व्युत्पन्न के बिना सबसे बड़ा और सबसे छोटा ढूँढना। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग सबसे दिलचस्प है। यह किससे जुड़ा है? मुनाफे को अधिकतम करना, लागत को कम करना, उपकरणों के इष्टतम भार का निर्धारण करना... दूसरे शब्दों में, जीवन के कई क्षेत्रों में, किसी को कुछ मापदंडों के अनुकूलन की समस्या को हल करना होता है। और यह फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान आमतौर पर कुछ अंतराल X पर मांगा जाता है, जो या तो फ़ंक्शन का संपूर्ण डोमेन या डोमेन का हिस्सा होता है। अंतराल X स्वयं एक रेखा खंड, एक खुला अंतराल हो सकता है , अनंत अंतराल।

इस लेख में, हम एक चर y=f(x) के स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के बारे में बात करेंगे।

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किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान - परिभाषाएं, चित्र।

आइए संक्षेप में मुख्य परिभाषाओं पर ध्यान दें।

समारोह का सबसे बड़ा मूल्य , जो किसी के लिए असमानता सच है।

फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान y=f(x) अंतराल पर X को ऐसा मान कहा जाता है , जो किसी के लिए असमानता सच है।

ये परिभाषाएं सहज ज्ञान युक्त हैं: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान एब्सिस्सा के साथ विचाराधीन अंतराल पर स्वीकृत सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान है।

स्थिर बिंदुउस तर्क के मान हैं जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करते समय हमें स्थिर बिंदुओं की आवश्यकता क्यों होती है? इस प्रश्न का उत्तर फर्मेट के प्रमेय द्वारा दिया गया है। इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि एक अवकलनीय फलन में किसी बिंदु पर एक चरम (स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम) होता है, तो यह बिंदु स्थिर होता है। इस प्रकार, फलन अक्सर इस अंतराल से किसी एक स्थिर बिंदु पर अंतराल X पर अपना अधिकतम (सबसे छोटा) मान लेता है।

इसके अलावा, एक फ़ंक्शन अक्सर उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ले सकता है जहां इस फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है, और फ़ंक्शन स्वयं परिभाषित होता है।

आइए तुरंत इस विषय पर सबसे सामान्य प्रश्नों में से एक का उत्तर दें: "क्या किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान निर्धारित करना हमेशा संभव है"? नहीं हमेशा नहीं। कभी-कभी अंतराल X की सीमाएं फलन के प्रांत की सीमाओं से मेल खाती हैं, या अंतराल X अनंत है। और अनंत पर और परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर कुछ कार्य असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे दोनों मान ले सकते हैं। इन मामलों में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है।

स्पष्टता के लिए, हम एक ग्राफिक चित्रण देते हैं। तस्वीरों को देखें - और बहुत कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

खंड पर

पहले आंकड़े में, फ़ंक्शन खंड [-6;6] के अंदर स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है।

दूसरे चित्र में दिखाए गए मामले पर विचार करें। सेगमेंट को में बदलें। इस उदाहरण में, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, और सबसे बड़ा - एक बिंदु पर अंतराल की दाहिनी सीमा के अनुरूप एक एब्सिस्सा के साथ।

आकृति संख्या 3 में, खंड [-3; 2] के सीमा बिंदु फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के संगत बिंदुओं के भुज हैं।

खुली सीमा में

चौथे आंकड़े में, फ़ंक्शन खुले अंतराल (-6; 6) के भीतर स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है।

अंतराल पर, सबसे बड़े मूल्य के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है।

अनंत पर

सातवें आंकड़े में दिखाए गए उदाहरण में, फ़ंक्शन x = 1 एब्सिसा के साथ एक स्थिर बिंदु पर सबसे बड़ा मान (अधिकतम y) लेता है, और सबसे छोटा मान (न्यूनतम y) अंतराल की दाहिनी सीमा पर पहुंच जाता है। माइनस इनफिनिटी पर, फ़ंक्शन के मान असम्बद्ध रूप से y=3 तक पहुंचते हैं।

अंतराल पर, फ़ंक्शन न तो सबसे छोटे या सबसे बड़े मान तक पहुंचता है। जैसा कि x=2 दाईं ओर जाता है, फ़ंक्शन मान माइनस इनफिनिटी (सीधी रेखा x = 2 एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है) की ओर जाता है, और जैसा कि एब्सिस्सा प्लस इन्फिनिटी की ओर जाता है, फ़ंक्शन मान एसिम्प्टोटिक रूप से y = 3 तक पहुंचते हैं। . इस उदाहरण का एक ग्राफिक चित्रण चित्र 8 में दिखाया गया है।

खंड पर एक सतत कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिदम।

हम एक एल्गोरिथम लिखते हैं जो हमें किसी सेगमेंट पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने की अनुमति देता है।

1. हम फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढते हैं और जांचते हैं कि इसमें संपूर्ण सेगमेंट है या नहीं।
2. हम उन सभी बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है और जो खंड में निहित हैं (आमतौर पर ऐसे बिंदु मॉड्यूल साइन के तहत तर्क के साथ और आंशिक-तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ पावर फ़ंक्शंस में होते हैं)। यदि ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं, तो अगले बिंदु पर जाएं।
3. हम खंड में आने वाले सभी स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इसे शून्य के बराबर करते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त जड़ों का चयन करते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं या उनमें से कोई भी खंड में नहीं आता है, तो अगले चरण पर जाएं।
4. हम चयनित स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं, उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई हो), और x=a और x=b पर भी।
5. फ़ंक्शन के प्राप्त मूल्यों से, हम सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करते हैं - वे क्रमशः फ़ंक्शन के वांछित अधिकतम और सबसे छोटे मान होंगे।

आइए किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एक उदाहरण को हल करते समय एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

• खंड पर;
• अंतराल पर [-4;-1] ।

समाधान।

फ़ंक्शन का डोमेन शून्य को छोड़कर, वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है, अर्थात। दोनों खंड परिभाषा के क्षेत्र में आते हैं।

हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को इसके संबंध में पाते हैं:

स्पष्ट रूप से, फलन का अवकलज खंड के सभी बिंदुओं और [-4;-1] पर मौजूद है।

स्थिर बिंदु समीकरण से निर्धारित होते हैं। एकमात्र वास्तविक मूल x=2 है। यह स्थिर बिंदु पहले खंड में आता है।

पहले मामले के लिए, हम खंड के सिरों पर और एक स्थिर बिंदु पर, यानी x=1 , x=2 और x=4 के लिए फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं:

इसलिए, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान x=1 पर पहुंच जाता है, और सबसे छोटा मान - x=2 पर।

दूसरे मामले के लिए, हम केवल खंड [-4; -1] के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं (क्योंकि इसमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं है):

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने की प्रक्रिया एक हेलीकॉप्टर पर एक वस्तु (एक फ़ंक्शन का एक ग्राफ) के चारों ओर एक आकर्षक उड़ान की याद दिलाती है, जिसमें कुछ बिंदुओं पर लंबी दूरी की तोप से फायरिंग होती है और इनमें से चुनना होता है नियंत्रण शॉट्स के लिए ये बिंदु बहुत ही खास बिंदु हैं। अंक एक निश्चित तरीके से और कुछ नियमों के अनुसार चुने जाते हैं। किस नियम से? इस बारे में हम आगे बात करेंगे।

यदि समारोह आप = एफ(एक्स) अंतराल पर निरंतर [ एक, बी] , तब यह इस खण्ड पर पहुँचती है कम से कम तथा उच्चतम मूल्य . यह या तो में हो सकता है चरम बिंदुया खंड के सिरों पर। इसलिए, खोजने के लिए कम से कम तथा फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान , खंड पर निरंतर [ एक, बी] , आपको सभी में इसके मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण बिंदुऔर खंड के सिरों पर, और फिर उनमें से सबसे छोटा और सबसे बड़ा चुनें।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का अधिकतम मान निर्धारित करना आवश्यक है एफ(एक्स) खंड पर [ एक, बी]. ऐसा करने के लिए, इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं [ एक, बी] .

महत्वपूर्ण बिंदु उस बिंदु को कहा जाता है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित, और उसकी यौगिकया तो शून्य है या मौजूद नहीं है। फिर आपको महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करनी चाहिए। और, अंत में, किसी को महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना करनी चाहिए ( एफ(एक) तथा एफ(बी) ) इनमें से सबसे बड़ी संख्या होगी खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान [एक, बी] .

खोजने की समस्या फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान .

हम एक साथ समारोह के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की तलाश कर रहे हैं

उदाहरण 1. सबसे छोटा और ज्ञात कीजिए सबसे बड़ा मूल्यकार्यों खंड पर [-1, 2] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं। व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और दो महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: और। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, खंड के सिरों पर और बिंदु पर इसके मूल्यों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि बिंदु खंड से संबंधित नहीं है [-1, 2]। ये फ़ंक्शन मान निम्नलिखित हैं: , , । यह इस प्रकार है कि सबसे छोटा फ़ंक्शन मान(नीचे ग्राफ पर लाल रंग में चिह्नित), -7 के बराबर, खंड के दाहिने छोर पर - बिंदु पर, और महानतम(ग्राफ पर भी लाल), महत्वपूर्ण बिंदु पर 9, - के बराबर है।

यदि फ़ंक्शन एक निश्चित अंतराल में निरंतर है और यह अंतराल एक खंड नहीं है (लेकिन, उदाहरण के लिए, एक अंतराल है, एक अंतराल और एक खंड के बीच का अंतर: अंतराल के सीमा बिंदु अंतराल में शामिल नहीं हैं, लेकिन खंड के सीमा बिंदु खंड में शामिल हैं), फिर फ़ंक्शन के मूल्यों में सबसे छोटा और सबसे बड़ा नहीं हो सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया फ़ंक्शन ]-∞, +∞[ पर निरंतर है और इसका सबसे बड़ा मान नहीं है।

हालांकि, किसी भी अंतराल (बंद, खुला, या अनंत) के लिए, निरंतर कार्यों की निम्नलिखित संपत्ति रखती है।

उदाहरण 4. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 3] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं:

.

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो हमें एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह अंतराल [-1, 3] के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

आइए इन मूल्यों की तुलना करें। निष्कर्ष: -5/13 के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यबिंदु पर 1 के बराबर।

हम फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों को एक साथ खोजना जारी रखते हैं

ऐसे शिक्षक हैं, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के विषय पर, छात्रों को उन उदाहरणों की तुलना में अधिक जटिल उदाहरण नहीं देते हैं, अर्थात्, जिनमें फ़ंक्शन एक बहुपद या एक अंश है, अंश और जिसके हर बहुपद हैं। लेकिन हम खुद को ऐसे उदाहरणों तक सीमित नहीं रखेंगे, क्योंकि शिक्षकों के बीच छात्रों को पूर्ण रूप से सोचने के लिए प्रेमी होते हैं (व्युत्पन्न तालिका)। इसलिए, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा।

उदाहरण 6. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं: उत्पाद का व्युत्पन्न :

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

सभी क्रियाओं का परिणाम: फ़ंक्शन अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है, 0 के बराबर, एक बिंदु पर और एक बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यके बराबर इ, बिंदु पर।

उदाहरण 7. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:

व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु खंड का है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

निष्कर्ष: फ़ंक्शन अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है, के बराबर , बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्य, बराबर , बिंदु पर .

लागू चरम समस्याओं में, सबसे छोटा (सबसे बड़ा) फ़ंक्शन मान, एक नियम के रूप में, न्यूनतम (अधिकतम) खोजने के लिए कम हो जाता है। लेकिन यह स्वयं मिनीमा या मैक्सिमा नहीं है जो अधिक व्यावहारिक रुचि रखते हैं, बल्कि उस तर्क के मूल्य हैं जिस पर उन्हें हासिल किया जाता है। लागू समस्याओं को हल करते समय, एक अतिरिक्त कठिनाई उत्पन्न होती है - उन कार्यों का संकलन जो विचाराधीन घटना या प्रक्रिया का वर्णन करते हैं।

उदाहरण 8 4 की क्षमता वाला एक टैंक, जिसमें एक वर्गाकार आधार के साथ समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है और शीर्ष पर खुला होता है, को टिन किया जाना चाहिए। कम से कम सामग्री के साथ इसे कवर करने के लिए टैंक के आयाम क्या होने चाहिए?

समाधान। होने देना एक्स- आधार पक्ष एच- टैंक की ऊंचाई, एस- इसका सतह क्षेत्र बिना आवरण के, वी- इसकी मात्रा। टैंक का सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है, अर्थात। दो चर का एक कार्य है। ज़ाहिर करना एसएक चर के एक फलन के रूप में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि , कहाँ से । पाया अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना एचके लिए सूत्र में एस:

आइए हम इस फ़ंक्शन की एक चरम सीमा के लिए जाँच करें। इसे ]0, +∞[ , और . में हर जगह परिभाषित और अलग किया जा सकता है

.

हम व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करते हैं और महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं। इसके अलावा, पर , व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, लेकिन यह मान परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है और इसलिए यह एक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। तो, - एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु। आइए दूसरे पर्याप्त चिह्न का उपयोग करके एक चरम की उपस्थिति के लिए इसकी जांच करें। आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। जब दूसरा व्युत्पन्न शून्य () से अधिक हो। इसका मतलब यह है कि जब फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुंच जाता है . क्योंकि यह न्यूनतम - इस फ़ंक्शन का एकमात्र चरम, यह इसका सबसे छोटा मान है. तो, टैंक के आधार का पक्ष 2 मीटर और इसकी ऊंचाई के बराबर होना चाहिए।

उदाहरण 9पैराग्राफ से ए, रेलवे लाइन पर स्थित, बिंदु तक से, उससे कुछ दूरी पर मैं, माल परिवहन किया जाना चाहिए। रेल द्वारा प्रति इकाई दूरी पर एक भार इकाई को परिवहन की लागत के बराबर है, और राजमार्ग से यह बराबर है। किस बिंदु तक एममाल के परिवहन के लिए रेलमार्ग को राजमार्ग पर रखा जाना चाहिए लेकिनमें सेसबसे किफायती था अबरेलमार्ग को सीधा माना जाता है)?

चलो समारोह वाई =एफ(एक्स)खंड पर निरंतर [ ए, बी]. जैसा कि ज्ञात है, ऐसा फ़ंक्शन इस खंड पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंचता है। फ़ंक्शन इन मानों को या तो खंड के आंतरिक बिंदु पर ले सकता है [ ए, बी], या खंड की सीमा पर।

खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करने के लिए [ ए, बी] ज़रूरी:

1) अंतराल में फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें ( ए, बी);

2) पाए गए महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें;

3) खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें, अर्थात के लिए एक्स=एकऔर एक्स = बी;

4) फ़ंक्शन के सभी परिकलित मानों में से, सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

उदाहरण।किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें

खंड पर।

महत्वपूर्ण बिंदु ढूँढना:

ये बिंदु खंड के अंदर स्थित हैं; आप(1) = ‒ 3; आप(2) = ‒ 4; आप(0) = ‒ 8; आप(3) = 1;

बिंदु पर एक्स= 3 और बिंदु . पर एक्स= 0.

उत्तलता और एक विभक्ति बिंदु के लिए एक समारोह की जांच।

समारोह आप = एफ (एक्स) बुलाया उत्तलके बीच में (एक, बी) , यदि इसका ग्राफ इस अंतराल के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा के नीचे स्थित है, और कहलाता है उत्तल नीचे (अवतल)यदि इसका ग्राफ स्पर्शरेखा के ऊपर है।

संक्रमण का वह बिंदु जिसके माध्यम से उत्तलता को उत्तलता या इसके विपरीत से बदल दिया जाता है, कहलाता है संक्रमण का बिन्दु.

उत्तलता और विभक्ति बिंदु के अध्ययन के लिए एल्गोरिदम:

1. दूसरे प्रकार के क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए, अर्थात् वे बिंदु जिन पर दूसरा अवकलज शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

2. संख्या रेखा पर क्रांतिक बिन्दुओं को अंतरालों में तोड़कर रखें। प्रत्येक अंतराल पर दूसरे अवकलज का चिह्न ज्ञात कीजिए; यदि, तो फलन ऊपर की ओर उत्तल है, यदि, तो फलन नीचे की ओर उत्तल है।

3. यदि, दूसरे प्रकार के क्रांतिक बिंदु से गुजरते समय, यह संकेत बदलता है और इस बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, तो यह बिंदु विभक्ति बिंदु का भुज है। इसकी कोटि ज्ञात कीजिए।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख। स्पर्शोन्मुख में एक समारोह की जांच।

परिभाषा।किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शोन्मुख को कहते हैं सीधा, जिसमें यह गुण होता है कि ग्राफ़ के किसी भी बिंदु से इस रेखा तक की दूरी शून्य हो जाती है, साथ ही मूल बिंदु से ग्राफ़ बिंदु को असीमित रूप से हटा दिया जाता है।

स्पर्शोन्मुख तीन प्रकार के होते हैं: लंबवत, क्षैतिज और झुका हुआ।

परिभाषा।प्रत्यक्ष कहा जाता है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटफंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स), यदि इस बिंदु पर फलन की एकतरफा सीमाओं में से कम से कम एक अनंत के बराबर है, अर्थात

फ़ंक्शन का असंततता बिंदु कहां है, अर्थात यह परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है।

उदाहरण।

डी( आप) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

एक्स= 2 - ब्रेकिंग पॉइंट।

परिभाषा।सीधा वाई =एबुलाया समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखाफंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स)पर , अगर

उदाहरण।

परिभाषा।सीधा वाई =कएक्स +बी (क 0) कहा जाता है तिरछा स्पर्शोन्मुखफंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स)कहा पर

कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए सामान्य योजना।

फंक्शन रिसर्च एल्गोरिथमवाई = एफ (एक्स) :

1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए डी (आप).

2. निर्देशांक अक्षों (के साथ) के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु (यदि संभव हो) खोजें एक्स= 0 और at आप = 0).

3. सम और विषम फलनों की जाँच करें ( आप (‒ एक्स) = आप (एक्स) ‒ समानता; आप(‒ एक्स) = ‒ आप (एक्स) ‒ अजीब)।

4. फलन के ग्राफ के अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए।

5. फलन की एकरसता के अंतराल ज्ञात कीजिए।

6. फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

7. फलन के ग्राफ के उत्तलता (अवतलता) और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल ज्ञात कीजिए।

8. किए गए शोध के आधार पर, फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं।

उदाहरण।फलन की जाँच कीजिए और उसका आलेख आलेखित कीजिए।

1) डी (आप) =

एक्स= 4 - ब्रेकिंग पॉइंट।

2) कब एक्स = 0,

(0; - 5) - चौराहे के बिंदु . के साथ ओए.

पर आप = 0,

3) आप(‒ एक्स)= समारोह सामान्य दृष्टि से(न तो सम और न ही विषम)।

4) हम स्पर्शोन्मुख के लिए जाँच करते हैं।

ए) लंबवत

बी) क्षैतिज

ग) परोक्ष अनंतस्पर्शी खोजें जहां

तिरछी स्पर्शोन्मुख समीकरण

5) इस समीकरण में, फलन की एकरसता के अंतरालों को खोजने की आवश्यकता नहीं है।

6)

ये महत्वपूर्ण बिंदु अंतराल (˗∞; 2), (˗2; 4), (4; 10) और (10; +∞) पर फ़ंक्शन के पूरे डोमेन को विभाजित करते हैं। प्राप्त परिणामों को निम्न तालिका के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है।

विषय पर पाठ में "एक अंतराल पर एक निरंतर कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना", हम किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की अपेक्षाकृत सरल समस्याओं पर विचार करेंगे। व्युत्पन्न का उपयोग करके दिए गए अंतराल पर।

थीम: व्युत्पन्न

पाठ: एक अंतराल पर एक सतत फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना

इस पाठ में हम एक सरल समस्या पर विचार करेंगे, अर्थात् एक अंतराल दिया जाएगा, इस अंतराल पर एक सतत फलन दिया जाएगा। किसी दिए गए का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें कार्योंकिसी दिए गए पर मध्यान्तर.

संख्या 32.1 (बी)। दिया गया: , । आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ़।

यह ज्ञात है कि यह फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि यह अंतराल पर भी बढ़ता है। इसलिए, यदि आप बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करते हैं और, तो इस फ़ंक्शन के परिवर्तन की सीमा, इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान, ज्ञात हो जाएगा।

जब तर्क 8 से बढ़कर 8 हो जाता है, तो फलन से बढ़ जाता है।

उत्तर: ; .

32.2 (ए) दिया गया: दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें।

आइए इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं (चित्र 2 देखें)।

यदि अंतराल पर तर्क बदलता है, तो फ़ंक्शन -2 से 2 तक बढ़ जाता है। यदि तर्क से बढ़ता है, तो फ़ंक्शन 2 से घटकर 0 हो जाता है।

चावल। 2. एक फ़ंक्शन का ग्राफ़।

आइए व्युत्पन्न खोजें।

, . यदि , तो यह मान भी दिए गए खंड से संबंधित है। तो अगर । यह जांचना आसान है कि क्या यह अन्य मान लेता है, संबंधित स्थिर बिंदु दिए गए खंड से आगे जाते हैं। आइए खंड के सिरों पर और उन चयनित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की तुलना करें जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। हमे पता करने दें

;

उत्तर: ;.

तो उत्तर प्राप्त होता है। इस मामले में व्युत्पन्न का उपयोग किया जा सकता है, आप इसका उपयोग नहीं कर सकते हैं, पहले अध्ययन किए गए फ़ंक्शन के गुणों को लागू करें। यह हमेशा मामला नहीं होता है, कभी-कभी व्युत्पन्न का उपयोग ही एकमात्र तरीका है जो आपको ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

दिया गया: , । दिए गए खंड पर फलन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

यदि पिछले मामले में व्युत्पन्न के बिना करना संभव था - हम जानते थे कि फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, तो इस मामले में फ़ंक्शन काफी जटिल है। इसलिए, पिछले कार्य में हमने जिस पद्धति का उल्लेख किया है वह पूरी तरह से लागू है।

1. व्युत्पन्न खोजें। आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, इसलिए, - महत्वपूर्ण बिंदु। इनमें से, हम उन लोगों का चयन करते हैं जो इस सेगमेंट से संबंधित हैं: . आइए बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करें , , । इसके लिए हम पाते हैं

हम चित्र में परिणाम का वर्णन करते हैं (चित्र 3 देखें)।

चावल। 3. फलन मानों के परिवर्तन की सीमा

हम देखते हैं कि यदि तर्क 0 से 2 में बदल जाता है, तो फ़ंक्शन -3 से 4 में बदल जाता है। फ़ंक्शन नीरस रूप से नहीं बदलता है: यह या तो बढ़ता है या घटता है।

उत्तर: ;.

इसलिए, तीन उदाहरणों का उपयोग करते हुए, एक अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एक सामान्य तकनीक का प्रदर्शन किया गया था, इस मामले में, एक खंड पर।

फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

2. फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें और उन बिंदुओं का चयन करें जो किसी दिए गए खंड पर हैं।

3. खंड के सिरों पर और चयनित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें।

4. इन मानों की तुलना करें, और सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

पहले, इस फ़ंक्शन के ग्राफ पर विचार किया गया था (चित्र 4 देखें)।

चावल। 4. एक फ़ंक्शन का ग्राफ़।

अंतराल पर, इस फ़ंक्शन की सीमा . बिंदु अधिकतम बिंदु है। कब - फलन बढ़ता है, कब - फलन घटता है। चित्र से यह देखा जा सकता है कि - का अस्तित्व नहीं है।

इसलिए, पाठ में हमने एक फलन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की समस्या पर विचार किया, जब दिया गया अंतराल एक खंड है; ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम तैयार किया।

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8. साक्यान एस.एम., गोल्डमैन ए.एम., डेनिसोव डी.वी. बीजगणित में कार्य और विश्लेषण की शुरुआत (सामान्य शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 में छात्रों के लिए एक मैनुअल)।-एम।: शिक्षा, 2003।

9. कार्प ए.पी. बीजगणित में समस्याओं का संग्रह और विश्लेषण की शुरुआत: पाठ्यपुस्तक। 10-11 कोशिकाओं के लिए भत्ता। एक गहरी . के साथ अध्ययन गणित।-एम।: शिक्षा, 2006।

10. ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास। ग्रेड 9-10 (शिक्षकों के लिए एक गाइड)।-एम .: ज्ञानोदय, 1983

अतिरिक्त वेब संसाधन

2. पोर्टल प्राकृतिक विज्ञान ().

घर पर करो

संख्या 46.16, 46.17 (सी) (बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। एजी मोर्दकोविच द्वारा संपादित सामान्य शैक्षणिक संस्थानों (प्रोफाइल स्तर) के लिए एक कार्य पुस्तिका। - एम।: मेमोज़िना, 2007।)

प्रिय मित्रों! व्युत्पन्न से संबंधित कार्यों के समूह में कार्य शामिल हैं - स्थिति में, फ़ंक्शन का ग्राफ दिया गया है, इस ग्राफ पर कई बिंदु हैं और प्रश्न है:

किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मान सबसे बड़ा (सबसे छोटा) होता है?

आइए संक्षेप में दोहराएं:

बिंदु पर व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर हैग्राफ पर यह बिंदु।

परबदले में स्पर्शरेखा का वैश्विक गुणांक स्पर्शरेखा के बराबरइस स्पर्शरेखा की ढलान।

*यह स्पर्शरेखा और x-अक्ष के बीच के कोण को दर्शाता है।

1. बढ़ते फलन के अंतराल पर, अवकलज में होता है सकारात्मक मूल्य.

2. इसकी कमी के अंतराल पर, व्युत्पन्न है नकारात्मक अर्थ.

निम्नलिखित स्केच पर विचार करें:

1,2,4 बिंदुओं पर, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ऋणात्मक मान होता है, क्योंकि ये बिंदु घटते अंतराल से संबंधित होते हैं।

अंक 3,5,6 पर, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का सकारात्मक मान होता है, क्योंकि ये बिंदु वृद्धि के अंतराल से संबंधित होते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, व्युत्पन्न के मूल्य के साथ सब कुछ स्पष्ट है, अर्थात, यह निर्धारित करना मुश्किल नहीं है कि ग्राफ पर एक निश्चित बिंदु पर इसका क्या संकेत है (सकारात्मक या नकारात्मक)।

इसके अलावा, यदि हम मानसिक रूप से इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखाएँ बनाते हैं, तो हम देखेंगे कि बिंदु 3, 5 और 6 से गुजरने वाली रेखाएँ oX अक्ष के साथ कोण बनाती हैं, जो 0 से 90 ° की सीमा में स्थित हैं, और बिंदु 1, 2 से गुजरने वाली रेखाएँ हैं। और oX अक्ष के साथ 4 रूप, 90 o से 180 o तक के कोण।

* संबंध स्पष्ट है: बढ़ते कार्यों के अंतराल से संबंधित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखाएं oX अक्ष के साथ न्यून कोण बनाती हैं, घटते कार्यों के अंतराल से संबंधित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखा oX अक्ष के साथ अधिक कोण बनाती हैं।

अब अहम सवाल!

व्युत्पन्न का मूल्य कैसे बदलता है? आखिरकार, एक सतत फ़ंक्शन के ग्राफ के विभिन्न बिंदुओं पर स्पर्शरेखा अलग-अलग कोण बनाती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस बिंदु से होकर गुजरता है।

*या, बोलना सरल भाषा, स्पर्शरेखा स्थित है, जैसा कि "अधिक क्षैतिज" या "अधिक लंबवत" था। नज़र:

सीधी रेखाएँ 0 से 90 o . तक के oX अक्ष के साथ कोण बनाती हैं

सीधी रेखाएँ 90 o से 180 o . तक के oX अक्ष के साथ कोण बनाती हैं

तो अगर कोई प्रश्न हैं:

- ग्राफ पर दिए गए किस बिंदु पर अवकलज के मान का मान सबसे छोटा है?

- ग्राफ पर दिए गए किस बिंदु पर अवकलज के मान का मान सबसे अधिक है?

तो उत्तर के लिए यह समझना आवश्यक है कि स्पर्शरेखा के कोण के स्पर्शरेखा का मान 0 से 180 o के परास में कैसे बदलता है।

*जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी बिंदु पर फलन के अवकलज का मान x-अक्ष पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

स्पर्शरेखा मान निम्नानुसार बदलता है:

जब सीधी रेखा का ढलान 0 o से 90 o में बदल जाता है, तो स्पर्शरेखा का मान, और इसलिए व्युत्पन्न, क्रमशः 0 से +∞ में बदल जाता है;

जब सीधी रेखा का ढलान 90 o से 180 o में बदल जाता है, तो स्पर्शरेखा का मान, और इसलिए व्युत्पन्न, तदनुसार -∞ से 0 में बदल जाता है।

इसे स्पर्शरेखा फलन के ग्राफ से स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है:

आसान शब्दों में:

जब स्पर्शरेखा का झुकाव कोण 0 o से 90 o . तक हो

यह 0 o के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मान उतना ही अधिक होगा शून्य के करीब (सकारात्मक पक्ष पर)।

कोण 90° के जितना निकट होगा, व्युत्पन्न का मान +∞ की ओर उतना ही अधिक बढ़ेगा।

जब स्पर्शरेखा का झुकाव कोण 90 o से 180 o . तक हो

यह 90 o के जितना निकट होगा, व्युत्पन्न का मान उतना ही अधिक घटेगा -∞ की ओर।

कोण 180 o के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मान उतना ही अधिक होगा शून्य के करीब (नकारात्मक पक्ष पर)।

317543. चित्र y = . फलन का एक ग्राफ दिखाता है एफ(एक्स) और चिह्नित अंक-2, -1, 1, 2. इनमें से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा है? कृपया इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

हमारे पास चार बिंदु हैं: उनमें से दो उस अंतराल से संबंधित हैं जिस पर फलन घटता है (ये बिंदु -1 और 1 हैं) और दो उन अंतरालों से संबंधित हैं जिन पर फलन बढ़ता है (ये बिंदु -2 और 2 हैं)।

हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अंक -1 और 1 पर व्युत्पन्न का ऋणात्मक मान होता है, बिंदु -2 और 2 पर इसका धनात्मक मान होता है। इसलिए, इस मामले में, अंक -2 और 2 का विश्लेषण करना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से किसका मूल्य सबसे बड़ा होगा। आइए संकेतित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखाओं का निर्माण करें:

रेखा a और भुज अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा का मान रेखा b और इस अक्ष के बीच के कोण के स्पर्शरेखा के मान से अधिक होगा। इसका अर्थ है कि बिंदु -2 पर अवकलज का मान सबसे बड़ा होगा।

हम जवाब देंगे अगला सवाल: किस बिंदु पर -2, -1, 1 या 2 व्युत्पन्न का मान सबसे बड़ा ऋणात्मक है? कृपया इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

अवकलज का घटते अंतरालों से संबंधित बिंदुओं पर ऋणात्मक मान होगा, इसलिए बिंदुओं -2 और 1 पर विचार करें। आइए इनसे गुजरने वाली स्पर्श रेखाओं का निर्माण करें:

हम देखते हैं कि सीधी रेखा b और oX अक्ष के बीच का अधिक कोण 180 . के "करीब" हैके बारे में , इसलिए इसकी स्पर्शरेखा सीधी रेखा a और x-अक्ष द्वारा बनाए गए कोण की स्पर्श रेखा से बड़ी होगी।

इस प्रकार, बिंदु x = 1 पर अवकलज का मान सबसे बड़ा ऋणात्मक होगा।

317544. यह आंकड़ा फंक्शन y = . का एक ग्राफ दिखाता है एफ(एक्स) और चिह्नित अंक-2, -1, 1, 4. इनमें से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मान सबसे छोटा है? कृपया इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

हमारे पास चार बिंदु हैं: उनमें से दो उन अंतरालों से संबंधित हैं जिन पर फलन घटता है (ये बिंदु -1 और 4 हैं) और दो उन अंतरालों से संबंधित हैं जिन पर फलन बढ़ता है (ये बिंदु -2 और 1 हैं)।

हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अंक -1 और 4 पर व्युत्पन्न का ऋणात्मक मान होता है, बिंदु -2 और 1 पर इसका धनात्मक मान होता है। इसलिए, इस मामले में, बिंदु -1 और 4 का विश्लेषण करना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से किसका मूल्य सबसे छोटा होगा। आइए संकेतित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखाओं का निर्माण करें:

रेखा a और भुज अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा का मान रेखा b और इस अक्ष के बीच के कोण के स्पर्शरेखा के मान से अधिक होगा। इसका अर्थ है कि बिंदु x = 4 पर अवकलज का मान सबसे छोटा होगा।

उत्तर - 4

मुझे आशा है कि मैंने आपको लेखन की मात्रा के साथ "अधिभार" नहीं दिया। वास्तव में, सब कुछ बहुत सरल है, केवल व्युत्पन्न के गुणों को समझना है, इसके ज्यामितीय अर्थऔर कोण की स्पर्श रेखा का मान 0 से 180 o तक कैसे बदलता है।

1. सबसे पहले, इन बिंदुओं (+ या -) पर व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें और आवश्यक बिंदुओं का चयन करें (प्रश्न के आधार पर)।

2. इन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ बनाइए।

3. टेंजेसिड प्लॉट का उपयोग करके, योजनाबद्ध रूप से कोनों को चिह्नित करें और प्रदर्शित करेंसिकंदर।

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।