कई अंतर समीकरणों के स्थानीय रूप से अलग समाधान। अवकल समीकरण और उसके समाधान का क्रम, कॉची समस्या

विभेदक समीकरण(डीयू)। ये दो शब्द आम तौर पर औसत आम आदमी को डराते हैं। कई छात्रों के लिए डिफरेंशियल इक्वेशन कुछ अपमानजनक और मास्टर करना मुश्किल लगता है। Uuuuuu… डिफरेंशियल इक्वेशन्स, मैं इन सब से कैसे बचूंगा?!

ऐसी राय और ऐसा रवैया मौलिक रूप से गलत है, क्योंकि वास्तव में विभेदक समीकरण सरल और मजेदार भी होते हैं. अंतर समीकरणों को हल करने के लिए आपको क्या जानने और सीखने में सक्षम होने की आवश्यकता है? विभिन्नताओं का सफलतापूर्वक अध्ययन करने के लिए, आपको एकीकरण और विभेद करने में अच्छा होना चाहिए। बेहतर विषयों का अध्ययन किया जाता है एक चर के एक फलन का व्युत्पन्नतथा अनिश्चितकालीन अभिन्न, अवकल समीकरणों को समझना उतना ही आसान होगा। मैं और अधिक कहूंगा, यदि आपके पास कम या ज्यादा सभ्य एकीकरण कौशल है, तो विषय व्यावहारिक रूप से महारत हासिल है! विभिन्न प्रकार के जितने अधिक समाकलन आप हल कर सकते हैं, उतना ही अच्छा है। क्यों? क्योंकि आपको बहुत कुछ एकीकृत करना होगा। और अंतर करें। भी अत्यधिक सिफारिश किया जाता हैखोजना सीखो परोक्ष रूप से परिभाषित एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

95% मामलों में नियंत्रण कार्यप्रथम-क्रम अवकल समीकरण 3 प्रकार के होते हैं: वियोज्य चर वाले समीकरण, जिन पर हम इस पाठ में विचार करेंगे; सजातीय समीकरणतथा रैखिक अमानवीय समीकरण. डिफ्यूज़र का अध्ययन करने वाले शुरुआती लोगों के लिए, मैं आपको इस क्रम में पाठ पढ़ने की सलाह देता हूं। और भी दुर्लभ प्रकार के अंतर समीकरण हैं: कुल अंतर में समीकरण, बर्नौली समीकरणऔर कुछ अन्य। पिछले दो प्रकारों में से, सबसे महत्वपूर्ण कुल अंतर में समीकरण हैं, क्योंकि, इस DE के अलावा, मैं मानता हूं नई सामग्रीएक विशेष एकीकरण है।

आइए पहले सामान्य समीकरणों को देखें। उनमें चर और संख्याएँ होती हैं। सबसे सरल उदाहरण: . साधारण समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? इसका मतलब है ढूँढना संख्याओं का समूहजो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। यह देखना आसान है कि बच्चों के समीकरण का एक ही मूल है: . मज़े के लिए, आइए एक जाँच करें, हमारे समीकरण में पाए गए रूट को प्रतिस्थापित करें:

- सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि समाधान सही पाया जाता है।

डिफ्यूज़ को उसी तरह से व्यवस्थित किया जाता है!

अंतर समीकरण पहले के आदेश, रोकना:
1) स्वतंत्र चर;
2) आश्रित चर (फ़ंक्शन);
3) फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न:।

कुछ मामलों में, प्रथम-क्रम समीकरण में "x" या (और) "y" नहीं हो सकता है - महत्वपूर्णताकि डीयू में थापहला व्युत्पन्न, और नहीं थाउच्च आदेशों के डेरिवेटिव - आदि।

मतलब क्या है ?डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व करने का मतलब है ढूँढना कई कार्यजो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। कार्यों के इस सेट को कहा जाता है अंतर समीकरण का सामान्य समाधान.

उदाहरण 1

अंतर समीकरण हल करें

पूरा गोला बारूद। किसी भी प्रथम कोटि के अवकल समीकरण को हल करना कहाँ से प्रारंभ करें?

सबसे पहले, आपको व्युत्पन्न को थोड़े अलग रूप में फिर से लिखना होगा। हम व्युत्पन्न के लिए बोझिल संकेतन को याद करते हैं: . आप में से कई लोगों के लिए व्युत्पन्न का ऐसा पदनाम शायद हास्यास्पद और अनावश्यक लग रहा था, लेकिन यह ठीक यही है कि नियम भिन्न होते हैं!

इसलिए, पहले चरण में, हम व्युत्पन्न को उस रूप में फिर से लिखते हैं जिसकी हमें आवश्यकता होती है:

दूसरे चरण में हमेशादेखें कि क्या हम कर सकते हैं विभाजित चर?चरों को अलग करने का क्या अर्थ है? मोटे तौर पर बोल, बायीं तरफ परहमें जाने की जरूरत है केवल "खेल", एक दाहिने तरफ़व्यवस्थित केवल x's. "स्कूल" जोड़तोड़ की मदद से चर का पृथक्करण किया जाता है: कोष्ठक, एक संकेत परिवर्तन के साथ एक भाग से दूसरे भाग में शब्दों का स्थानांतरण, अनुपात के नियम के अनुसार भाग से भाग में कारकों का स्थानांतरण, आदि।

विभेदक और पूर्ण गुणक हैं और शत्रुता में सक्रिय भागीदार हैं। इस उदाहरण में, अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को फ़्लिप करके चर को आसानी से अलग किया जाता है:

चर अलग हो गए हैं। बाईं ओर - केवल "गेम", दाईं ओर - केवल "X"।

अगला पड़ाव - अंतर समीकरण एकीकरण. यह आसान है, हम दोनों हिस्सों पर इंटीग्रल लटकाते हैं:

बेशक, अभिन्न लिया जाना चाहिए। इस मामले में, वे सारणीबद्ध हैं:

जैसा कि हमें याद है, किसी भी प्रतिअवकलन को नियतांक नियत किया जाता है। यहां दो समाकलन हैं, लेकिन एक बार स्थिरांक लिखने के लिए पर्याप्त है। यह लगभग हमेशा दाईं ओर को जिम्मेदार ठहराया जाता है।

कड़ाई से बोलते हुए, इंटीग्रल लेने के बाद, डिफरेंशियल इक्वेशन को हल माना जाता है। केवल एक चीज यह है कि हमारे "y" को "x" के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जाता है, अर्थात समाधान प्रस्तुत किया जाता है निहित मेंप्रपत्र। अवकल समीकरण का निहित हल कहलाता है अवकल समीकरण का सामान्य समाकलन. अर्थात् सामान्य समाकलन है।

अब हमें एक सामान्य समाधान खोजने का प्रयास करने की आवश्यकता है, अर्थात, एक स्पष्ट रूप में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने का प्रयास करें।

कृपया पहली तकनीक याद रखें, यह बहुत सामान्य है और अक्सर व्यावहारिक कार्यों में उपयोग की जाती है। जब एकीकरण के बाद एक लघुगणक दाईं ओर दिखाई देता है, तो लगभग हमेशा लघुगणक के तहत स्थिरांक को भी लिखना उचित होता है।

वह है, के बजायरिकॉर्ड आमतौर पर लिखे जाते हैं .

यहाँ, वही पूर्ण स्थिरांक है जो . इसकी आवश्यकता क्यों है? और "y" को व्यक्त करना आसान बनाने के लिए। हम लघुगणक की स्कूल संपत्ति का उपयोग करते हैं: . इस मामले में:

अब लघुगणक और मॉड्यूल दोनों भागों से स्पष्ट विवेक के साथ निकाले जा सकते हैं:

समारोह को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है। यह सामान्य समाधान है।

बहुत सारी सुविधाएँ अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

स्थिरांक देना विभिन्न अर्थ, आप असीम रूप से कई प्राप्त कर सकते हैं निजी निर्णयअंतर समीकरण। कोई भी कार्य, आदि। अंतर समीकरण को संतुष्ट करेगा।

कभी-कभी सामान्य समाधान कहा जाता है कार्यों का परिवार. पर यह उदाहरणसामान्य निर्णय रैखिक कार्यों का एक परिवार है, या बल्कि, प्रत्यक्ष आनुपातिकता का परिवार है।

कई अंतर समीकरणों की जांच करना काफी आसान है। यह बहुत सरलता से किया जाता है, हम पाया गया समाधान लेते हैं और व्युत्पन्न पाते हैं:

हम अपने समाधान और पाए गए व्युत्पन्न को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

- सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि समाधान सही पाया जाता है। दूसरे शब्दों में, सामान्य समाधान समीकरण को संतुष्ट करता है।

पहले उदाहरण की विस्तृत चर्चा के बाद, कुछ का उत्तर देना उचित होगा भोले प्रश्नअंतर समीकरणों के बारे में

1)इस उदाहरण में, हम वेरिएबल्स को अलग करने में कामयाब रहे: . क्या ऐसा करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं। और इससे भी अधिक बार चरों को अलग नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, में सजातीय प्रथम क्रम समीकरणपहले बदला जाना चाहिए। अन्य प्रकार के समीकरणों में, उदाहरण के लिए, पहले क्रम के एक रैखिक अमानवीय समीकरण में, आपको एक सामान्य समाधान खोजने के लिए विभिन्न तकनीकों और विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता है। पहले पाठ में हम जिन वियोज्य चर समीकरणों को देख रहे हैं, वे हैं - सरलतम प्रकारविभेदक समीकरण।

2) क्या अंतर समीकरण को एकीकृत करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं। एक "फैंसी" समीकरण के साथ आना बहुत आसान है जिसे एकीकृत नहीं किया जा सकता है, इसके अलावा, ऐसे इंटीग्रल हैं जिन्हें नहीं लिया जा सकता है। लेकिन ऐसे डीई को विशेष तरीकों का उपयोग करके लगभग हल किया जा सकता है। डी'अलेम्बर्ट और कॉची गारंटी। ... उह, lurkmore.ru बस बहुत कुछ पढ़ा।

3) इस उदाहरण में, हमने एक सामान्य समाकल के रूप में एक हल प्राप्त किया है . क्या सामान्य समाकलन से एक सामान्य हल खोजना संभव है, अर्थात् "y" को स्पष्ट रूप में व्यक्त करना?नहीं हमेशा नहीं। उदाहरण के लिए: । खैर, मैं यहाँ "y" कैसे व्यक्त कर सकता हूँ?! ऐसे मामलों में, उत्तर को एक सामान्य अभिन्न के रूप में लिखा जाना चाहिए। इसके अलावा, कभी-कभी एक सामान्य समाधान पाया जा सकता है, लेकिन यह इतना बोझिल और अनाड़ी रूप से लिखा गया है कि उत्तर को सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ना बेहतर है।

चलो जल्दी मत करो। एक और सरल रिमोट कंट्रोल और दूसरा विशिष्ट समाधान।

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए जो प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता हो

खोजने की शर्त है निजी समाधान DE जो प्रारंभिक शर्त को पूरा करता है। इस प्रकार की पूछताछ को भी कहा जाता है कौची समस्या.

सबसे पहले, हम एक सामान्य समाधान पाते हैं। समीकरण में कोई "x" चर नहीं है, लेकिन यह शर्मनाक नहीं होना चाहिए, मुख्य बात यह है कि इसका पहला व्युत्पन्न है।

हम व्युत्पन्न को फिर से लिखते हैं वांछित रूप:

जाहिर है, चर को विभाजित किया जा सकता है, लड़कों को बाईं ओर, लड़कियों को दाईं ओर:

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं:

सामान्य समाकलन प्राप्त होता है। यहां मैंने एक उच्चारण तारे के साथ एक स्थिरांक खींचा, तथ्य यह है कि बहुत जल्द यह एक और स्थिरांक में बदल जाएगा।

अब हम सामान्य समाकलन को एक सामान्य समाधान में बदलने का प्रयास कर रहे हैं (स्पष्ट रूप से "y" व्यक्त करें)। हम पुराने, अच्छे, स्कूल को याद करते हैं: . इस मामले में:

संकेतक में स्थिरांक किसी तरह कोषेर नहीं दिखता है, इसलिए इसे आमतौर पर स्वर्ग से पृथ्वी पर उतारा जाता है। विस्तार से ऐसा होता है। डिग्री के गुण का उपयोग करते हुए, हम फ़ंक्शन को निम्नानुसार फिर से लिखते हैं:

यदि एक अचर है, तो कुछ अचर भी है, जिसे हम अक्षर से निरूपित करते हैं:

स्थिरांक के "बहाव" को याद रखें, यह दूसरी तकनीक है जिसका उपयोग अक्सर अंतर समीकरणों को हल करने के दौरान किया जाता है।

तो सामान्य समाधान है: घातीय कार्यों का इतना अच्छा परिवार।

अंतिम चरण में, आपको एक विशेष समाधान खोजने की आवश्यकता है जो दी गई प्रारंभिक शर्त को पूरा करता है। यह सरल भी है।

कार्य क्या है? लेने की जरूरत है ऐसास्थिरांक का मान ताकि दी गई प्रारंभिक शर्त संतुष्ट हो।

आप इसे अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं, लेकिन सबसे अधिक समझने योग्य, शायद, ऐसा होगा। सामान्य समाधान में, "x" के बजाय, हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं, और "y" के बजाय, दो:



वह है,

मानक डिजाइन संस्करण:

हम स्थिरांक के पाए गए मान को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं:
- यह वह विशेष समाधान है जिसकी हमें आवश्यकता है।

चलो एक चेक करते हैं। किसी विशेष समाधान के सत्यापन में दो चरण शामिल हैं।

सबसे पहले, यह जांचना आवश्यक है कि क्या पाया गया विशेष समाधान वास्तव में प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है? "x" के बजाय हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं और देखते हैं कि क्या होता है:
- हाँ, वास्तव में, एक ड्यूस प्राप्त किया गया था, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक स्थिति संतुष्ट है।

दूसरा चरण पहले से ही परिचित है। हम परिणामी विशेष समाधान लेते हैं और व्युत्पन्न पाते हैं:

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

- सही समानता प्राप्त होती है।

निष्कर्ष: विशेष समाधान सही ढंग से पाया जाता है।

आइए अधिक सार्थक उदाहरणों पर चलते हैं।

उदाहरण 3

अंतर समीकरण हल करें

समाधान:हम व्युत्पन्न को उस रूप में फिर से लिखते हैं जिसकी हमें आवश्यकता होती है:

यह आकलन करना कि क्या चर को अलग किया जा सकता है? कर सकना। हम दूसरे पद को एक संकेत परिवर्तन के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

और हम अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को पलटते हैं:

चर अलग हो गए हैं, आइए दोनों भागों को एकीकृत करें:

मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए, न्याय का दिन आ रहा है। अगर आपने अच्छी तरह से नहीं सीखा है अनिश्चित समाकलन, कुछ उदाहरणों को हल किया, फिर कहीं जाना नहीं है - अब आपको उनमें महारत हासिल करनी होगी।

लेफ्ट साइड का इंटीग्रल खोजना आसान है, कोटेंजेंट के इंटीग्रल के साथ हम उस मानक तकनीक से निपटते हैं जिसे हमने पाठ में माना था एकीकरण त्रिकोणमितीय फलन पिछले साल:

दाईं ओर, हमें एक लघुगणक मिला, मेरी पहली तकनीकी सिफारिश के अनुसार, इस स्थिति में, लघुगणक के नीचे स्थिरांक भी लिखा जाना चाहिए।

अब हम सामान्य समाकलन को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। चूंकि हमारे पास केवल लघुगणक हैं, इसलिए उनसे छुटकारा पाना काफी संभव (और आवश्यक) है। हम यथासंभव लघुगणक को "पैक" करते हैं। पैकेजिंग तीन गुणों का उपयोग करके की जाती है:

कृपया इन तीन सूत्रों को अपने आप में फिर से लिखें कार्यपुस्तिका, डिफ्यूज़ को हल करते समय उनका बहुत बार उपयोग किया जाता है।

मैं समाधान को विस्तार से लिखूंगा:

पैकेजिंग पूरी हो गई है, लघुगणक हटा दें:

क्या "y" को व्यक्त करना संभव है? कर सकना। दोनों भागों को चौकोर होना चाहिए। लेकिन आपको नहीं करना है।

तीसरा तकनीकी सलाह: यदि, एक सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको किसी शक्ति को बढ़ाने या जड़ें जमाने की आवश्यकता है, तो अधिकतर मामलों मेंआपको इन कार्यों से बचना चाहिए और उत्तर को एक सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ देना चाहिए। तथ्य यह है कि सामान्य समाधान दिखावा और भयानक लगेगा - बड़ी जड़ों, संकेतों के साथ।

इसलिए, हम उत्तर को एक सामान्य अभिन्न के रूप में लिखते हैं। सामान्य समाकल को रूप में प्रस्तुत करना अच्छा रूप माना जाता है, अर्थात दाहिनी ओर, यदि संभव हो तो, केवल एक स्थिरांक छोड़ दें। ऐसा करना जरूरी नहीं है, लेकिन प्रोफेसर को खुश करना हमेशा फायदेमंद होता है ;-)

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

टिप्पणी:किसी भी समीकरण का सामान्य समाकल एक से अधिक तरीकों से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, यदि आपका परिणाम पहले से ज्ञात उत्तर से मेल नहीं खाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि आपने समीकरण को गलत तरीके से हल किया है।

सामान्य इंटीग्रल को भी काफी आसानी से चेक किया जाता है, मुख्य बात यह है कि खोजने में सक्षम होना परोक्ष रूप से परिभाषित किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न. आइए उत्तर को अलग करें:

हम दोनों पदों को इससे गुणा करते हैं:

और हम इसके द्वारा विभाजित करते हैं:

मूल अंतर समीकरण बिल्कुल प्राप्त किया गया था, जिसका अर्थ है कि सामान्य अभिन्न सही ढंग से पाया गया था।

उदाहरण 4

अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए जो प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता हो। एक चेक चलाएँ।

यह स्वयं का उदाहरण है। मैं आपको याद दिलाता हूं कि कॉची समस्या में दो चरण होते हैं:
1) एक सामान्य समाधान ढूँढना।
2) एक विशेष समाधान ढूँढना।

जाँच भी दो चरणों में की जाती है (उदाहरण 2 का नमूना भी देखें), आपको चाहिए:
1) सुनिश्चित करें कि पाया गया विशेष समाधान वास्तव में प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है।
2) जाँच करें कि कोई विशेष हल सामान्यतः अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है।

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 5

अवकल समीकरण का विशेष हल ज्ञात कीजिए , प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट . एक चेक चलाएँ।

समाधान:सबसे पहले, आइए एक सामान्य समाधान खोजें। इस समीकरण में पहले से ही तैयार अंतर शामिल हैं और, जिसका अर्थ है कि समाधान सरल है। चर अलग करना:

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं:

बायीं ओर का समाकल सारणीबद्ध है, दायीं ओर का समाकल लिया गया है अंतर के संकेत के तहत फ़ंक्शन को सारांशित करने की विधि:

सामान्य समाकलन प्राप्त कर लिया गया है, क्या सामान्य हल को सफलतापूर्वक व्यक्त करना संभव है? कर सकना। हम लघुगणक लटकाते हैं:

(उम्मीद करता हूं कि हर कोई परिवर्तन को समझता है, ऐसी बातें पहले से ही पता होनी चाहिए)

तो सामान्य समाधान है:

आइए दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें। सामान्य समाधान में, "x" के बजाय, हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं, और "y" के बजाय, दो का लघुगणक:

अधिक परिचित डिजाइन:

हम स्थिरांक के पाए गए मान को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं।

उत्तर:निजी समाधान:

जांचें: सबसे पहले, जांचें कि प्रारंभिक शर्त पूरी हुई है या नहीं:
- सबकुछ ठीक है।

अब देखते हैं कि पाया गया विशेष हल अवकल समीकरण को बिल्कुल संतुष्ट करता है या नहीं। हम व्युत्पन्न पाते हैं:

आइए मूल समीकरण को देखें: - इसे अंतरों में प्रस्तुत किया जाता है। जाँच करने के दो तरीके हैं। पाए गए व्युत्पन्न से अंतर को व्यक्त करना संभव है:

हम मूल समीकरण में पाए गए विशेष समाधान और परिणामी अंतर को प्रतिस्थापित करते हैं :

हम मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग करते हैं:

सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि विशेष समाधान सही पाया जाता है।

जाँच का दूसरा तरीका प्रतिबिंबित और अधिक परिचित है: समीकरण से व्युत्पन्न को व्यक्त करें, इसके लिए हम सभी टुकड़ों को विभाजित करते हैं:

और रूपांतरित DE में हम प्राप्त विशेष समाधान और पाए गए व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करते हैं। सरलीकरण के परिणामस्वरूप सही समानता भी प्राप्त की जानी चाहिए।

उदाहरण 6

विभेदक समीकरण को हल करें। उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में व्यक्त कीजिए।

यह पाठ के अंत में आत्म-समाधान, पूर्ण समाधान और उत्तर के लिए एक उदाहरण है।

वियोज्य चरों के साथ अवकल समीकरणों को हल करने में किन कठिनाइयों का इंतजार है?

1) यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता (विशेषकर एक चायदानी के लिए) कि चर को अलग किया जा सकता है। एक सशर्त उदाहरण पर विचार करें: . यहां आपको कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालने की आवश्यकता है: और जड़ों को अलग करें:। आगे कैसे बढ़ना है यह स्पष्ट है।

2) एकीकरण में ही कठिनाइयाँ। इंटीग्रल अक्सर सबसे सरल नहीं होते हैं, और अगर खोजने के कौशल में खामियां हैं अनिश्चितकालीन अभिन्न, तो यह कई डिफ्यूज़र के साथ मुश्किल होगा। इसके अलावा, तर्क "चूंकि अंतर समीकरण सरल है, तो इंटीग्रल को अधिक जटिल होने दें" संग्रह और मैनुअल के संकलनकर्ताओं के बीच लोकप्रिय है।

3) एक स्थिरांक के साथ परिवर्तन। जैसा कि सभी ने देखा है, अंतर समीकरणों में एक स्थिरांक के साथ, आप लगभग कुछ भी कर सकते हैं। और हमेशा ऐसे परिवर्तन एक शुरुआत के लिए स्पष्ट नहीं होते हैं। एक और सशर्त उदाहरण पर विचार करें: . इसमें, सभी पदों को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . परिणामी स्थिरांक भी किसी प्रकार का स्थिरांक है, जिसे निम्न द्वारा दर्शाया जा सकता है: . हां, और चूंकि दाईं ओर एक लघुगणक है, इसलिए यह सलाह दी जाती है कि स्थिरांक को दूसरे स्थिरांक के रूप में फिर से लिखा जाए: .

परेशानी यह है कि वे अक्सर सूचकांकों से परेशान नहीं होते हैं, और एक ही अक्षर का उपयोग करते हैं। और परिणामस्वरूप, निर्णय रिकॉर्ड निम्नलिखित रूप लेता है:

क्या बकवास है? यहाँ त्रुटियाँ हैं। औपचारिक रूप से, हाँ। और अनौपचारिक रूप से - कोई त्रुटि नहीं है, यह समझा जाता है कि एक स्थिरांक को परिवर्तित करते समय, कुछ अन्य स्थिरांक अभी भी प्राप्त होते हैं।

या ऐसा उदाहरण मान लीजिए कि समीकरण को हल करने के क्रम में एक सामान्य समाकलन प्राप्त होता है। यह उत्तर बदसूरत दिखता है, इसलिए सभी गुणकों के संकेतों को बदलने की सलाह दी जाती है: . औपचारिक रूप से रिकॉर्ड के अनुसार फिर से एक त्रुटि है, इसे लिखा जाना चाहिए था। लेकिन यह अनौपचारिक रूप से निहित है कि - यह अभी भी कुछ अन्य स्थिर है (जितना अधिक यह कोई भी मूल्य ले सकता है), इसलिए स्थिरांक के संकेत को बदलने का कोई मतलब नहीं है और आप उसी अक्षर का उपयोग कर सकते हैं।

मैं एक लापरवाह दृष्टिकोण से बचने की कोशिश करूंगा, और फिर भी उन्हें परिवर्तित करते समय स्थिरांक के लिए अलग-अलग अनुक्रमणिका डालूंगा।

उदाहरण 7

अंतर समीकरण को हल करें। एक चेक चलाएँ।

समाधान:यह समीकरण चरों के पृथक्करण को स्वीकार करता है। चर अलग करना:

हम एकीकृत करते हैं:

यहां स्थिरांक को लघुगणक के तहत परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इससे कुछ भी अच्छा नहीं होगा।

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

जाँच करें: उत्तर को अलग करें (अंतर्निहित कार्य):

हम भिन्नों से छुटकारा पाते हैं, इसके लिए हम दोनों पदों को गुणा करते हैं:

मूल अवकल समीकरण प्राप्त कर लिया गया है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाकल सही पाया गया है।

उदाहरण 8

DE का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए।
,

यह स्वयं का उदाहरण है। एकमात्र टिप्पणी, यहां आपको एक सामान्य अभिन्न मिलता है, और, अधिक सही ढंग से, आपको एक विशेष समाधान खोजने के लिए प्रयास करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन निजी अभिन्न. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, अलग-अलग चर वाले डिफ्यूरस में, सबसे सरल इंटीग्रल अक्सर दिखाई नहीं देते हैं। और यहां एक स्वतंत्र निर्णय के लिए ऐसे कुछ उदाहरण दिए गए हैं। मैं सभी को उदाहरण संख्या 9-10 को हल करने की सलाह देता हूं, प्रशिक्षण के स्तर की परवाह किए बिना, यह आपको इंटीग्रल खोजने या ज्ञान अंतराल को भरने के कौशल को अपडेट करने की अनुमति देगा।

उदाहरण 9

अंतर समीकरण हल करें

उदाहरण 10

अंतर समीकरण हल करें

याद रखें कि सामान्य समाकल को एक से अधिक तरीकों से लिखा जा सकता है, और आपके उत्तरों की उपस्थिति इससे भिन्न हो सकती है दिखावटमेराजवाब। लघु स्ट्रोकपाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

सफल प्रचार!

उदाहरण 4:समाधान: आइए एक सामान्य समाधान खोजें। चर अलग करना:


हम एकीकृत करते हैं:



सामान्य समाकलन प्राप्त कर लिया गया है, हम इसे सरल बनाने का प्रयास कर रहे हैं। हम लघुगणक पैक करते हैं और उनसे छुटकारा पाते हैं:

व्याख्यान नोट्स

विभेदक समीकरण

विभेदक समीकरण

परिचय

कुछ परिघटनाओं का अध्ययन करते समय, अक्सर ऐसी स्थिति उत्पन्न होती है जब समीकरण y=f(x) या F(x;y)=0 का उपयोग करके प्रक्रिया का वर्णन नहीं किया जा सकता है। चर x और अज्ञात फ़ंक्शन के अलावा, समीकरण में इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शामिल है।

परिभाषा:चर x, अज्ञात फलन y(x) और उसके अवकलज से संबंधित समीकरण कहलाता है अंतर समीकरण. पर सामान्य दृष्टि सेअंतर समीकरण इस तरह दिखता है:

एफ (एक्स; वाई (एक्स); ;;...;y(n))=0

परिभाषा:अवकल समीकरण का क्रम उसके उच्चतम अवकलज का क्रम होता है।

-पहले क्रम का अंतर समीकरण

-तीसरे क्रम का विभेदक समीकरण

परिभाषा:अवकल समीकरण का हल एक ऐसा फलन है, जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर यह एक सर्वसमिका में बदल जाता है।

पहला क्रम अंतर समीकरण

परिभाषा:समीकरण टाइप करें =f(x;y) या F(x;y; )=0प्रथम कोटि का अवकल समीकरण कहलाता है।

परिभाषा:प्रथम कोटि के अवकल समीकरण का सामान्य हल फलन y=γ(x;c) है, जहां (с-const) है, जो समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर इसे एक सर्वसमिका में बदल देता है। समतल पर ज्यामितीय रूप से, सामान्य समाधान पैरामीटर c के आधार पर इंटीग्रल कर्व्स के एक परिवार से मेल खाता है।

परिभाषा:निर्देशांक (x 0; y 0) के साथ समतल में एक बिंदु से गुजरने वाला एक अभिन्न वक्र एक अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान से मेल खाता है जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण के हल की विशिष्टता के अस्तित्व पर प्रमेय

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण को देखते हुए
और फलन f(x; y) XOY तल के कुछ क्षेत्र D में आंशिक अवकलजों के साथ निरंतर है, फिर बिंदु M 0 (x 0; y 0) से होकर जाता है। D प्रारंभिक स्थिति y(x 0)=y 0 के संगत अवकल समीकरण के किसी विशेष हल के संगत एकमात्र वक्र पास करता है

दिए गए निर्देशांक के साथ विमान के बिंदु के माध्यम से 1 अभिन्न वक्र गुजरता है।

यदि प्रथम कोटि के अवकल समीकरण का सामान्य हल स्पष्ट रूप में प्राप्त करना संभव न हो, अर्थात्
, तो इसे परोक्ष रूप से प्राप्त किया जा सकता है:

एफ (एक्स; वाई; सी) = 0 - निहित रूप

इस रूप में सामान्य समाधान कहा जाता है सामान्य अभिन्नअंतर समीकरण।

पहले क्रम के अंतर समीकरण के संबंध में, 2 कार्य निर्धारित हैं:

1) एक सामान्य समाधान खोजें (सामान्य अभिन्न)

2) एक विशेष समाधान (आंशिक अभिन्न) खोजें जो दी गई प्रारंभिक शर्त को पूरा करता है। इस समस्या को अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या कहा जाता है।

वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण

फॉर्म के समीकरण:
वियोज्य चरों वाला अवकल समीकरण कहलाता है।

स्थानापन्न

dx . से गुणा करें

हम चर को अलग करते हैं

से भाग

नोट: एक विशेष मामले पर विचार करना आवश्यक है जब

चर अलग हो गए हैं

हम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं

- आम निर्णय

वियोज्य चर के साथ एक अंतर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

व्यक्तिगत मामला
!

हम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:

1)

2)
जल्दी शर्तें:

पहले क्रम के सजातीय अंतर समीकरण

परिभाषा:समारोह
क्रम n if . का सजातीय कहलाता है

उदाहरण: - क्रम n=2 . का समांगी फलन

परिभाषा:क्रम 0 का एक समांगी फलन कहलाता है सजातीय.

परिभाषा:अंतर समीकरण
सजातीय कहा जाता है अगर
- सजातीय कार्य, अर्थात्।

इस प्रकार, समांगी अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

प्रतिस्थापित करके , जहाँ t चर x का एक फलन है, समांगी अवकल समीकरण को वियोज्य चरों वाले समीकरण में घटाया जाता है।

- समीकरण में स्थानापन्न करें

चर अलग हो गए हैं, हम समीकरण के दोनों हिस्सों को एकीकृत करते हैं

आइए हम प्रतिस्थापित करके उलटा प्रतिस्थापन करें , हम सामान्य समाधान निहित रूप में प्राप्त करते हैं।

एक समांगी अवकल समीकरण को अवकल रूप में लिखा जा सकता है।

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, जहां M(x;y) और N(x;y) एक ही क्रम के समांगी फलन हैं।

डीएक्स और एक्सप्रेस द्वारा विभाजित करें

1)

या तो पहले से ही व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया है, या उन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है .

अंतराल पर प्रकार के अंतर समीकरणों का सामान्य समाधान एक्स, जो दिया गया है, इस समानता के दोनों पक्षों का अभिन्न अंग लेकर पाया जा सकता है।

प्राप्त .

यदि हम अनिश्चित समाकल के गुणों को देखें, तो हमें वांछित सामान्य हल प्राप्त होता है:

वाई = एफ (एक्स) + सी,

कहाँ पे एफ (एक्स)- फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक एफ (एक्स)के बीच में एक्स, एक सेएक मनमाना स्थिरांक है।

कृपया ध्यान दें कि अधिकांश कार्यों में अंतराल एक्सइंगित न करें। इसका मतलब है कि सभी के लिए एक समाधान खोजना होगा। एक्स, जिसके लिए और वांछित कार्य आप, और मूल समीकरण समझ में आता है।

यदि आपको प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले अंतर समीकरण के किसी विशेष समाधान की गणना करने की आवश्यकता है y(x0) = y0, फिर सामान्य अभिन्न की गणना के बाद वाई = एफ (एक्स) + सी, स्थिरांक का मान निर्धारित करना अभी भी आवश्यक है सी = सी0प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करना। यानी एक स्थिरांक सी = सी0समीकरण से निर्धारित एफ (एक्स 0) + सी = वाई 0, और अवकल समीकरण का वांछित विशेष समाधान रूप लेगा:

वाई = एफ (एक्स) + सी0.

एक उदाहरण पर विचार करें:

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए, परिणाम की शुद्धता की जाँच कीजिए। आइए इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक शर्त को पूरा करेगा।

समाधान:

दिए गए अवकल समीकरण को एकीकृत करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

.

हम इस अभिन्न को भागों द्वारा एकीकरण की विधि से लेते हैं:

उस।, अवकल समीकरण का एक सामान्य हल है।

आइए यह सुनिश्चित करने के लिए जांचें कि परिणाम सही है। ऐसा करने के लिए, हम उस समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं जो हमें दिए गए समीकरण में मिला है:

.

अर्थात्, अत मूल समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:

इसलिए, अवकल समीकरण का सामान्य हल सही ढंग से निर्धारित किया गया था।

हमने जो समाधान पाया वह तर्क के प्रत्येक वास्तविक मूल्य के लिए अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है एक्स.

यह ओडीई के एक विशेष समाधान की गणना करने के लिए बनी हुई है जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगी। दूसरे शब्दों में, स्थिरांक के मान की गणना करना आवश्यक है से, जिस पर समानता सत्य होगी:

.

.

फिर, प्रतिस्थापित करना सी = 2ओडीई के सामान्य समाधान में, हम अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:

.

साधारण अंतर समीकरण समीकरण के 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है एफ (एक्स). यह परिवर्तन समतुल्य होगा यदि एफ (एक्स)किसी के लिए शून्य पर नहीं जाता एक्सअंतर समीकरण के एकीकरण के अंतराल से एक्स.

स्थितियाँ तब संभव हैं, जब तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सकार्यों एफ (एक्स)तथा जी (एक्स)एक ही समय में शून्य की ओर मुड़ें। समान मूल्यों के लिए एक्सअवकल समीकरण का सामान्य हल कोई फलन होता है आप, जो उनमें परिभाषित है, क्योंकि .

अगर तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सशर्त संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में ODE के पास कोई समाधान नहीं है।

अन्य सभी के लिए एक्सअंतराल से एक्सअवकल समीकरण का सामान्य हल रूपांतरित समीकरण से निर्धारित होता है।

आइए उदाहरण देखें:

उदाहरण 1

आइए हम ODE का सामान्य हल खोजें: .

समाधान।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से यह स्पष्ट है कि कार्य प्राकृतिकगैर-ऋणात्मक तर्क मानों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए अभिव्यक्ति का दायरा लॉग (एक्स+3)एक अंतराल है एक्स > -3 . इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण समझ में आता है एक्स > -3 . तर्क के इन मूल्यों के साथ, अभिव्यक्ति एक्स + 3गायब नहीं होता है, इसलिए 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में ओडीई को हल किया जा सकता है एक्स + 3.

हम पाते हैं .

अगला, हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए परिणामी अंतर समीकरण को एकीकृत करते हैं: . इस समाकल को लेने के लिए, हम अवकलन के चिह्न के नीचे समाकलन की विधि का प्रयोग करते हैं।

अनुदेश

यदि समीकरण को इस प्रकार प्रस्तुत किया जाता है: dy/dx = q(x)/n(y), वियोज्य चरों वाले अवकल समीकरणों की श्रेणी देखें। इन्हें अवकलनों में शर्त लिखकर हल किया जा सकता है: n(y)dy = q(x)dx। फिर दोनों भागों को एकीकृत करें। कुछ मामलों में, समाधान ज्ञात कार्यों से लिए गए इंटीग्रल के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, dy/dx = x/y के मामले में, हम q(x) = x, n(y) = y प्राप्त करते हैं। इसे ydy = xdx के रूप में लिखें और एकीकृत करें। आपको y^2 = x^2 + c मिलना चाहिए।

रैखिक करने के लिए समीकरणसमीकरण "पहले" को विशेषता दें। इसके व्युत्पन्न के साथ एक अज्ञात फ़ंक्शन को ऐसे समीकरण में केवल पहली डिग्री तक शामिल किया जाता है। रैखिक का रूप dy/dx + f(x) = j(x) है, जहाँ f(x) और g(x) x पर निर्भर फलन हैं। समाधान ज्ञात कार्यों से लिए गए इंटीग्रल का उपयोग करके लिखा गया है।

ध्यान रखें कि कई अवकल समीकरण दूसरे क्रम के समीकरण होते हैं (द्वितीय व्युत्पन्न वाले)। उदाहरण के लिए, यह साधारण हार्मोनिक गति का समीकरण है, जिसे सामान्य रूप में लिखा जाता है: md 2x / dt 2 = -kx। इस तरह के समीकरणों में, आंशिक समाधान होते हैं। सरल हार्मोनिक गति का समीकरण कुछ महत्वपूर्ण का उदाहरण है: रैखिक अंतर समीकरण जिनमें निरंतर गुणांक होता है।

यदि समस्या की स्थितियों में केवल एक रैखिक समीकरण है, तो आपको अतिरिक्त शर्तें दी जाती हैं जिसके कारण आप समाधान ढूंढ सकते हैं। इन स्थितियों को खोजने के लिए समस्या को ध्यान से पढ़ें। यदि एक चर x और y दूरी, गति, वजन हैं - सीमा x≥0 और y≥0 निर्धारित करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। यह बहुत संभव है कि x या y सेबों आदि की संख्या छिपा रहा हो। - तब मान केवल हो सकते हैं। यदि x पुत्र की आयु है, तो यह स्पष्ट है कि वह अपने पिता से बड़ा नहीं हो सकता है, इसलिए समस्या की स्थितियों में इसे इंगित करें।

स्रोत:

• एक चर के साथ समीकरण को कैसे हल करें

विभेदक और अभिन्न कलन के लिए कार्य गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत को मजबूत करने के महत्वपूर्ण तत्व हैं, विश्वविद्यालयों में अध्ययन किए गए उच्च गणित का एक खंड। अंतर समीकरणएकीकरण विधि द्वारा हल किया जाता है।

अनुदेश

डिफरेंशियल कैलकुलस गुणों की जांच करता है। इसके विपरीत, किसी फ़ंक्शन का एकीकरण दिए गए गुणों के अनुसार अनुमति देता है, अर्थात। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न या अंतर को स्वयं खोजने के लिए। यह अवकल समीकरण का हल है।

कोई भी अज्ञात मान और ज्ञात डेटा के बीच का अनुपात है। एक विभेदक समीकरण के मामले में, अज्ञात की भूमिका फ़ंक्शन द्वारा निभाई जाती है, और ज्ञात मात्राओं की भूमिका इसके डेरिवेटिव द्वारा निभाई जाती है। इसके अलावा, अनुपात में एक स्वतंत्र चर हो सकता है: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, जहां x अज्ञात है चर, y (x) निर्धारित किया जाने वाला कार्य है, समीकरण का क्रम व्युत्पन्न (n) का अधिकतम क्रम है।

ऐसे समीकरण को साधारण अवकल समीकरण कहते हैं। यदि इन चरों के संबंध में कार्यों के संबंध और आंशिक व्युत्पन्न (अंतर) में कई स्वतंत्र चर हैं, तो समीकरण को आंशिक व्युत्पन्न के साथ एक अंतर समीकरण कहा जाता है और इसका रूप होता है: x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0, जहाँ z(x, y) अभीष्ट फलन है।

इसलिए, अवकल समीकरणों को हल करने का तरीका जानने के लिए, आपको प्रतिअवकलन ज्ञात करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, अर्थात्। व्युत्क्रम विभेदन की समस्या को हल करें। उदाहरण के लिए: प्रथम कोटि समीकरण y' = -y/x को हल करें।

हल y' को dy/dx से बदलें: dy/dx = -y/x।

समीकरण को एकीकरण के लिए सुविधाजनक रूप में लाएं। ऐसा करने के लिए, दोनों पक्षों को dx से गुणा करें और y:dy/y = -dx/x से भाग दें।

एकीकृत करें: dy/y = - dx/x + Сln |y| = - लॉग |x| +सी.

इस समाधान को सामान्य अंतर समीकरण कहा जाता है। C एक स्थिरांक है जिसके मानों का समुच्चय समीकरण के समाधान के समुच्चय को निर्धारित करता है। C के किसी विशेष मान के लिए, विलयन अद्वितीय होगा। ऐसा हल अवकल समीकरण का एक विशेष हल होता है।

उच्चतर के अधिकांश समीकरणों का हल डिग्रीइसका कोई स्पष्ट सूत्र नहीं है, जैसे किसी वर्ग के मूल ज्ञात करना समीकरण. हालाँकि, कई कमी विधियाँ हैं जो आपको समीकरण को बदलने की अनुमति देती हैं उच्चतम डिग्रीअधिक दृश्य दृश्य के लिए।

अनुदेश

उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए सबसे आम तरीका विस्तार है। यह दृष्टिकोण पूर्णांक जड़ों के चयन का एक संयोजन है, मुक्त पद के विभाजक, और सामान्य बहुपद के बाद के विभाजन (x - x0) में।

उदाहरण के लिए, समीकरण x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0 हल करें। हल। इस बहुपद का मुक्त सदस्य -3 है, इसलिए, इसके पूर्णांक भाजक ±1 और ±3 हो सकते हैं। उन्हें समीकरण में एक-एक करके रखें और पता करें कि क्या आपको यह पहचान मिलती है: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0।

दूसरा मूल x = -1। व्यंजक (x + 1) से भाग दें। परिणामी समीकरण (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0 लिखें। डिग्री गिरकर दूसरी हो गई है, इसलिए समीकरण के दो और मूल हो सकते हैं। उन्हें खोजने के लिए, द्विघात समीकरण को हल करें: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

विवेचक एक ऋणात्मक मान है, जिसका अर्थ है कि समीकरण की अब वास्तविक जड़ें नहीं हैं। समीकरण के जटिल मूल ज्ञात कीजिए: x = (-2 + i √11)/2 और x = (-2 - i √11)/2।

एक उच्च डिग्री समीकरण को हल करने का एक अन्य तरीका चर को वर्ग में बदलना है। इस दृष्टिकोण का उपयोग तब किया जाता है जब समीकरण की सभी शक्तियाँ सम हों, उदाहरण के लिए: x^4 - 13 x² + 36 = 0

अब मूल समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए: x1 = 9 = ±3; x2 = 4 = ±2।

टिप 10: रेडॉक्स समीकरण कैसे निर्धारित करें

एक रासायनिक प्रतिक्रिया पदार्थों के परिवर्तन की एक प्रक्रिया है जो उनकी संरचना में परिवर्तन के साथ होती है। वे पदार्थ जो प्रतिक्रिया में प्रवेश करते हैं, प्रारंभिक कहलाते हैं, और जो इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप बनते हैं, उत्पाद कहलाते हैं। ऐसा होता है कि इस दौरान रासायनिक प्रतिक्रियाप्रारंभिक सामग्री बनाने वाले तत्व अपनी ऑक्सीकरण अवस्था को बदलते हैं। अर्थात्, वे अन्य लोगों के इलेक्ट्रॉनों को स्वीकार कर सकते हैं और अपना दे सकते हैं। दोनों ही मामलों में, उनका चार्ज बदल जाता है। ऐसी अभिक्रियाओं को रेडॉक्स अभिक्रियाएँ कहते हैं।

लेख की सामग्री

विभेदक समीकरण।कई भौतिक नियम, जो कुछ घटनाओं के अधीन होते हैं, गणितीय समीकरण के रूप में लिखे जाते हैं जो कुछ राशियों के बीच एक निश्चित संबंध को व्यक्त करते हैं। अक्सर हम उन मूल्यों के बीच संबंध के बारे में बात कर रहे हैं जो समय के साथ बदलते हैं, उदाहरण के लिए, इंजन की दक्षता, उस दूरी से मापी जाती है जो एक कार एक लीटर ईंधन पर यात्रा कर सकती है, कार की गति पर निर्भर करती है। संगत समीकरण में एक या अधिक फलन और उनके अवकलज होते हैं और इसे अवकल समीकरण कहते हैं। (समय के साथ दूरी के परिवर्तन की दर गति से निर्धारित होती है; इसलिए, गति दूरी का व्युत्पन्न है; इसी तरह, त्वरण गति का व्युत्पन्न है, क्योंकि त्वरण समय के साथ गति के परिवर्तन की दर निर्धारित करता है।) बहुत महत्व, जो गणित के लिए और विशेष रूप से इसके अनुप्रयोगों के लिए अंतर समीकरण हैं, इस तथ्य से समझाया गया है कि ऐसे समीकरणों के समाधान के लिए कई भौतिक और तकनीकी समस्याओं का अध्ययन कम हो गया है। विभेदक समीकरण अन्य विज्ञानों में एक आवश्यक भूमिका निभाते हैं, जैसे जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग; वास्तव में, वे वहां उत्पन्न होते हैं जहां घटनाओं के मात्रात्मक (संख्यात्मक) विवरण की आवश्यकता होती है (जब तक आसपास की दुनिया समय में बदलती है, और स्थितियां एक स्थान से दूसरे स्थान पर बदलती हैं)।

उदाहरण।

निम्नलिखित उदाहरण इस बात की बेहतर समझ प्रदान करते हैं कि विभिन्न समस्याओं को अवकल समीकरणों के संदर्भ में कैसे तैयार किया जाता है।

1) कुछ रेडियोधर्मी पदार्थों के क्षय का नियम यह है कि क्षय की दर इस पदार्थ की उपलब्ध मात्रा के समानुपाती होती है। यदि एक एक्सकिसी निश्चित समय पर पदार्थ की मात्रा है टी, तो इस कानून को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कहाँ पे डीएक्स/डीटीक्षय दर है, और कदिए गए पदार्थ की विशेषता बताने वाला कुछ सकारात्मक स्थिरांक है। (दाईं ओर ऋण चिह्न दर्शाता है कि एक्ससमय के साथ घटता है; प्लस चिह्न, हमेशा निहित होता है जब संकेत स्पष्ट रूप से नहीं कहा जाता है, तो इसका मतलब होगा कि एक्ससमय के साथ बढ़ता है।)

2) कंटेनर में शुरू में 10 किलो नमक 100 मीटर 3 पानी में घुल जाता है। यदि एक शुद्ध जलकंटेनर में 1 मीटर 3 प्रति मिनट की दर से डाला जाता है और समान रूप से समाधान के साथ मिश्रित होता है, और परिणामस्वरूप समाधान समान गति से कंटेनर से बाहर निकलता है, तो बाद में किसी भी समय कंटेनर में कितना नमक होगा? यदि एक एक्स- उस समय कंटेनर में नमक की मात्रा (किलो में) टी, फिर किसी भी समय टीकंटेनर में घोल के 1 मी 3 में होता है एक्स/100 किलो नमक; तो नमक की मात्रा दर से घट जाती है एक्स/100 किग्रा/मिनट, या

3) शरीर पर द्रव्यमान होने दें एमएक वसंत के अंत से निलंबित, एक बहाल करने वाला बल वसंत में तनाव की मात्रा के समानुपाती कार्य करता है। होने देना एक्स- संतुलन की स्थिति से शरीर के विचलन की मात्रा। फिर, न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, जिसमें कहा गया है कि त्वरण ( . का दूसरा व्युत्पन्न) एक्ससमय में, निरूपित डी 2 एक्स/डीटी 2) शक्ति के अनुपात में:

दाहिनी ओर ऋण चिह्न के साथ है क्योंकि पुनर्स्थापना बल वसंत के विस्तार को कम कर देता है।

4) पिंडों के ठंडा होने का नियम कहता है कि शरीर में गर्मी की मात्रा शरीर के तापमान में अंतर के अनुपात में घट जाती है और वातावरण. यदि एक कप कॉफी को 90 डिग्री सेल्सियस के तापमान पर गर्म किया जाता है, तो उस कमरे में जिसका तापमान 20 डिग्री सेल्सियस है, तो

कहाँ पे टी- उस समय कॉफी का तापमान टी.

5) ब्लेफस्कु राज्य के विदेश मंत्री का दावा है कि लिलिपुट द्वारा अपनाया गया आयुध कार्यक्रम उनके देश को यथासंभव सैन्य खर्च बढ़ाने के लिए मजबूर कर रहा है। इसी तरह के बयान लिलिपुट के विदेश मंत्री ने दिए हैं। परिणामी स्थिति (इसकी सरलतम व्याख्या में) को दो अंतर समीकरणों द्वारा सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है। होने देना एक्सतथा आप- लिलिपुट और ब्लेफस्कु को उत्पन्न करने की लागत। यह मानते हुए कि लिलिपुटिया अपने आयुध खर्च को ब्लेफस्कु के आयुध खर्च में वृद्धि की दर के आनुपातिक दर से बढ़ाता है, और इसके विपरीत, हम प्राप्त करते हैं:

जहां सदस्य हैं कुल्हाड़ीतथा - द्वाराप्रत्येक देश के सैन्य खर्च का वर्णन करें, कतथा मैंसकारात्मक स्थिरांक हैं। (इस समस्या को पहली बार 1939 में एल. रिचर्डसन द्वारा इस तरह तैयार किया गया था।)

समस्या को अवकल समीकरणों की भाषा में लिखे जाने के बाद, उन्हें हल करने का प्रयास करना चाहिए, अर्थात्। वे मात्राएँ ज्ञात कीजिए जिनकी परिवर्तन की दर समीकरणों में शामिल है। कभी-कभी समाधान स्पष्ट सूत्रों के रूप में पाए जाते हैं, लेकिन अधिक बार उन्हें केवल अनुमानित रूप में दर्शाया जा सकता है या उनके बारे में गुणात्मक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं। यह स्थापित करना अक्सर मुश्किल होता है कि क्या कोई समाधान मौजूद है, एक को खोजने की तो बात ही छोड़ दें। अंतर समीकरणों के सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा तथाकथित "अस्तित्व प्रमेय" है, जो एक या दूसरे प्रकार के अंतर समीकरणों के समाधान के अस्तित्व को साबित करता है।

प्रारंभिक गणितीय सूत्रीकरण शारीरिक कार्यआमतौर पर सरलीकृत धारणाएं होती हैं; उपलब्ध टिप्पणियों के साथ गणितीय समाधान की संगति की डिग्री उनकी तर्कसंगतता की कसौटी हो सकती है।

अंतर समीकरणों के समाधान।

अवकल समीकरण, उदाहरण के लिए डीवाई/डीएक्स = एक्स/आप, इस विशेष मामले में एक संख्या नहीं, बल्कि एक फ़ंक्शन को संतुष्ट करता है, जैसे कि किसी भी बिंदु पर इसका ग्राफ, उदाहरण के लिए, निर्देशांक (2,3) के साथ एक बिंदु पर, निर्देशांक के अनुपात के बराबर ढलान के साथ एक स्पर्शरेखा है ( हमारे उदाहरण 2/3 में)। अगर हम निर्माण करते हैं तो यह सत्यापित करना आसान है बड़ी संख्याअंक और प्रत्येक सेट से एक उपयुक्त ढलान के साथ एक छोटा खंड। समाधान एक ऐसा फलन होगा जिसका ग्राफ संबंधित खंड पर उसके प्रत्येक बिंदु को स्पर्श करता है। यदि पर्याप्त बिंदु और खंड हैं, तो हम लगभग निर्णय वक्रों के पाठ्यक्रम की रूपरेखा तैयार कर सकते हैं (ऐसे तीन वक्र चित्र 1 में दिखाए गए हैं)। प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाला ठीक एक समाधान वक्र है आपसंख्या 0. प्रत्येक व्यक्तिगत समाधान को अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान कहा जाता है; यदि सभी विशेष समाधान (कुछ विशेष के संभावित अपवाद के साथ) युक्त एक सूत्र खोजना संभव है, तो हम कहते हैं कि एक सामान्य समाधान प्राप्त किया गया है। एक विशेष समाधान एक एकल कार्य है, जबकि एक सामान्य समाधान उनका एक पूरा परिवार है। अवकल समीकरण को हल करने का अर्थ है इसका विशेष या सामान्य हल खोजना। हमारे उदाहरण में, सामान्य समाधान का रूप है आप 2 – एक्स 2 = सी, कहाँ पे सी- कोई संख्या; बिंदु (1,1) से गुजरने वाले विशेष समाधान का रूप है आप = एक्सऔर प्राप्त होता है जब सी= 0; बिंदु (2.1) से गुजरने वाले विशेष समाधान का रूप है आप 2 – एक्स 2 = 3. जिस स्थिति के लिए समाधान वक्र पास होना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, बिंदु (2,1) के माध्यम से, प्रारंभिक स्थिति कहलाती है (क्योंकि यह समाधान वक्र पर प्रारंभिक बिंदु निर्दिष्ट करती है)।

यह दिखाया जा सकता है कि उदाहरण में (1) सामान्य समाधान का रूप है एक्स = सीई –के.टी., कहाँ पे सी- एक स्थिरांक जिसे निर्धारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, पदार्थ की मात्रा को इंगित करके टी= 0. उदाहरण (2) से समीकरण उदाहरण (1) से समीकरण का एक विशेष मामला है, जो के अनुरूप है क= 1/100। आरंभिक दशा एक्स= 10 बजे टी= 0 एक विशेष हल देता है एक्स = 10इ –टी/100. उदाहरण (4) के समीकरण का एक सामान्य हल है टी = 70 + सीई –के.टी.और एक विशेष हल 70 + 130 - के.टी.; मूल्य निर्धारित करने के लिए क, अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है।

अंतर समीकरण डीवाई/डीएक्स = एक्स/आपइसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है, क्योंकि इसमें पहला व्युत्पन्न होता है (इसमें शामिल उच्चतम व्युत्पन्न के क्रम को एक अंतर समीकरण के क्रम के रूप में मानने की प्रथा है)। अभ्यास में उत्पन्न होने वाले पहले प्रकार के अधिकांश (हालांकि सभी नहीं) अंतर समीकरणों के लिए, प्रत्येक बिंदु से केवल एक समाधान वक्र गुजरता है।

कई महत्वपूर्ण प्रकार के प्रथम-क्रम अंतर समीकरण हैं जिन्हें केवल प्राथमिक कार्यों वाले सूत्रों के रूप में हल किया जा सकता है - शक्तियां, घातांक, लघुगणक, साइन और कोसाइन, आदि। इन समीकरणों में निम्नलिखित शामिल हैं।

वियोज्य चर के साथ समीकरण।

फॉर्म के समीकरण डीवाई/डीएक्स = एफ(एक्स)/जी(आप) इसे डिफरेंशियल में लिखकर हल किया जा सकता है जी(आप)डीवाई = एफ(एक्स)डीएक्सऔर दोनों भागों को एकीकृत करना। सबसे खराब स्थिति में, समाधान को ज्ञात कार्यों के अभिन्न अंग के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण के मामले में डीवाई/डीएक्स = एक्स/आपअपने पास एफ(एक्स) = एक्स, जी(आप) = आप. इसे फॉर्म में लिखकर ydy = एक्सडीएक्सऔर एकीकरण, हम प्राप्त करते हैं आप 2 = एक्स 2 + सी. वियोज्य चर वाले समीकरणों में उदाहरण (1), (2), (4) से समीकरण शामिल हैं (उन्हें ऊपर वर्णित विधि द्वारा हल किया जा सकता है)।

कुल अंतर में समीकरण।

यदि अवकल समीकरण का रूप है डीवाई/डीएक्स = एम(एक्स,आप)/एन(एक्स,आप), कहाँ पे एमतथा एनदो दिए गए कार्य हैं, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है एम(एक्स,आप)डीएक्स – एन(एक्स,आप)डीवाई= 0. यदि बाईं ओर किसी फ़ंक्शन का अंतर है एफ(एक्स,आप), तो अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है डीएफ(एक्स,आप) = 0, जो समीकरण के बराबर है एफ(एक्स,आप) = स्थिरांक। इस प्रकार, समीकरण-समाधान वक्र एक फ़ंक्शन के "स्थिर स्तरों की रेखाएं" या समीकरणों को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के स्थान हैं एफ(एक्स,आप) = सी. समीकरण ydy = एक्सडीएक्स(चित्र। 1) - वियोज्य चर के साथ, और यह समान है - कुल अंतर में: बाद को सत्यापित करने के लिए, हम इसे फॉर्म में लिखते हैं ydy – एक्सडीएक्स= 0, यानी। डी(आप 2 – एक्स 2) = 0. फलन एफ(एक्स,आप) इस मामले में बराबर है (1/2)( आप 2 – एक्स 2); इसकी कुछ स्थिर स्तरीय रेखाएँ चित्र में दिखाई गई हैं। एक।

रेखीय समीकरण।

रैखिक समीकरण "प्रथम डिग्री" समीकरण हैं - अज्ञात फ़ंक्शन और इसके डेरिवेटिव ऐसे समीकरणों में केवल पहली डिग्री में शामिल होते हैं। इस प्रकार, प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण का रूप होता है डीवाई/डीएक्स + पी(एक्स) = क्यू(एक्स), कहाँ पे पी(एक्स) तथा क्यू(एक्स) केवल के आधार पर कार्य कर रहे हैं एक्स. इसका हल ज्ञात फलनों के समाकलों का प्रयोग करते हुए सदैव लिखा जा सकता है। कई अन्य प्रकार के प्रथम-क्रम अंतर समीकरण विशेष तकनीकों का उपयोग करके हल किए जाते हैं।

उच्च क्रम के समीकरण।

भौतिकविदों के साथ व्यवहार करने वाले कई अंतर समीकरण दूसरे क्रम के समीकरण हैं (यानी, दूसरे डेरिवेटिव वाले समीकरण)। उदाहरण के लिए, उदाहरण (3) से सरल हार्मोनिक गति समीकरण है, मोहम्मद 2 एक्स/डीटी 2 = –केएक्स. सामान्यतया, एक दूसरे क्रम के समीकरण की अपेक्षा करता है कि दो स्थितियों को संतुष्ट करने वाले विशेष समाधान हों; उदाहरण के लिए, किसी को यह आवश्यकता हो सकती है कि समाधान वक्र किसी दिए गए बिंदु से किसी दिशा में गुजरे। ऐसे मामलों में जहां अंतर समीकरण में कुछ पैरामीटर होते हैं (एक संख्या जिसका मूल्य परिस्थितियों पर निर्भर करता है), आवश्यक प्रकार के समाधान केवल इस पैरामीटर के कुछ मानों के लिए मौजूद होते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें मोहम्मद 2 एक्स/डीटी 2 = –केएक्सऔर हमें इसकी आवश्यकता है आप(0) = आप(1) = 0. फलन आप 0 निश्चित रूप से एक हल है, लेकिन यदि एक पूर्णांक गुणज है पी, अर्थात। क = एम 2 एन 2 पी 2, जहां एनएक पूर्णांक है, और वास्तव में केवल इस मामले में, अन्य समाधान हैं, अर्थात्: आप= पाप एनपीएक्स. वे पैरामीटर मान जिनके लिए समीकरण के विशेष समाधान होते हैं, विशेषता या eigenvalues ​​कहलाते हैं; वे कई कार्यों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

सरल हार्मोनिक गति का समीकरण समीकरणों के एक महत्वपूर्ण वर्ग का उदाहरण देता है, अर्थात् निरंतर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरण। अधिक सामान्य उदाहरण(दूसरे क्रम का भी) - समीकरण

कहाँ पे एकतथा बीस्थिरांक दिए गए हैं, एफ(एक्स) एक दिया गया कार्य है। ऐसे समीकरणों को हल किया जा सकता है विभिन्न तरीके, उदाहरण के लिए, इंटीग्रल लैपलेस ट्रांसफॉर्म का उपयोग करना। स्थिर गुणांक वाले उच्च कोटि के रैखिक समीकरणों के बारे में भी यही कहा जा सकता है। वे भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं रेखीय समीकरणचर गुणांक के साथ।

नॉनलाइनियर डिफरेंशियल इक्वेशन।

वे समीकरण जिनमें अज्ञात फलन होते हैं और उनके अवकलज पहले या कुछ अधिक जटिल तरीके से अधिक होते हैं, अरैखिक कहलाते हैं। पर पिछले साल काउन्हें अधिक से अधिक ध्यान मिल रहा है। मुद्दा यह है कि भौतिक समीकरण आमतौर पर केवल पहले सन्निकटन में रैखिक होते हैं; आगे और अधिक सटीक अनुसंधान, एक नियम के रूप में, के उपयोग की आवश्यकता है अरेखीय समीकरण. इसके अलावा, कई समस्याएं स्वाभाविक रूप से गैर-रैखिक हैं। चूंकि गैर-रैखिक समीकरणों के समाधान अक्सर बहुत जटिल होते हैं और उनका प्रतिनिधित्व करना मुश्किल होता है सरल सूत्र, महत्वपूर्ण भाग आधुनिक सिद्धांतउनके व्यवहार के गुणात्मक विश्लेषण के लिए समर्पित है, अर्थात। विधियों का विकास जो समीकरणों को हल किए बिना, समग्र रूप से समाधानों की प्रकृति के बारे में कुछ महत्वपूर्ण कहने के लिए संभव बनाता है: उदाहरण के लिए, कि वे सभी सीमित हैं, या एक आवधिक चरित्र है, या एक निश्चित तरीके से निर्भर करते हैं गुणांक।

अवकल समीकरणों के अनुमानित हल संख्यात्मक रूप से पाए जा सकते हैं, लेकिन इसमें बहुत समय लगता है। उच्च गति वाले कंप्यूटरों के आगमन के साथ, यह समय बहुत कम हो गया है, जिसने कई समस्याओं के संख्यात्मक समाधान के लिए नई संभावनाएं खोल दी हैं जो पहले इस तरह के समाधान के लिए उत्तरदायी नहीं थे।

अस्तित्व प्रमेय।

एक अस्तित्व प्रमेय एक प्रमेय है जो बताता है कि कुछ शर्तों के तहत किसी दिए गए अंतर समीकरण का एक समाधान होता है। ऐसे अवकल समीकरण हैं जिनका समाधान नहीं है या अपेक्षा से अधिक समाधान हैं। अस्तित्व प्रमेय का उद्देश्य हमें यह विश्वास दिलाना है कि किसी दिए गए समीकरण का एक हल होता है, और अक्सर यह सुनिश्चित करने के लिए कि इसमें आवश्यक प्रकार का एक ही समाधान होता है। उदाहरण के लिए, वह समीकरण जो हम पहले ही प्राप्त कर चुके हैं डीवाई/डीएक्स = –2आपसमतल के प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाला ठीक एक समाधान है ( एक्स,आप), और चूंकि हमने पहले ही ऐसा एक हल ढूंढ लिया है, इसलिए हमने इस समीकरण को पूरी तरह से हल कर लिया है। दूसरी ओर, समीकरण ( डीवाई/डीएक्स) 2 = 1 – आप 2 के कई समाधान हैं। उनमें से प्रत्यक्ष हैं आप = 1, आप= -1 और वक्र आप= पाप ( एक्स + सी) समाधान में इन सीधी रेखाओं और वक्रों के कई खंड शामिल हो सकते हैं, जो संपर्क के बिंदुओं पर एक दूसरे से गुजरते हैं (चित्र 2)।

आंशिक अंतर समीकरण।

एक साधारण अंतर समीकरण एक चर के अज्ञात फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बारे में एक बयान है। एक आंशिक अंतर समीकरण में दो या दो से अधिक चर का एक फ़ंक्शन होता है और उस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न कम से कम दो अलग-अलग चर में होते हैं।

भौतिकी में, ऐसे समीकरणों के उदाहरण हैं लाप्लास समीकरण

एक्स , आप) सर्कल के अंदर यदि मान तुमबाउंडिंग सर्कल के प्रत्येक बिंदु पर दिए गए हैं। चूंकि भौतिकी में एक से अधिक चर वाली समस्याएं अपवाद के बजाय नियम हैं, इसलिए यह कल्पना करना आसान है कि आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत का विषय कितना व्यापक है।