बिना अंतराल के किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान कैसे प्राप्त करें। किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

व्यवहार में, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करने के लिए डेरिवेटिव का उपयोग करना काफी सामान्य है। हम यह क्रिया तब करते हैं जब हम यह पता लगाते हैं कि लागत को कैसे कम किया जाए, मुनाफा बढ़ाया जाए, उत्पादन पर इष्टतम भार की गणना की जाए, आदि, उन मामलों में जब किसी पैरामीटर के इष्टतम मूल्य को निर्धारित करना आवश्यक हो। ऐसी समस्याओं को सही ढंग से हल करने के लिए यह समझना आवश्यक है कि सबसे बड़ा क्या है और क्या है सबसे छोटा मूल्यकार्य करता है।

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आमतौर पर हम इन मूल्यों को कुछ अंतराल x के भीतर परिभाषित करते हैं, जो बदले में फ़ंक्शन या उसके हिस्से के पूरे दायरे के अनुरूप हो सकते हैं। यह या तो एक खंड हो सकता है [ a ; b ] , और खुला अंतराल (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , अनंत अंतराल (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) या अनंत अंतराल - ∞ ; ए , (- ∞ ; ए ] , [ ए ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) ।

इस लेख में, हम वर्णन करेंगे कि एक चर y=f(x) y = f (x) के साथ स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे परिकलित किया जाता है।

बुनियादी परिभाषाएँ

हम हमेशा की तरह, मुख्य परिभाषाओं के निर्माण के साथ शुरू करते हैं।

परिभाषा 1

किसी अंतराल x पर फलन y = f (x) का सबसे बड़ा मान m a x y = f (x 0) x ∈ X है, जो किसी भी मान x x ∈ X, x ≠ x 0 के लिए असमानता f (x) बनाता है ) ≤ च (x 0) .

परिभाषा 2

किसी अंतराल x पर फलन y = f (x) का सबसे छोटा मान m i n x ∈ X y = f (x 0) है, जो किसी भी मान x ∈ X , x ≠ x 0 के लिए असमानता f(X) बनाता है f (x) ≥ f(x0) .

ये परिभाषाएँ काफी स्पष्ट हैं। इससे भी आसान, आप यह कह सकते हैं: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान उसका सबसे बड़ा मान होता है बहुत महत्वभुज x 0 पर एक ज्ञात अंतराल पर, और सबसे छोटा x 0 पर समान अंतराल पर सबसे छोटा स्वीकृत मान है।

परिभाषा 3

स्थिर बिंदु फ़ंक्शन तर्क के ऐसे मान हैं जिन पर इसका व्युत्पन्न 0 हो जाता है।

हमें यह जानने की आवश्यकता क्यों है कि स्थिर बिंदु क्या हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें फर्मेट के प्रमेय को याद रखना होगा। इससे यह पता चलता है कि एक स्थिर बिंदु वह बिंदु होता है जिस पर एक अलग-अलग फ़ंक्शन का चरम स्थित होता है (यानी, इसकी स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम)। नतीजतन, फ़ंक्शन एक निश्चित अंतराल पर सबसे छोटे या सबसे बड़े मान को स्थिर बिंदुओं में से एक पर ले जाएगा।

एक अन्य फ़ंक्शन उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ले सकता है, जिस पर फ़ंक्शन स्वयं निश्चित होता है, और इसका पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है।

इस विषय का अध्ययन करते समय जो पहला प्रश्न उठता है वह यह है: क्या हम सभी मामलों में किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान निर्धारित कर सकते हैं? नहीं, हम ऐसा तब नहीं कर सकते जब दिए गए अंतराल की सीमाएं परिभाषा के डोमेन की सीमाओं के साथ मेल खाती हों, या यदि हम एक अनंत अंतराल के साथ काम कर रहे हों। ऐसा भी होता है कि किसी दिए गए अंतराल या अनंत में एक फ़ंक्शन असीम रूप से छोटे या असीम रूप से बड़े मान लेगा। इन मामलों में, सबसे बड़ा और/या सबसे छोटा मान निर्धारित करना संभव नहीं है।

ग्राफ़ पर छवि के बाद ये क्षण अधिक समझ में आएंगे:

पहला आंकड़ा हमें एक फ़ंक्शन दिखाता है जो अंतराल पर स्थित स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़े और सबसे छोटे मान (m x y और m i n y) लेता है [ - 6 ; 6]।

आइए दूसरे ग्राफ में दर्शाए गए मामले की विस्तार से जांच करें। आइए खंड के मान को [ 1 ; 6] और हम पाते हैं कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान अंतराल की सही सीमा में भुज के साथ बिंदु पर प्राप्त किया जाएगा, और सबसे छोटा - स्थिर बिंदु पर।

तीसरे आंकड़े में, बिंदुओं के भुज खंड के सीमा बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं [- 3; 2]। वे दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के अनुरूप होते हैं।

अब चौथी तस्वीर देखते हैं। इसमें, फ़ंक्शन खुले अंतराल (- 6; 6) में स्थिर बिंदुओं पर m a x y (सबसे बड़ा मान) और m i n y (सबसे छोटा मान) लेता है।

अगर हम अंतराल लेते हैं [ 1 ; 6) , तो हम कह सकते हैं कि उस पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान स्थिर बिंदु पर पहुंच जाएगा। हम अधिकतम मूल्य नहीं जान पाएंगे। यदि x = 6 अंतराल से संबंधित है तो फ़ंक्शन 6 के बराबर x पर सबसे बड़ा मान ले सकता है। यह वह स्थिति है जिसे चित्र 5 में दिखाया गया है।

ग्राफ़ 6 पर, यह फ़ंक्शन अंतराल (- 3; 2 ] की सही सीमा में सबसे छोटा मान प्राप्त करता है, और हम सबसे बड़े मान के बारे में निश्चित निष्कर्ष नहीं निकाल सकते।

आकृति 7 में, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन में स्थिर बिंदु पर m a x y होगा, जिसका भुज 1 के बराबर होगा। फ़ंक्शन दाईं ओर अंतराल सीमा पर अपने न्यूनतम मान तक पहुँचता है। माइनस इन्फिनिटी पर, फ़ंक्शन के मान असमान रूप से y = 3 तक पहुंचेंगे।

यदि हम एक अंतराल x ∈ 2 लें; + ∞ , तब हम देखेंगे कि दिया गया फलन न तो सबसे छोटा मान लेगा और न ही सबसे बड़ा मान। यदि x 2 की ओर झुकता है, तो फ़ंक्शन के मान माइनस इनफिनिटी की ओर बढ़ेंगे, क्योंकि सीधी रेखा x = 2 एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है। यदि एब्सिस्सा प्लस इनफिनिटी की ओर जाता है, तो फ़ंक्शन के मान विषम रूप से y = 3 तक पहुंचेंगे। यह चित्र 8 में दिखाया गया मामला है।

इस पैराग्राफ में, हम एक निश्चित अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े या सबसे छोटे मूल्य को खोजने के लिए किए जाने वाले कार्यों का एक क्रम देंगे।

1. सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन का डोमेन खोजें। आइए देखें कि शर्त में निर्दिष्ट खंड इसमें शामिल है या नहीं।
2. अब आइए इस सेगमेंट में शामिल बिंदुओं की गणना करें, जिस पर पहला डेरिवेटिव मौजूद नहीं है। अक्सर, वे उन कार्यों में पाए जा सकते हैं जिनके तर्क मापांक चिह्न के तहत लिखे गए हैं, या शक्ति कार्यों में, जिनमें से प्रतिपादक एक भिन्नात्मक परिमेय संख्या है।
3. अगला, हम यह पता लगाते हैं कि कौन से स्थिर बिंदु किसी दिए गए खंड में आते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने की आवश्यकता है, फिर इसे 0 के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें, और फिर उपयुक्त जड़ों का चयन करें। यदि हमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं मिलता है या वे किसी दिए गए खंड में नहीं आते हैं, तो हम अगले चरण पर जाते हैं।
4. आइए निर्धारित करें कि दिए गए स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) पर फ़ंक्शन क्या मान लेगा, या उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई हो), या हम x = a और x के मानों की गणना करते हैं = ख।
5. 5. हमारे पास फ़ंक्शन मानों की एक श्रृंखला है, जिसमें से अब हमें सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनने की आवश्यकता है। यह उस फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान होगा जिसे हमें खोजने की आवश्यकता है।

आइए देखें कि समस्याओं को हल करते समय इस एल्गोरिथम को सही तरीके से कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण 1

स्थि‍ति:फलन y = x 3 + 4 x 2 दिया गया है। सेगमेंट पर इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें [ 1 ; 4 ] और [ - 4 ; - एक ] ।

समाधान:

आइए इस फ़ंक्शन के डोमेन को ढूंढकर प्रारंभ करें। इस स्थिति में, यह 0 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा। दूसरे शब्दों में, डी (वाई): एक्स ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; +∞ . शर्त में निर्दिष्ट दोनों खंड परिभाषा क्षेत्र के अंदर होंगे।

अब हम अंश के विभेदीकरण के नियम के अनुसार फलन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 एक्स 3

हमने सीखा है कि फलन का अवकलज खंडों के सभी बिंदुओं पर मौजूद होगा [ 1 ; 4 ] और [ - 4 ; - एक ] ।

अब हमें फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने की आवश्यकता है। इसे समीकरण x 3 - 8 x 3 = 0 के साथ करते हैं। इसका केवल एक वास्तविक मूल होता है, जो कि 2 है। यह समारोह का एक स्थिर बिंदु होगा और पहले खंड [ 1 ; चार ] ।

आइए पहले खंड के अंत में और दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें, अर्थात x = 1, x = 2 और x = 4 के लिए:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

हमने फलन m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 x = 1 पर प्राप्त किया जाएगा, और सबसे छोटा m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 - x = 2 पर।

दूसरे खंड में कोई स्थिर बिंदु शामिल नहीं है, इसलिए हमें केवल दिए गए खंड के सिरों पर फ़ंक्शन मानों की गणना करने की आवश्यकता है:

वाई (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

इसलिए, m a x y x ∈ [- 4; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1] = वाई (- 4) = - 3 3 4।

उत्तर:खंड के लिए [ 1 ; 4] - एम एक्स वाई एक्स ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , खंड के लिए [ - 4 ; - 1] - एम एक्स वाई एक्स ∈ [- 4; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1] = वाई (- 4) = - 3 3 4।

तस्वीर देखो:

इस पद्धति को सीखने से पहले, हम आपको सलाह देते हैं कि एक तरफा सीमा और अनंत पर सीमा की सही गणना कैसे करें, साथ ही उन्हें खोजने के लिए बुनियादी तरीकों को सीखने की समीक्षा करें। एक खुले या अनंत अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और / या सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों को क्रम से करते हैं।

1. पहले आपको यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या दिया गया अंतराल दिए गए फलन के प्रांत का एक उपसमुच्चय होगा।
2. आइए उन सभी बिंदुओं को निर्धारित करें जो आवश्यक अंतराल में समाहित हैं और जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। आम तौर पर वे उन कार्यों में होते हैं जहां तर्क मॉड्यूल के संकेत में और आंशिक रूप से तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ बिजली कार्यों में संलग्न होता है। यदि ये बिंदु गायब हैं, तो आप अगले चरण पर जा सकते हैं।
3. अब हम निर्धारित करते हैं कि कौन से स्थिर बिंदु दिए गए अंतराल में आते हैं। सबसे पहले, हम व्युत्पन्न को 0 के बराबर करते हैं, समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त जड़ें ढूंढते हैं। यदि हमारे पास एक भी स्थिर बिंदु नहीं है या वे निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं आते हैं, तो हम तुरंत आगे की कार्रवाई के लिए आगे बढ़ते हैं। वे अंतराल के प्रकार से निर्धारित होते हैं।

• यदि अंतराल जैसा दिखता है [ a ; b) , तो हमें बिंदु x = a और एक तरफा सीमा lim x → b - 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल का रूप (a ; b ] है, तो हमें बिंदु x = b और एकतरफा सीमा lim x → a + 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल का रूप (a; b) है, तो हमें एक तरफा सीमा lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल जैसा दिखता है [ a ; + ∞) , तो बिंदु x = a पर मान की गणना करना आवश्यक है और प्लस इन्फिनिटी लिम x → + ∞ f (x) की सीमा।
• यदि अंतराल (- ∞ ; b ] जैसा दिखता है, तो हम बिंदु x = b पर मान की गणना करते हैं और माइनस इनफिनिटी लिम x → - ∞ f (x) पर सीमा की गणना करते हैं।
• अगर - ∞ ; b , तो हम एकतरफा सीमा lim x → b - 0 f (x) पर विचार करते हैं और माइनस इनफिनिटी lim x → - ∞ f (x) पर सीमा
• अगर - ∞ ; + ∞, तो हम माइनस और प्लस इनफिनिटी लिम x → + ∞ f (x), लिम x → - ∞ f (x) की सीमा पर विचार करते हैं।

1. अंत में, आपको फ़ंक्शन और सीमाओं के प्राप्त मूल्यों के आधार पर एक निष्कर्ष निकालना होगा। यहाँ कई विकल्प हैं। इसलिए, यदि एक तरफा सीमा माइनस इनफिनिटी या प्लस इनफिनिटी के बराबर है, तो यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्य के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है। नीचे हम एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करेंगे। विस्तृत विवरणआपको समझने में मदद करता है कि क्या है। यदि आवश्यक हो, तो आप सामग्री के पहले भाग में अंक 4-8 पर लौट सकते हैं।

शर्त: दिया गया फलन y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 । अंतरालों में इसके सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करें - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

समाधान

सबसे पहले, हम फ़ंक्शन का डोमेन पाते हैं। भिन्न का हर एक वर्ग त्रिपद है, जिसे 0 पर नहीं जाना चाहिए:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

हमने फ़ंक्शन का दायरा प्राप्त कर लिया है, जिससे शर्त में निर्दिष्ट सभी अंतराल संबंधित हैं।

अब आइए फ़ंक्शन को अलग करें और प्राप्त करें:

वाई "= 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4" = 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 "= 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 1 एक्स 2 + एक्स - 6 "== 3 ई 1 एक्स 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) ई 1 x 2 + x - 6 x 2 + एक्स - 6 2

नतीजतन, किसी फ़ंक्शन के डेरिवेटिव्स इसकी परिभाषा के पूरे डोमेन पर मौजूद हैं।

चलिए स्थिर बिंदुओं को खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं। फलन का अवकलज x = - 1 2 पर 0 हो जाता है। यह एक स्थिर बिंदु है जो अंतराल (- 3 ; 1 ] और (- 3 ; 2) में है।

आइए अंतराल (- ∞ ; - 4 ] के लिए x = - 4 पर फलन के मान की गणना करें, साथ ही माइनस इन्फिनिटी पर सीमा की गणना करें:

वाई (- 4) \u003d 3 ई 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 ई 1 6 - 4 ≈ - 0। 456 लिम x → - ∞ 3 ई 1 x 2 + x - 6 = 3 ई 0 - 4 = - 1

चूँकि 3 e 1 6 - 4 > - 1 , तो m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 । यह हमें फलन का सबसे छोटा मान विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति नहीं देता है। हम केवल यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि नीचे एक सीमा है - 1 , क्योंकि यह इस मान के लिए है कि फ़ंक्शन माइनस इनफिनिटी पर स्पर्शोन्मुख रूप से पहुंचता है।

दूसरे अंतराल की एक विशेषता यह है कि इसमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं है और एक भी सख्त सीमा नहीं है। इसलिए, हम फ़ंक्शन के सबसे बड़े या सबसे छोटे मान की गणना नहीं कर सकते हैं। माइनस इन्फिनिटी पर सीमा को परिभाषित करके और जैसा कि तर्क -3 बाईं ओर जाता है, हमें केवल मानों की सीमा मिलती है:

लिम एक्स → - 3 - 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 - 0 3 ई 1 (एक्स + 3) (एक्स - 3) - 4 = 3 ई 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + ∞ लिम x → - ∞ 3 ई 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन मान अंतराल -1 में स्थित होंगे; + ∞

तीसरे अंतराल में फ़ंक्शन का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम स्थिर बिंदु x = - 1 2 यदि x = 1 पर इसका मान निर्धारित करते हैं। हमें मामले के लिए एक तरफा सीमा जानने की भी आवश्यकता है जब तर्क -3 दाईं ओर जाता है:

वाई - 1 2 = 3 ई 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 ई 4 25 - 4 ≈ - 1। 444 वाई (1) = 3 ई 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1। 644 लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 (एक्स + 3) (एक्स - 2) - 4 = 3 ई 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (- 0) - 4 = 3 ई - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

यह पता चला कि फ़ंक्शन एक स्थिर बिंदु m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 पर सबसे बड़ा मान लेगा। सबसे छोटे मान के रूप में, हम इसे निर्धारित नहीं कर सकते। यह सब हम पता है, -4 की निचली सीमा की उपस्थिति है।

अंतराल (- 3 ; 2) के लिए, पिछली गणना के परिणाम लेते हैं और एक बार फिर गणना करते हैं कि बाईं ओर से 2 की ओर बढ़ने पर एक तरफा सीमा बराबर होती है:

वाई - 1 2 = 3 ई 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 ई - 4 25 - 4 ≈ - 1। 444 लिम x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 लिम x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = लिम x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 ई 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 - 0 - 4 = 3 ई - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

इसलिए, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , और सबसे छोटा मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है, और फ़ंक्शन के मान नीचे से संख्या - 4 से बंधे हैं।

पिछली दो गणनाओं में हमने जो किया उसके आधार पर, हम यह दावा कर सकते हैं कि अंतराल पर [1; 2) फ़ंक्शन x = 1 पर सबसे बड़ा मान लेगा, और सबसे छोटा खोजना असंभव है।

अंतराल (2 ; + ∞) पर, फ़ंक्शन या तो सबसे बड़े या सबसे छोटे मान तक नहीं पहुंचेगा, अर्थात यह अंतराल से मान लेगा - 1 ; +∞ .

लिम एक्स → 2 + 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 (एक्स + 3) (एक्स - 2) - 4 = 3 ई 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + ∞ लिम एक्स → + ∞ 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

x = 4 पर फलन के मान की गणना करने के बाद, हमें पता चलता है कि m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , और दिया गया फलन प्लस इनफिनिटी पर असमान रूप से रेखा y = - 1 तक पहुंचेगा।

आइए तुलना करें कि हमें दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ प्रत्येक गणना में क्या मिला। चित्र में स्पर्शोन्मुख बिंदुओं को बिंदीदार रेखाओं द्वारा दिखाया गया है।

हम किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के बारे में बात करना चाहते थे। क्रियाओं के वे क्रम जो हमने दिए हैं, आपको जितनी जल्दी हो सके और सरलता से आवश्यक गणना करने में मदद करेंगे। लेकिन याद रखें कि अक्सर यह पता लगाना उपयोगी होता है कि किस अंतराल पर फलन घटेगा और किस पर बढ़ेगा, जिसके बाद आगे के निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। तो आप फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को अधिक सटीक रूप से निर्धारित कर सकते हैं और परिणामों को सही ठहरा सकते हैं।

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किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात करें?

इसके लिए हम प्रसिद्ध एल्गोरिदम का पालन करते हैं:

1 . हम ODZ फ़ंक्शंस पाते हैं।

2 . एक समारोह के व्युत्पन्न ढूँढना

3 . व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें

4 . हम उन अंतरालों को खोजते हैं जिन पर व्युत्पन्न अपना चिन्ह बनाए रखता है, और उनसे हम फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल निर्धारित करते हैं:

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0" शीर्षक="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} इस अंतराल में बढ़ता है।

यदि अंतराल पर मैं फ़ंक्शन का व्युत्पन्न हूं, तो फ़ंक्शन इस अंतराल में घट जाती है।

5 . हम देखतें है समारोह के अधिकतम और न्यूनतम अंक.

पर फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु, व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करता है.

पर समारोह का न्यूनतम बिंदुव्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न "-" से "+".

6 . हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं,

• फिर हम खंड के अंत में और अधिकतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करते हैं, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो उनमें से सबसे बड़ा चुनें
• या हम खंड के सिरों पर और न्यूनतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करते हैं, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो उनमें से सबसे छोटा चुनें

हालांकि, फ़ंक्शन अंतराल पर कैसे व्यवहार करता है, इसके आधार पर, इस एल्गोरिदम को काफी कम किया जा सकता है।

समारोह पर विचार करें . इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

आइए समस्याओं को हल करने के कुछ उदाहरण देखें खुला बैंकके लिए कार्य

एक । टास्क बी15 (#26695)

कटने पर।

1. फलन x के सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित है

जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और एक्स के सभी मूल्यों के लिए व्युत्पन्न सकारात्मक है। इसलिए, फलन बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर सबसे बड़ा मान लेता है, अर्थात x=0 पर।

उत्तर: 5।

2 . टास्क B15 (नंबर 26702)

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर।

1.ODZ फ़ंक्शन शीर्षक="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

व्युत्पन्न शून्य पर है, हालांकि, इन बिंदुओं पर यह संकेत नहीं बदलता है:

इसलिए, शीर्षक="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} बढ़ता है और अंतराल के दाहिने सिरे पर, पर सबसे बड़ा मान लेता है।

यह स्पष्ट करने के लिए कि व्युत्पन्न चिह्न क्यों नहीं बदलता है, हम व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति को निम्नानुसार बदलते हैं:

शीर्षक="(!LANG:y^(प्राइम)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2) (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

उत्तर: 5।

3। टास्क बी15 (#26708)

अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

1. ODZ फ़ंक्शन: शीर्षक="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

आइए इस समीकरण की जड़ों को एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर रखें।

अंतराल में दो संख्याएँ होती हैं: और

चलो चिन्ह लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु x = 0 पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करते हैं: . बिंदुओं से गुजरते समय और व्युत्पन्न परिवर्तन चिन्ह।

आइए समन्वय रेखा पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों के परिवर्तन का चित्रण करें:

जाहिर है, बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है (जहां व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" पर हस्ताक्षर करता है), और अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के मानों की तुलना करने की आवश्यकता है न्यूनतम बिंदु पर और खंड के बाएं सिरे पर, .

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, सबसे दिलचस्प बात यह है कि किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के लिए डेरिवेटिव का उपयोग किया जाता है। यह किससे जुड़ा है? लाभ को अधिकतम करना, लागत को कम करना, उपकरणों का इष्टतम भार निर्धारित करना... दूसरे शब्दों में, जीवन के कई क्षेत्रों में, कुछ मापदंडों को अनुकूलित करने की समस्या को हल करना होगा। और यह फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान आमतौर पर कुछ अंतराल X पर मांगा जाता है, जो या तो फ़ंक्शन का संपूर्ण डोमेन या डोमेन का हिस्सा होता है। अंतराल X स्वयं एक रेखा खंड, एक खुला अंतराल हो सकता है , एक अनंत अंतराल।

इस लेख में, हम एक चर y=f(x) के स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों को खोजने के बारे में बात करेंगे।

पेज नेविगेशन।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान - परिभाषाएँ, उदाहरण।

आइए संक्षेप में मुख्य परिभाषाओं पर ध्यान दें।

समारोह का सबसे बड़ा मूल्य , जो किसी के लिए असमानता सच है।

समारोह का सबसे छोटा मूल्यअंतराल X पर y=f(x) ऐसा मान कहलाता है , जो किसी के लिए असमानता सच है।

ये परिभाषाएँ सहज ज्ञान युक्त हैं: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान होता है जिसे भुज के साथ विचाराधीन अंतराल पर स्वीकार किया जाता है।

स्थिर बिंदुवे तर्क के मान हैं जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए हमें स्थिर बिंदुओं की आवश्यकता क्यों है? इस प्रश्न का उत्तर फर्मेट प्रमेय द्वारा दिया गया है। इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि किसी अवकलनीय फलन का किसी बिंदु पर चरम (स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम) है, तो यह बिंदु स्थिर है। इस प्रकार, फ़ंक्शन अक्सर इस अंतराल से एक स्थिर बिंदु पर अंतराल X पर अपना अधिकतम (सबसे छोटा) मान लेता है।

साथ ही, एक फ़ंक्शन अक्सर उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ले सकता है जहां इस फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, और फ़ंक्शन स्वयं परिभाषित होता है।

आइए इस विषय पर सबसे सामान्य प्रश्नों में से एक का तुरंत उत्तर दें: "क्या किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान निर्धारित करना हमेशा संभव है"? नहीं हमेशा नहीं। कभी-कभी अंतराल एक्स की सीमाएं फ़ंक्शन के डोमेन की सीमाओं के साथ मेल खाती हैं, या अंतराल एक्स अनंत है। और अनंतता पर और परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर कुछ कार्य असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे दोनों मान ले सकते हैं। इन मामलों में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है।

स्पष्टता के लिए, हम एक ग्राफिक चित्रण देते हैं। तस्वीरों को देखें - और बहुत कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

खंड पर

पहले आंकड़े में, फ़ंक्शन सेगमेंट [-6;6] के अंदर स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है।

दूसरी आकृति में दिखाए गए मामले पर विचार करें। सेगमेंट को इसमें बदलें। इस उदाहरण में, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, और सबसे बड़ा - अंतराल की सही सीमा के अनुरूप एक भुज के साथ एक बिंदु पर।

चित्र संख्या 3 में, खंड के सीमा बिंदु [-3; 2] फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के संगत बिंदुओं के भुज हैं।

ओपन रेंज में

चौथे आंकड़े में, फ़ंक्शन खुले अंतराल (-6;6) के भीतर स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है।

अंतराल पर, सबसे बड़े मान के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है।

अनंत पर

सातवें आंकड़े में दिखाए गए उदाहरण में, फ़ंक्शन x=1 भुज के साथ एक स्थिर बिंदु पर सबसे बड़ा मान (अधिकतम y ) लेता है, और सबसे छोटा मान (न्यूनतम y ) अंतराल की सही सीमा पर पहुंच जाता है। माइनस इन्फिनिटी पर, फ़ंक्शन के मान विषम रूप से y=3 तक पहुंचते हैं।

अंतराल पर, फ़ंक्शन या तो सबसे छोटे या सबसे बड़े मान तक नहीं पहुंचता है। जैसा कि x = 2 दाईं ओर जाता है, फ़ंक्शन मान माइनस इनफिनिटी (सीधी रेखा x = 2 एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है) की ओर जाता है, और जैसा कि एब्सिस्सा प्लस इन्फिनिटी की ओर जाता है, फ़ंक्शन मान asymptotically दृष्टिकोण y = 3 . इस उदाहरण का एक ग्राफिक चित्रण चित्र 8 में दिखाया गया है।

खंड पर एक निरंतर कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिथम।

हम एक एल्गोरिदम लिखते हैं जो हमें सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने की अनुमति देता है।

1. हम फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढते हैं और जांचते हैं कि क्या इसमें संपूर्ण खंड शामिल है।
2. हम उन सभी बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है और जो खंड में समाहित हैं (आमतौर पर ऐसे बिंदु मॉड्यूल साइन के तहत एक तर्क के साथ और आंशिक-तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति कार्यों में होते हैं)। यदि ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं, तो अगले बिंदु पर जाएँ।
3. हम खंड में आने वाले सभी स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इसे शून्य के बराबर करते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त जड़ों का चयन करते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं या उनमें से कोई भी खंड में नहीं आता है, तो अगले चरण पर जाएं।
4. हम चयनित स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं, उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई हो), और x=a और x=b पर भी।
5. फ़ंक्शन के प्राप्त मूल्यों से, हम सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करते हैं - वे क्रमशः फ़ंक्शन के वांछित अधिकतम और सबसे छोटे मान होंगे।

आइए एक खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों को खोजने के लिए एक उदाहरण को हल करते समय एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए

• खंड पर;
• अंतराल पर [-4;-1] .

समाधान।

फ़ंक्शन का डोमेन शून्य को छोड़कर वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है, अर्थात। दोनों खंड परिभाषा के दायरे में आते हैं।

हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को इसके संबंध में पाते हैं:

जाहिर है, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खंडों के सभी बिंदुओं पर मौजूद है और [-4;-1] ।

स्थिर बिंदु समीकरण से निर्धारित होते हैं। केवल वास्तविक मूल x=2 है। यह स्थिर बिंदु पहले खंड में आता है।

पहले मामले के लिए, हम खंड के अंत में और स्थिर बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं, अर्थात x=1 , x=2 और x=4 :

इसलिए, समारोह का सबसे बड़ा मूल्य x=1 पर पहुंचा है, और सबसे छोटा मान है - एक्स = 2 पर।

दूसरे मामले के लिए, हम फ़ंक्शन के मानों की गणना केवल खंड के सिरों पर करते हैं [-4;-1] (क्योंकि इसमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं है):

कभी-कभी समस्याओं में बी 14 "खराब" कार्य होते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न खोजना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल जांच पर था, लेकिन अब ये कार्य इतने सामान्य हो गए हैं कि इस परीक्षा की तैयारी करते समय इन्हें अनदेखा नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, अन्य तरकीबें काम करती हैं, जिनमें से एक एकरसता है। परिभाषा फलन f (x) को खंड पर नीरस रूप से बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है: x 1

परिभाषा। फ़ंक्शन f (x) को खंड पर मोनोटोनिक रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्न है: x 1 f (x 2)। दूसरे शब्दों में, एक वर्धमान फलन के लिए, जितना बड़ा x, उतना बड़ा f(x)। घटते हुए कार्य के लिए, विपरीत सत्य है: बड़ा x, छोटा f(x)।

उदाहरण। लघुगणक एकात्मक रूप से बढ़ता है यदि आधार a > 1 और एकात्मक रूप से घटता है यदि 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, और मोनोटोनिक रूप से घटता है यदि 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, और मोनोटोनिक रूप से घटता है यदि 0 0. f (x) = log a x (a > 0) ; a 1; x > 0)"> 1, और यदि 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LANG:उदाहरण लघुगणक है) तो मोनोटोनिक रूप से घटता है नीरस रूप से बढ़ रहा है अगर आधार a> 1 और नीरस रूप से घट रहा है अगर 0 0. f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0)"> title="उदाहरण। लघुगणक एकात्मक रूप से बढ़ता है यदि आधार a > 1 और एकात्मक रूप से घटता है यदि 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

उदाहरण। घातीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a> 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है: 1 और 0 0:"> 1 पर घट रहा है और 0 0:"> 1 पर घट रहा है और 0 0 पर घट रहा है:" शीर्षक="(!LANG: उदाहरण। एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन एक लघुगणक की तरह व्यवहार करता है: यह a > 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है:"> title="उदाहरण। घातीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a> 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है:"> !}

0) या नीचे (एक 0) या नीचे (एक 9पैराबोला वर्टेक्स निर्देशांक अक्सर, फ़ंक्शन तर्क को फॉर्म के स्क्वायर ट्रिनोमियल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक पैराबोला है जिसमें हम शाखाओं में रूचि रखते हैं: पैराबोला शाखाएं ऊपर जा सकती हैं (ए> 0 के लिए) या नीचे (ए 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (a 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (a title="(!LANG: परवलय शीर्ष निर्देशांक सबसे अधिक बार, फ़ंक्शन तर्क रूप के एक वर्ग ट्रिनोमियल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक परवलय है, जिसमें हम शाखाओं में रुचि रखते हैं: एक परवलय की शाखाएँ ऊपर जा सकती हैं (a > 0 के लिए) या नीचे (a

समस्या की स्थिति में कोई खंड नहीं है। इसलिए, f(a) और f(b) की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करने के लिए बनी हुई है; लेकिन केवल एक ऐसा बिंदु है - यह पैराबोला x 0 का शीर्ष है, जिसके निर्देशांक की गणना शाब्दिक रूप से और बिना किसी डेरिवेटिव के की जाती है।

इस प्रकार, समस्या का समाधान बहुत सरल हो गया है और केवल दो चरणों तक कम हो गया है: परबोला के समीकरण को लिखें और सूत्र का उपयोग करके इसका शीर्ष ज्ञात करें: इस बिंदु पर मूल फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें: f (x 0)। यदि कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, तो यह उत्तर होगा।

0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG: फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: हल: मूल के अंतर्गत है द्विघात फंक्शनइस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखाओं के साथ एक पैराबोला है, क्योंकि गुणांक a = 1> 0. परबोला का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" वर्ग ="link_thumb"> 18फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: जड़ के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a \u003d 1\u003e 0. परवलय का शीर्ष: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" शीर्षक="(!LANG: सबसे छोटा मान ज्ञात करें फ़ंक्शन का: समाधान: जड़ के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a \u003d 1\u003e 0. परवलय का शीर्ष: x 0 \u003d b / ( 2ए) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> title="फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: जड़ के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a \u003d 1\u003e 0. परवलय का शीर्ष: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3"> !}

फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल लघुगणक के अंतर्गत पुनः एक द्विघात फलन है। a = 1 > 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2) 1) = 2/2 = 1"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" शीर्षक="(!LANG: सबसे छोटा मान ज्ञात करें फ़ंक्शन का: लघुगणक के तहत समाधान फिर से एक द्विघात कार्य है। शाखाओं के साथ परवलय का ग्राफ, क्योंकि a \u003d 1\u003e 0. परवलय का शीर्ष: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल लघुगणक के अंतर्गत पुनः एक द्विघात फलन है। a = 1 > 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

फलन का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए: हल: घातांक में एक द्विघात फलन है

फलन के क्षेत्र से परिणाम कभी-कभी, समस्या B14 को हल करने के लिए, केवल परवलय के शीर्ष का पता लगाना पर्याप्त नहीं होता है। वांछित मान खंड के अंत में हो सकता है, और चरम बिंदु पर बिल्कुल नहीं। यदि कार्य किसी खंड को बिल्कुल भी निर्दिष्ट नहीं करता है, तो क्षेत्र को देखें अनुमत मानमूल समारोह। अर्थात्:

0 2. अंकगणित वर्गमूलकेवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:" शीर्षक="(!LANG:1. लघुगणक तर्क धनात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:" class="link_thumb"> 26 !} 1. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर बराबर नहीं होना चाहिए शून्य: 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. अंश का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए: "> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. अंश का हर अंश शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:"> 0 2. अंकगणित वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:" शीर्षक="(!LANG:1. लघुगणक तर्क होना चाहिए धनात्मक: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणित वर्ग जड़ केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:"> title="1. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर के बराबर नहीं होना चाहिए शून्य:"> !}

हल वर्गमूल पुनः एक द्विघात फलन है। इसका ग्राफ एक परवलय है, लेकिन शाखाएं नीचे की ओर हैं क्योंकि a = 1
अब पैराबोला का शीर्ष ज्ञात करें: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 बिंदु x 0 = 1 ODZ खंड से संबंधित है और वह है अच्छा। अब हम बिंदु x 0 पर और साथ ही ODZ: y (3) \u003d y (1) \u003d 0 के सिरों पर फ़ंक्शन के मान पर विचार करते हैं, इसलिए हमें संख्या 2 और 0 मिली। हमसे पूछा जाता है सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए 2. उत्तर: 2

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए छोर ODZ से संबंधित नहीं हैं। इस तरह, लघुगणक जड़ से भिन्न होता है, जहाँ खंड के सिरे हमें काफी अच्छी तरह से सूट करते हैं। हम परबोला के शीर्ष की तलाश कर रहे हैं: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 लेकिन चूंकि खंड के अंत में हमें कोई दिलचस्पी नहीं है, हम फ़ंक्शन के मान को केवल बिंदु x 0 पर मानते हैं:

Y min = y(3) = log 0.5 (6 ) = = log 0.5 (18 9 5) = log 0.5 4 = 2 उत्तर: -2