ञान के अर्थ और विभेदक सूत्रपर्याप्त नहीं। विशेष रूप से - मापदंडों के साथ समीकरणों में। इस तरह के समीकरण जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए एरोबेटिक्स हैं!)

इसलिए, द्विघात समीकरणों को कैसे हल करेंआपके द्वारा याद किए गए विवेचक के माध्यम से। या सीखा है, जो बुरा भी नहीं है।) आप सही ढंग से पहचानना जानते हैं ए, बी और सी. आपको पता है कैसे सावधानी सेउन्हें मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सावधानी सेपरिणाम गिनें। आपको समझ में आया कीवर्डयहां - सावधानी से?

अब उन व्यावहारिक तकनीकों पर ध्यान दें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम करती हैं। वही जो असावधानी के कारण होते हैं... जिसके लिए यह फिर दर्दनाक और अपमानजनक होता है...

पहला स्वागत . द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाने के लिए हल करने से पहले आलसी मत बनो। इसका क्या मतलब है?
मान लीजिए, किसी भी परिवर्तन के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

जड़ों का सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिलाएंगे ए, बी और सी।उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। पहले, x चुकता, फिर बिना वर्ग के, फिर एक मुक्त सदस्य। ऐशे ही:

और फिर, जल्दी मत करो! x चुकता से पहले का माइनस आपको बहुत परेशान कर सकता है। इसे भूलना आसान है... माइनस से छुटकारा पाएं। कैसे? हाँ, जैसा कि पिछले विषय में पढ़ाया गया था! हमें पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना होगा। हम पाते हैं:

और अब आप जड़ों के लिए सूत्र को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को पूरा कर सकते हैं। आप ही निर्णय लें। आपको जड़ों 2 और -1 के साथ समाप्त होना चाहिए।

दूसरा स्वागत। अपनी जड़ों की जाँच करें! Vieta के प्रमेय के अनुसार। चिंता मत करो, मैं सब कुछ समझा दूंगा! चेकिंग आखिरी बातसमीकरण। वे। जिसके द्वारा हमने मूलों का सूत्र लिख दिया। यदि (इस उदाहरण में) गुणांक ए = 1, जड़ों को आसानी से जांचें। उन्हें गुणा करने के लिए पर्याप्त है। आपको एक फ्री टर्म मिलना चाहिए, यानी। हमारे मामले -2 में। ध्यान दें, 2 नहीं, बल्कि -2! स्वतंत्र सदस्य आपके संकेत के साथ . अगर यह काम नहीं करता है, तो इसका मतलब है कि वे पहले ही कहीं गड़बड़ कर चुके हैं। एक त्रुटि की तलाश करें।

यदि यह काम करता है, तो आपको जड़ों को मोड़ना होगा। अंतिम और अंतिम जांच। अनुपात होना चाहिए बीसाथ विलोम संकेत। हमारे मामले में -1+2 = +1। एक गुणांक बी, जो x से पहले है, -1 के बराबर है। तो, सब ठीक है!
यह अफ़सोस की बात है कि यह केवल उन उदाहरणों के लिए इतना सरल है जहाँ x वर्ग शुद्ध है, एक गुणांक के साथ ए = 1.लेकिन कम से कम ऐसे समीकरणों की जाँच करें! कम गलतियाँ होंगी।

रिसेप्शन तीसरा . यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! "समीकरणों को कैसे हल करें? पहचान परिवर्तन" पाठ में वर्णित सामान्य हर से समीकरण को गुणा करें। अंशों, त्रुटियों के साथ काम करते समय, किसी कारण से चढ़ना ...

वैसे, मैंने एक बुरे उदाहरण का वादा किया था जिसमें मिनिस के एक समूह को सरल बनाया गया था। कृप्या! वह यहाँ है।

Minuses में भ्रमित न होने के लिए, हम समीकरण को -1 से गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

बस इतना ही! निर्णय लेना मजेदार है!

तो चलिए विषय को फिर से समझते हैं।

व्यावहारिक सुझाव:

1. हल करने से पहले, हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, इसे बनाते हैं सही.

2. यदि वर्ग में x के सामने ऋणात्मक गुणांक है, तो हम पूरे समीकरण को -1 से गुणा करके इसे समाप्त करते हैं।

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को संगत कारक से गुणा करके भिन्नों को हटा देते हैं।

4. यदि x वर्ग शुद्ध है, तो इसका गुणांक एक के बराबर है, विलयन को Vieta के प्रमेय द्वारा आसानी से जाँचा जा सकता है। इसे करें!

अब आप तय कर सकते हैं।)

समीकरण हल करें:

8x 2 - 6x + 1 = 0

एक्स 2 + 3x + 8 = 0

एक्स 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

उत्तर (अव्यवस्था में):

एक्स 1 = 0
एक्स 2 = 5

एक्स 1.2 =2

एक्स 1 = 2
एक्स 2 \u003d -0.5

एक्स - कोई भी संख्या

एक्स 1 = -3
एक्स 2 = 3

कोई समाधान नहीं

एक्स 1 = 0.25
एक्स 2 \u003d 0.5

क्या सब कुछ ठीक है? उत्कृष्ट! द्विघात समीकरण आपका सिरदर्द नहीं हैं। पहले तीन निकले, लेकिन बाकी नहीं निकले? तब समस्या द्विघात समीकरणों में नहीं है। समस्या समीकरणों के समान परिवर्तनों में है। लिंक पर एक नज़र डालें, यह मददगार है।

काफी काम नहीं करता? या यह बिल्कुल काम नहीं करता है? तब धारा 555 आपकी सहायता करेगी।वहां, इन सभी उदाहरणों को हड्डियों द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है। दिखा मुख्यसमाधान में त्रुटियां। बेशक, हम समाधान में समान परिवर्तनों के अनुप्रयोग के बारे में भी बात करते हैं विभिन्न समीकरण. बहुत मदद करता है!

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हम विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं समीकरणों का हल". हम पहले ही रैखिक समीकरणों से परिचित हो चुके हैं और अब हम इससे परिचित होने जा रहे हैं द्विघातीय समीकरण.

सबसे पहले, हम चर्चा करेंगे कि द्विघात समीकरण क्या है, इसे सामान्य रूप में कैसे लिखा जाता है, और संबंधित परिभाषाएँ देंगे। उसके बाद, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। आइए समाधान पर चलते हैं। पूर्ण समीकरण, हम जड़ों का सूत्र प्राप्त करते हैं, द्विघात समीकरण के विवेचक से परिचित होते हैं और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करते हैं। अंत में, हम जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध का पता लगाते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

द्विघात समीकरण क्या है? उनके प्रकार

सबसे पहले आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि द्विघात समीकरण क्या है। इसलिए, द्विघात समीकरण की परिभाषा के साथ-साथ उससे संबंधित परिभाषाओं के साथ द्विघात समीकरणों के बारे में बात करना शुरू करना तर्कसंगत है। उसके बाद, आप मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरणों पर विचार कर सकते हैं: कम और गैर-कम, साथ ही पूर्ण और अपूर्ण समीकरण।

द्विघात समीकरणों की परिभाषा और उदाहरण

परिभाषा।

द्विघात समीकरणफॉर्म का एक समीकरण है ए एक्स 2 +बी एक्स+सी=0, जहाँ x एक चर है, a , b और c कुछ संख्याएँ हैं, और a शून्य से भिन्न है।

आइए तुरंत कहें कि द्विघात समीकरणों को अक्सर दूसरी डिग्री के समीकरण कहा जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि द्विघात समीकरण है बीजीय समीकरण दूसरी उपाधि।

ध्वनि की परिभाषा हमें द्विघात समीकरणों के उदाहरण देने की अनुमति देती है। तो 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, आदि। द्विघात समीकरण हैं।

परिभाषा।

नंबर ए, बी और सी कहा जाता है द्विघात समीकरण के गुणांक a x 2 + b x + c \u003d 0, और गुणांक a को पहला, या वरिष्ठ, या x 2 पर गुणांक कहा जाता है, b दूसरा गुणांक है, या x पर गुणांक है, और c एक मुक्त सदस्य है।

उदाहरण के लिए, आइए 5 x 2 −2 x−3=0 के रूप का द्विघात समीकरण लें, यहां प्रमुख गुणांक 5 है, दूसरा गुणांक −2 है, और मुक्त पद −3 है। ध्यान दें कि जब गुणांक b और/या c ऋणात्मक हों, जैसा कि अभी दिए गए उदाहरण में है, तब संक्षिप्त रूप 5 x 2 −2 x−3=0 फॉर्म का द्विघात समीकरण लिखना, न कि 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 ।

यह ध्यान देने योग्य है कि जब गुणांक a और / या b 1 या -1 के बराबर होते हैं, तो वे आमतौर पर द्विघात समीकरण के संकेतन में स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं होते हैं, जो कि इस तरह के अंकन की ख़ासियत के कारण होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण y 2 −y+3=0 में, प्रमुख गुणांक एक है, और y पर गुणांक -1 है।

कम और गैर कम द्विघात समीकरण

अग्रणी गुणांक के मूल्य के आधार पर, कम और गैर-कम द्विघात समीकरण प्रतिष्ठित हैं। आइए हम संबंधित परिभाषाएं दें।

परिभाषा।

एक द्विघात समीकरण जिसमें अग्रणी गुणांक 1 होता है, कहलाता है घटा हुआ द्विघात समीकरण. अन्यथा, द्विघात समीकरण है कम किया हुआ.

के अनुसार यह परिभाषा, द्विघात समीकरण x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, आदि। - घटाया गया, उनमें से प्रत्येक में पहला गुणांक एक के बराबर है। और 5 x 2 −x−1=0 , आदि। - अपरिष्कृत द्विघात समीकरण, उनके प्रमुख गुणांक 1 से भिन्न होते हैं।

किसी भी गैर-घटित द्विघात समीकरण से, इसके दोनों भागों को अग्रणी गुणांक से विभाजित करके, आप घटाए गए समीकरण पर जा सकते हैं। यह क्रिया एक समतुल्य परिवर्तन है, अर्थात, इस तरह से प्राप्त कम द्विघात समीकरण की जड़ें मूल गैर-घटित द्विघात समीकरण के समान हैं, या, इसकी तरह, कोई जड़ें नहीं हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं कि कैसे एक असंबद्ध द्विघात समीकरण से एक कम किए गए समीकरण में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण।

समीकरण 3 x 2 +12 x−7=0 से, संगत घटाए गए द्विघात समीकरण पर जाएं।

समाधान।

हमारे लिए मूल समीकरण के दोनों भागों को प्रमुख गुणांक 3 से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, यह गैर-शून्य है, इसलिए हम यह क्रिया कर सकते हैं। हमारे पास (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 है, जो समान है (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , और इसी तरह (3 x 2): :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , कहां से । तो हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिला, जो मूल समीकरण के बराबर है।

उत्तर:

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण की परिभाषा में एक शर्त a≠0 है। समीकरण a x 2 +b x+c=0 के बिल्कुल वर्गाकार होने के लिए यह शर्त आवश्यक है, क्योंकि a=0 के साथ यह वास्तव में b x+c=0 रूप का एक रैखिक समीकरण बन जाता है।

गुणांक बी और सी के लिए, वे शून्य के बराबर हो सकते हैं, दोनों अलग-अलग और एक साथ। इन मामलों में, द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा।

द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 कहा जाता है अधूरा, यदि कम से कम एक गुणांक b , c शून्य के बराबर है।

इसकी बारी में

परिभाषा।

पूर्ण द्विघात समीकरणएक समीकरण है जिसमें सभी गुणांक शून्य से भिन्न होते हैं।

ये नाम संयोग से नहीं दिए गए हैं। यह निम्नलिखित चर्चा से स्पष्ट हो जाएगा।

यदि गुणांक b शून्य के बराबर है, तो द्विघात समीकरण a x 2 +0 x+c=0 रूप लेता है, और यह समीकरण a x 2 +c=0 के बराबर है। यदि c=0 , अर्थात द्विघात समीकरण का रूप a x 2 +b x+0=0 है, तो इसे a x 2 +b x=0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। और b=0 और c=0 से हमें द्विघात समीकरण a·x 2 =0 मिलता है। परिणामी समीकरण पूर्ण द्विघात समीकरण से इस मायने में भिन्न होते हैं कि उनके बाएँ हाथ की भुजाओं में या तो चर x वाला कोई पद नहीं है, या एक मुक्त पद, या दोनों नहीं हैं। इसलिए उनके नाम - अपूर्ण द्विघात समीकरण।

तो समीकरण x 2 +x+1=0 और −2 x 2 −5 x+0,2=0 पूर्ण द्विघात समीकरणों के उदाहरण हैं, और x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

यह पिछले पैराग्राफ की जानकारी से इस प्रकार है कि वहाँ है तीन प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण:

• a x 2 =0 , गुणांक b=0 और c=0 इसके अनुरूप हैं;
• a x 2 +c=0 जब b=0 ;
• और a x 2 +b x=0 जब c=0 ।

आइए हम इस क्रम में विश्लेषण करें कि इनमें से प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

ए एक्स 2 \u003d 0

आइए अधूरे द्विघात समीकरणों को हल करके शुरू करें जिसमें गुणांक b और c शून्य के बराबर हैं, अर्थात, x 2 = 0 के रूप के समीकरणों के साथ। समीकरण a·x 2 =0 समीकरण x 2 =0 के समतुल्य है, जो मूल से इसके दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। जाहिर है, समीकरण x 2 \u003d 0 की जड़ शून्य है, 0 2 \u003d 0 से। इस समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं है, जिसे समझाया गया है, वास्तव में, किसी भी गैर-शून्य संख्या p के लिए, असमानता p 2 >0 होती है, जिसका अर्थ है कि p≠0 के लिए, समानता p 2 = 0 कभी हासिल नहीं होती है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 \u003d 0 का एक मूल x \u003d 0 है।

उदाहरण के तौर पर, हम एक अपूर्ण द्विघात समीकरण −4·x 2 =0 का हल देते हैं। यह समीकरण x 2 \u003d 0 के बराबर है, इसका एकमात्र मूल x \u003d 0 है, इसलिए मूल समीकरण का एक मूल शून्य है।

इस मामले में एक संक्षिप्त समाधान निम्नानुसार जारी किया जा सकता है:
−4 x 2 \u003d 0,
एक्स 2 \u003d 0,
एक्स = 0।

ए एक्स 2 +सी = 0

अब विचार करें कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, जिसमें गुणांक b शून्य के बराबर होता है, और c≠0, यानी a x 2 +c=0 के रूप के समीकरण। हम जानते हैं कि समीकरण के एक तरफ से विपरीत चिह्न के साथ एक पद का स्थानांतरण, साथ ही साथ एक गैर-शून्य संख्या द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों का विभाजन, एक समान समीकरण देता है। इसलिए, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 के निम्नलिखित समतुल्य परिवर्तन किए जा सकते हैं:

• c को दाईं ओर ले जाएँ, जो समीकरण a x 2 =−c देता है,
• और इसके दोनों भागों को a से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है।

परिणामी समीकरण हमें इसकी जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है। a और c के मानों के आधार पर, व्यंजक का मान ऋणात्मक हो सकता है (उदाहरण के लिए, यदि a=1 और c=2 , तो ) या धनात्मक, (उदाहरण के लिए, यदि a=−2 और c=6 , तब), यह शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि शर्त c≠0 के अनुसार। हम अलग से मामलों का विश्लेषण करेंगे और .

यदि , तो समीकरण का कोई मूल नहीं है। यह कथन इस तथ्य का अनुसरण करता है कि किसी भी संख्या का वर्ग एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि जब , तब किसी संख्या p के लिए समता सत्य नहीं हो सकती।

यदि , तो समीकरण की जड़ों के साथ स्थिति अलग है। इस मामले में, अगर हम याद करते हैं, तो समीकरण की जड़ तुरंत स्पष्ट हो जाती है, यह संख्या है, क्योंकि। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या भी समीकरण की जड़ है, वास्तव में,। इस समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं, जिन्हें दिखाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, विरोधाभास द्वारा। हो जाए।

आइए समीकरण के उचित स्वर वाले मूलों को x 1 और −x 1 के रूप में निरूपित करें। मान लीजिए कि समीकरण का एक और मूल x 2 है जो संकेतित मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। यह ज्ञात है कि इसकी जड़ों के x के बजाय समीकरण में प्रतिस्थापन समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देता है। x 1 और −x 1 के लिए हमारे पास है, और x 2 के लिए हमारे पास है। संख्यात्मक समानता के गुण हमें वास्तविक संख्यात्मक समानता के पद-दर-अवधि घटाव करने की अनुमति देते हैं, इसलिए समानता के संगत भागों को घटाना x 1 2 - x 2 2 = 0 देता है। संख्याओं के साथ संक्रियाओं के गुण हमें परिणामी समानता को (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देते हैं। हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो। इसलिए, यह प्राप्त समानता का अनुसरण करता है कि x 1 −x 2 =0 और/या x 1 +x 2 =0 , जो समान है, x 2 =x 1 और/या x 2 = −x 1 । इसलिए हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं, क्योंकि शुरुआत में हमने कहा था कि समीकरण x 2 का मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। इससे सिद्ध होता है कि समीकरण का और के अलावा और कोई मूल नहीं है।

आइए इस पैराग्राफ में जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करें। अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 समीकरण के समतुल्य है, जो

• कोई जड़ नहीं है अगर ,
• दो जड़ें हैं और यदि .

a·x 2 +c=0 रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

आइए द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 से शुरू करें। मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करने के बाद, यह 9·x 2 =−7 का रूप ले लेगा। परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को 9 से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं। चूँकि दायीं ओर एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, इसलिए मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 का कोई मूल नहीं है।

आइए एक और अपूर्ण द्विघात समीकरण −x 2 +9=0 हल करें। हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: -x 2 \u003d -9। अब हम दोनों भागों को -1 से विभाजित करते हैं, हमें x 2 =9 प्राप्त होता है। दाईं ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि या । अंतिम उत्तर लिखने के बाद: अपूर्ण द्विघात समीकरण −x 2 +9=0 के दो मूल x=3 या x=−3 हैं।

ए एक्स 2 +बी एक्स=0

यह c=0 के लिए अंतिम प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों के समाधान से निपटने के लिए बनी हुई है। फॉर्म के अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +b x=0 आपको हल करने की अनुमति देता है गुणनखंडन विधि. जाहिर है, हम समीकरण के बाईं ओर स्थित हो सकते हैं, जिसके लिए यह सामान्य कारक x को कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए पर्याप्त है। यह हमें मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण से x·(a·x+b)=0 रूप के समतुल्य समीकरण में जाने की अनुमति देता है। और यह समीकरण दो समीकरणों x=0 और a x+b=0 के समुच्चय के समतुल्य है, जिनमें से अंतिम रैखिक है और इसका मूल x=−b/a है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +b x=0 के दो मूल x=0 और x=−b/a हैं।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम एक विशिष्ट उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

समाधान।

हम कोष्ठक में से x निकालते हैं, यह समीकरण देता है। यह दो समीकरणों x=0 और के बराबर है। हम प्राप्त हल करते हैं रेखीय समीकरण: , और मिश्रित संख्या को . से विभाजित करना सामान्य अंश, हम देखतें है । इसलिए, मूल समीकरण के मूल x=0 और हैं।

आवश्यक अभ्यास प्राप्त करने के बाद, ऐसे समीकरणों के हल संक्षेप में लिखे जा सकते हैं:

उत्तर:

एक्स = 0,।

विभेदक, द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, एक मूल सूत्र है। आइए लिखते हैं द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र: , कहाँ पे डी=बी 2 −4 ए सी- तथाकथित द्विघात समीकरण का विभेदक. नोटेशन का अनिवार्य रूप से मतलब है कि .

यह जानना उपयोगी है कि मूल सूत्र कैसे प्राप्त किया गया था, और इसे द्विघात समीकरणों की जड़ों को खोजने में कैसे लागू किया जाता है। आइए इससे निपटें।

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 को हल करें। आइए कुछ समकक्ष परिवर्तन करें:

• हम इस समीकरण के दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित कर सकते हैं, परिणामस्वरूप हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिलता है।
• अब चुन लेना पूर्ण वर्ग इसके बाईं ओर: . उसके बाद, समीकरण रूप लेगा।
• इस स्तर पर, हमारे पास विपरीत चिन्ह के साथ अंतिम दो पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव है।
• और दायीं ओर के व्यंजक को भी रूपांतरित करते हैं: .

नतीजतन, हम समीकरण पर पहुंचते हैं, जो मूल द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 के बराबर है।

जब हमने विश्लेषण किया तो हम पिछले पैराग्राफ में समान रूप में समीकरणों को पहले ही हल कर चुके हैं। यह हमें समीकरण की जड़ों के बारे में निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है:

• यदि , तो समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है;
• यदि , तो समीकरण का वह रूप है , इसलिए , जिससे उसका एकमात्र मूल दिखाई देता है;
• यदि , तो या , जो या के समान है, अर्थात समीकरण के दो मूल हैं।

इस प्रकार, समीकरण के मूलों की उपस्थिति या अनुपस्थिति, और इसलिए मूल द्विघात समीकरण, दायीं ओर के व्यंजक के चिन्ह पर निर्भर करता है। बदले में, इस व्यंजक का चिह्न अंश के चिह्न से निर्धारित होता है, क्योंकि हर 4 a 2 हमेशा धनात्मक होता है, अर्थात व्यंजक b 2 −4 a c का चिह्न। यह व्यंजक b 2 −4 a c कहलाता है द्विघात समीकरण का विभेदकऔर पत्र के साथ चिह्नित डी. यहाँ से विवेचक का सार स्पष्ट है - इसके मूल्य और चिन्ह से यह निष्कर्ष निकलता है कि क्या द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल हैं, और यदि हां, तो उनकी संख्या क्या है - एक या दो।

हम समीकरण पर लौटते हैं, इसे विवेचक के संकेतन का उपयोग करके फिर से लिखते हैं:। और हम निष्कर्ष निकालते हैं:

• अगर डी<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• यदि D=0, तो इस समीकरण का एक ही मूल है;
• अंत में, यदि D>0, तो समीकरण के दो मूल हैं या, जिसे या के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, और भिन्नों को एक सामान्य हर में विस्तारित और कम करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं।

इसलिए हमने द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र निकाले, वे ऐसे दिखते हैं, जहां विभेदक D की गणना सूत्र D=b 2 −4 a c द्वारा की जाती है।

उनकी मदद से, एक सकारात्मक विवेचक के साथ, आप द्विघात समीकरण के दोनों वास्तविक मूलों की गणना कर सकते हैं। जब विभेदक शून्य के बराबर होता है, तो दोनों सूत्र द्विघात समीकरण के एकमात्र समाधान के अनुरूप समान मूल मान देते हैं। और एक ऋणात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करते समय, हमें एक ऋणात्मक संख्या से वर्गमूल निकालने का सामना करना पड़ता है, जो हमें आगे ले जाता है और स्कूल के पाठ्यक्रम. एक नकारात्मक विवेचक के साथ, द्विघात समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं, लेकिन एक जोड़ी होती है जटिल सन्युग्मजड़ें, जिन्हें हमने प्राप्त किए गए मूल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

व्यवहार में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, आप तुरंत मूल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जिसके साथ उनके मूल्यों की गणना की जा सकती है। लेकिन यह जटिल जड़ों को खोजने के बारे में अधिक है।

हालाँकि, एक स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में, हम आमतौर पर जटिल के बारे में नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के बारे में बात करते हैं। इस मामले में, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले पहले विवेचक को खोजने की सलाह दी जाती है, सुनिश्चित करें कि यह गैर-ऋणात्मक है (अन्यथा, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और उसके बाद जड़ों के मूल्यों की गणना करें।

उपरोक्त तर्क हमें लिखने की अनुमति देता है द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म. द्विघात समीकरण a x 2 + b x + c \u003d 0 को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

• विभेदक सूत्र D=b 2 −4 a c का उपयोग करके इसके मान की गणना करें;
• यह निष्कर्ष निकालें कि यदि विभेदक ऋणात्मक है तो द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है;
• सूत्र का उपयोग करके समीकरण के एकमात्र मूल की गणना करें यदि D=0 ;
• यदि विभेदक धनात्मक है, तो मूल सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

यहां हम केवल यह नोट करते हैं कि यदि विवेचक शून्य के बराबर है, तो सूत्र का भी उपयोग किया जा सकता है, यह वही मान देगा जो .

आप द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म को लागू करने के उदाहरणों पर आगे बढ़ सकते हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

सकारात्मक, नकारात्मक और के साथ तीन द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करें शून्यभेदभाव करने वाला उनके हल से निपटने के बाद, सादृश्य द्वारा किसी अन्य द्विघात समीकरण को हल करना संभव होगा। चलो शुरू करो।

उदाहरण।

समीकरण x 2 +2 x−6=0 के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस मामले में, हमारे पास द्विघात समीकरण के निम्नलिखित गुणांक हैं: a=1 , b=2 और c=−6 । एल्गोरिथ्म के अनुसार, आपको पहले विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है, इसके लिए हम संकेतित a, b और c को विवेचक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास है डी=बी 2 −4 ए सी=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. चूँकि 28>0, अर्थात् विवेचक शून्य से बड़ा है, द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए उन्हें जड़ों के सूत्र द्वारा खोजें, हमें मिलता है, यहाँ हम करके प्राप्त किए गए व्यंजकों को सरल बना सकते हैं जड़ के चिन्ह को बाहर निकालनाइसके बाद अंश में कमी:

उत्तर:

आइए अगले विशिष्ट उदाहरण पर चलते हैं।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण −4 x 2 +28 x−49=0 को हल करें।

समाधान।

हम विवेचक को ढूंढकर शुरू करते हैं: डी=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. इसलिए, इस द्विघात समीकरण का एक ही मूल है, जिसे हम पाते हैं, अर्थात्,

उत्तर:

एक्स = 3.5।

यह नकारात्मक विवेचक के साथ द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करने के लिए बनी हुई है।

उदाहरण।

समीकरण 5 y 2 +6 y+2=0 हल कीजिए।

समाधान।

द्विघात समीकरण के गुणांक यहां दिए गए हैं: a=5 , b=6 और c=2 । इन मूल्यों को विवेचक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है डी=बी 2 −4 ए सी=6 2 −4 5 2=36−40=−4. विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए इस द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

यदि आपको जटिल जड़ों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, तो हम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं, और प्रदर्शन करते हैं जटिल संख्याओं के साथ संचालन:

उत्तर:

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, जटिल जड़ें हैं: .

एक बार फिर, हम ध्यान दें कि यदि द्विघात समीकरण का विभेदक ऋणात्मक है, तो स्कूल आमतौर पर तुरंत उत्तर लिख देता है, जिसमें वे इंगित करते हैं कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, और उन्हें जटिल जड़ें नहीं मिलती हैं।

दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र, जहां D=b 2 −4 a c आपको एक अधिक कॉम्पैक्ट सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है जो आपको x पर एक सम गुणांक के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है (या केवल एक गुणांक के साथ जो 2 n जैसा दिखता है) , उदाहरण के लिए, या 14 ln5=2 7 ln5 )। चलो उसे बाहर निकालते हैं।

मान लीजिए कि हमें a x 2 +2 n x + c=0 रूप के द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। आइए हम ज्ञात सूत्र का उपयोग करके इसकी जड़ें खोजें। ऐसा करने के लिए, हम विवेचक की गणना करते हैं D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), और फिर हम मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

व्यंजक n 2 -a c को D 1 के रूप में निरूपित करें (कभी-कभी इसे D " के रूप में दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 n के साथ माना द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र रूप लेता है , जहां डी 1 =एन 2 -ए सी।

यह देखना आसान है कि D=4·D 1 , या D 1 =D/4 । दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का चौथा भाग है। यह स्पष्ट है कि D 1 का चिन्ह D के चिन्ह के समान है। अर्थात्, चिह्न D 1 भी द्विघात समीकरण के मूलों की उपस्थिति या अनुपस्थिति का सूचक है।

तो, दूसरे गुणांक 2 n के साथ द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको चाहिए

• D 1 =n 2 −a·c परिकलित करें;
• अगर डी 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• यदि डी 1 = 0, तो सूत्र का उपयोग करके समीकरण की एकमात्र जड़ की गणना करें;
• यदि D 1 >0, तो सूत्र का प्रयोग कर दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

इस अनुच्छेद में प्राप्त मूल सूत्र का उपयोग करके उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण 5 x 2 −6 x−32=0 को हल करें।

समाधान।

इस समीकरण के दूसरे गुणांक को 2·(−3) के रूप में दर्शाया जा सकता है। यानी, आप मूल द्विघात समीकरण को 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 के रूप में फिर से लिख सकते हैं, यहां a=5 , n=−3 और c=−32 , और इसके चौथे भाग की गणना कर सकते हैं विभेदक: डी 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. चूँकि इसका मान धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। हम उन्हें संबंधित मूल सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करना संभव था, लेकिन इस मामले में, अधिक कम्प्यूटेशनल कार्य करना होगा।

उत्तर:

द्विघात समीकरणों के रूप का सरलीकरण

कभी-कभी, सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना शुरू करने से पहले, यह प्रश्न पूछने में कोई दिक्कत नहीं होती है: "क्या इस समीकरण के रूप को सरल बनाना संभव है"? सहमत हैं कि गणना के संदर्भ में द्विघात समीकरण 11 x 2 −4 x −6=0 को 1100 x 2 −400 x−600=0 से हल करना आसान होगा।

आमतौर पर, द्विघात समीकरण के रूप का एक सरलीकरण इसके दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा या विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, पिछले पैराग्राफ में, हम दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करके समीकरण 1100 x 2 −400 x −600=0 का सरलीकरण प्राप्त करने में सफल रहे।

द्विघात समीकरणों के साथ एक समान परिवर्तन किया जाता है, जिसके गुणांक नहीं होते हैं। इस मामले में, समीकरण के दोनों भागों को आमतौर पर इसके गुणांकों के निरपेक्ष मूल्यों से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आइए द्विघात समीकरण 12 x 2 −42 x+48=0 लेते हैं। इसके गुणांकों के निरपेक्ष मान: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 । मूल द्विघात समीकरण के दोनों भागों को 6 से विभाजित करने पर, हम समतुल्य द्विघात समीकरण 2 x 2 −7 x+8=0 पर पहुंचते हैं।

और द्विघात समीकरण के दोनों भागों का गुणन आमतौर पर भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के लिए किया जाता है। इस मामले में, गुणन इसके गुणांकों के हर पर किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि द्विघात समीकरण के दोनों भागों को LCM(6, 3, 1)=6 से गुणा किया जाता है, तो यह एक सरल रूप x 2 +4 x−18=0 ले लेगा।

इस अनुच्छेद के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि लगभग हमेशा सभी पदों के संकेतों को बदलकर द्विघात समीकरण के प्रमुख गुणांक पर ऋण से छुटकारा मिलता है, जो दोनों भागों को -1 से गुणा (या विभाजित) करने के अनुरूप होता है। उदाहरण के लिए, आमतौर पर द्विघात समीकरण −2·x 2 −3·x+7=0 से समाधान 2·x 2 +3·x−7=0 पर जाएं।

द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र समीकरण के मूलों को उसके गुणांकों के रूप में व्यक्त करता है। मूलों के सूत्र के आधार पर, आप मूलों और गुणांकों के बीच अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं।

प्रपत्र के Vieta प्रमेय से सबसे प्रसिद्ध और लागू सूत्र और . विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 x 2 −7 x+22=0 के रूप में, हम तुरंत कह सकते हैं कि इसके मूलों का योग 7/3 है, और मूलों का गुणनफल 22/3 है।

पहले से लिखे गए सूत्रों का उपयोग करके, आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच कई अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों के योग को उसके गुणांकों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: .

ग्रंथ सूची।

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