जब व्युत्पन्न ग्राफ पर मौजूद नहीं है। समारोह व्युत्पन्न। व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

प्रथम स्तर

समारोह व्युत्पन्न। व्यापक गाइड (2019)

एक पहाड़ी क्षेत्र से गुजरने वाली सीधी सड़क की कल्पना करें। यानी यह ऊपर और नीचे जाता है, लेकिन दाएं या बाएं नहीं मुड़ता है। यदि धुरी को क्षैतिज रूप से सड़क के साथ और लंबवत रूप से निर्देशित किया जाता है, तो सड़क रेखा कुछ निरंतर कार्यों के ग्राफ के समान होगी:

धुरी शून्य ऊँचाई का एक निश्चित स्तर है, जीवन में हम समुद्र तल का उपयोग करते हैं।

ऐसी सड़क के साथ आगे बढ़ते हुए हम भी ऊपर या नीचे जा रहे हैं। हम यह भी कह सकते हैं: जब तर्क बदलता है (एब्सिस्सा अक्ष के साथ चल रहा है), फ़ंक्शन का मान बदल जाता है (ऑर्डिनेट अक्ष के साथ चल रहा है)। अब आइए विचार करें कि हमारी सड़क की "स्थिरता" का निर्धारण कैसे किया जाए? यह मूल्य क्या हो सकता है? बहुत सरल: एक निश्चित दूरी आगे बढ़ने पर ऊँचाई कितनी बदल जाएगी। वास्तव में, सड़क के विभिन्न खंडों पर, आगे बढ़ते हुए (एब्सिस्सा के साथ) एक किलोमीटर, हम समुद्र तल के सापेक्ष (समन्वय के साथ) मीटर की एक अलग संख्या में उठेंगे या गिरेंगे।

हम प्रगति को निरूपित करते हैं ("डेल्टा एक्स" पढ़ें)।

ग्रीक अक्षर (डेल्टा) आमतौर पर गणित में एक उपसर्ग के रूप में प्रयोग किया जाता है जिसका अर्थ है "परिवर्तन"। वह है - यह परिमाण में परिवर्तन है, - परिवर्तन; तब यह क्या है? यह सही है, आकार में परिवर्तन।

महत्वपूर्ण: व्यंजक एक इकाई, एक चर है। आपको कभी भी "x" या किसी अन्य अक्षर से "डेल्टा" को अलग नहीं करना चाहिए! अर्थात्, उदाहरण के लिए, .

इसलिए, हम क्षैतिज रूप से आगे बढ़े हैं। यदि हम किसी फलन के ग्राफ से सड़क की रेखा की तुलना करते हैं, तो हम वृद्धि को कैसे निरूपित करते हैं? बेशक, । यानी आगे बढ़ने पर हम ऊपर उठते हैं।

मूल्य की गणना करना आसान है: यदि शुरुआत में हम ऊंचाई पर थे, और आगे बढ़ने के बाद हम ऊंचाई पर थे, तो। यदि अंत बिंदु प्रारंभ बिंदु से कम निकला, तो यह नकारात्मक होगा - इसका मतलब है कि हम आरोही नहीं हैं, बल्कि अवरोही हैं।

वापस "स्थिरता" पर: यह एक ऐसा मान है जो इंगित करता है कि प्रति इकाई दूरी पर आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी (तीव्र) बढ़ जाती है:

मान लीजिए कि पथ के किसी भाग पर, किमी की दर से आगे बढ़ने पर, सड़क किमी से ऊपर उठती है। तब इस स्थान पर खड़ीता बराबर होती है। और अगर सड़क, मीटर से आगे बढ़ने पर, किमी से डूब गई? फिर ढलान बराबर है।

अब एक पहाड़ी की चोटी पर विचार करें। यदि आप खंड की शुरुआत आधा किलोमीटर ऊपर और अंत - आधा किलोमीटर बाद करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि ऊंचाई लगभग समान है।

अर्थात्, हमारे तर्क के अनुसार, यह पता चला है कि यहाँ ढलान लगभग शून्य के बराबर है, जो स्पष्ट रूप से सच नहीं है। कुछ ही मील दूर बहुत कुछ बदल सकता है। ढलान के अधिक पर्याप्त और सटीक अनुमान के लिए छोटे क्षेत्रों पर विचार करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक मीटर चलते समय ऊँचाई में परिवर्तन को मापते हैं, तो परिणाम अधिक सटीक होगा। लेकिन यह सटीकता भी हमारे लिए पर्याप्त नहीं हो सकती है - आखिरकार, अगर सड़क के बीच में कोई खंभा है, तो हम आसानी से उस पर फिसल सकते हैं। फिर हमें कौन सी दूरी चुननी चाहिए? सेंटीमीटर? मिलीमीटर? कम बेहतर है!

पर वास्तविक जीवननिकटतम मिलीमीटर की दूरी को मापना पर्याप्त से अधिक है। लेकिन गणितज्ञ हमेशा पूर्णता के लिए प्रयास करते हैं। इसलिए अवधारणा थी बहुत छोता, यानी, मॉड्यूलो मान किसी भी संख्या से कम है जिसे हम नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं: एक खरबवां! कितना कम? और आप इस संख्या को - से विभाजित करते हैं और यह और भी कम हो जाएगा। और इसी तरह। यदि हम लिखना चाहते हैं कि मान असीम रूप से छोटा है, तो हम इस तरह लिखते हैं: (हम पढ़ते हैं "x शून्य की ओर झुकता है")। समझना बहुत जरूरी है कि यह संख्या शून्य के बराबर नहीं है!लेकिन इसके बहुत करीब। इसका मतलब यह है कि में विभाजित किया जा सकता है।

असीम रूप से छोटे के विपरीत अवधारणा असीम रूप से बड़ी () है। जब आप असमानताओं पर काम कर रहे थे तब आप शायद पहले ही इसका सामना कर चुके हैं: यह संख्या आपके द्वारा सोची जा सकने वाली किसी भी संख्या की तुलना में मापांक में अधिक है। यदि आप सबसे बड़ी संभव संख्या के साथ आते हैं, तो बस इसे दो से गुणा करें और आप और भी अधिक प्राप्त करें। और अनंत उससे भी अधिक है जो घटित होता है। वास्तव में, असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं, अर्थात, और इसके विपरीत: पर।

अब वापस हमारे रास्ते पर। आदर्श रूप से गणना की गई ढलान पथ के एक असीम रूप से छोटे खंड के लिए गणना की गई ढलान है, जो है:

मैं ध्यान देता हूं कि असीम रूप से छोटे विस्थापन के साथ, ऊंचाई में परिवर्तन भी असीम रूप से छोटा होगा। लेकिन मैं आपको याद दिला दूं कि असीम रूप से छोटा का मतलब यह नहीं है शून्य. यदि आप अपरिमित संख्याओं को एक दूसरे से विभाजित करते हैं, तो आप पूरी तरह से साधारण संख्या प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए,। यानी, एक छोटा मान दूसरे से ठीक दोगुना बड़ा हो सकता है।

यह सब क्यों? सड़क, ढलान... हम रैली में नहीं जा रहे हैं, लेकिन हम गणित सीख रहे हैं। और गणित में सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है, बस इसे अलग तरह से कहा जाता है।

व्युत्पन्न की अवधारणा

किसी फ़ंक्शन का डेरिवेटिव, तर्क के अनंत वृद्धि पर फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात है।

वेतन वृद्धिगणित में परिवर्तन कहलाता है। अक्ष के साथ चलने पर तर्क () कितना बदल गया है, कहा जाता है तर्क वृद्धिऔर द्वारा निरूपित किया जाता है कि धुरी के साथ एक दूरी से आगे बढ़ने पर फ़ंक्शन (ऊंचाई) कितना बदल गया है समारोह वृद्धिऔर अंकित है।

अतः, किसी फलन का अवकलज कब से संबंध है। हम व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के समान अक्षर से निरूपित करते हैं, केवल शीर्ष दाईं ओर से एक स्ट्रोक के साथ: या बस। तो, आइए इन अंकन का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र लिखें:

जैसा कि सड़क के साथ समानता में, यहां, जब कार्य बढ़ता है, व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह नकारात्मक होता है।

लेकिन क्या व्युत्पन्न शून्य के बराबर है? बेशक। उदाहरण के लिए, यदि हम समतल क्षैतिज सड़क पर गाड़ी चला रहे हैं, तो ढलान शून्य है। दरअसल, ऊंचाई बिल्कुल नहीं बदलती है। तो व्युत्पन्न के साथ: एक निरंतर कार्य (स्थिर) का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

चूंकि इस तरह के एक समारोह की वृद्धि किसी के लिए शून्य है।

आइए पहाड़ी की चोटी का उदाहरण लें। यह पता चला कि शीर्ष के विपरीत पक्षों पर खंड के सिरों को इस तरह से व्यवस्थित करना संभव था कि सिरों पर ऊँचाई समान हो, अर्थात खंड अक्ष के समानांतर हो:

लेकिन बड़े खंड गलत माप का संकेत हैं। हम अपने खंड को उसके समानांतर ऊपर उठाएंगे, फिर उसकी लंबाई कम हो जाएगी।

अंत में, जब हम असीम रूप से शीर्ष के करीब होते हैं, तो खंड की लंबाई असीम रूप से छोटी हो जाएगी। लेकिन एक ही समय में, यह अक्ष के समानांतर बना रहा, अर्थात, इसके सिरों पर ऊँचाई का अंतर शून्य के बराबर है (प्रवृत्त नहीं होता है, लेकिन बराबर होता है)। तो व्युत्पन्न

इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: जब हम सबसे ऊपर खड़े होते हैं, तो बाईं या दाईं ओर एक छोटा सा बदलाव हमारी ऊंचाई को नगण्य रूप से बदल देता है।

एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय व्याख्या भी है: शीर्ष के बाईं ओर, कार्य बढ़ता है, और दाईं ओर, यह घटता है। जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि जब फलन बढ़ता है तो अवकलज धनात्मक होता है और जब घटता है तो ऋणात्मक होता है। लेकिन यह आसानी से बदल जाता है, बिना कूदता है (क्योंकि सड़क कहीं भी अपनी ढलान को तेजी से नहीं बदलती है)। इसलिए, नकारात्मक और सकारात्मक मूल्यों के बीच होना चाहिए। यह वह जगह होगी जहां शीर्ष बिंदु पर फलन न तो बढ़ता है और न ही घटता है।

घाटी के लिए भी यही सच है (वह क्षेत्र जहां फ़ंक्शन बाईं ओर घटता है और दाईं ओर बढ़ता है):

वृद्धि के बारे में थोड़ा और।

इसलिए हम तर्क को मान में बदलते हैं। हम किस मूल्य से बदलते हैं? वह (तर्क) अब क्या हो गया है? हम कोई भी बिंदु चुन सकते हैं, और अब हम इससे नृत्य करेंगे।

एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर विचार करें। इसमें फलन का मान बराबर होता है। फिर हम वही वेतन वृद्धि करते हैं: द्वारा समन्वय बढ़ाएँ। अब क्या तर्क है? बहुत आसान: । अब समारोह का मूल्य क्या है? जहां तर्क जाता है, कार्य वहां जाता है:। फ़ंक्शन वृद्धि के बारे में क्या? कुछ भी नया नहीं: यह अभी भी वह राशि है जिसके द्वारा फ़ंक्शन बदल गया है:

वेतन वृद्धि खोजने का अभ्यास करें:

1. के बराबर तर्क की वृद्धि के साथ एक बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि पाएं।
2. एक बिंदु पर एक समारोह के लिए वही।

समाधान:

अलग-अलग बिंदुओं पर, तर्क की समान वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन की वृद्धि भिन्न होगी। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न का अपना है (हमने शुरुआत में ही इस पर चर्चा की थी - अलग-अलग बिंदुओं पर सड़क की ढलान अलग है)। इसलिए, जब हम एक व्युत्पन्न लिखते हैं, तो हमें किस बिंदु पर इंगित करना चाहिए:

ऊर्जा समीकरण।

एक पावर फ़ंक्शन को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जहां तर्क कुछ हद तक होता है (तार्किक, सही?)

और - किसी भी हद तक: .

सबसे सरल मामला तब होता है जब एक्सपोनेंट होता है:

आइए एक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न खोजें। व्युत्पन्न की परिभाषा याद रखें:

तो तर्क से बदल जाता है। फंक्शन इंक्रीमेंट क्या है?

वृद्धि है। लेकिन किसी भी बिंदु पर कार्य इसके तर्क के बराबर है। इसीलिए:

व्युत्पन्न है:

का व्युत्पन्न है:

ख) अब विचार करें द्विघात फंक्शन (): .

अब इसे याद करते हैं। इसका मतलब यह है कि वेतन वृद्धि के मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है, क्योंकि यह असीम रूप से छोटा है, और इसलिए किसी अन्य शब्द की पृष्ठभूमि के खिलाफ नगण्य है:

तो, हमारे पास एक और नियम है:

ग) हम तार्किक श्रृंखला जारी रखते हैं: .

इस अभिव्यक्ति को विभिन्न तरीकों से सरल किया जा सकता है: योग के घन के संक्षिप्त गुणन के सूत्र का उपयोग करके पहला कोष्ठक खोलें, या क्यूब्स के अंतर के सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करें। सुझाए गए किसी भी तरीके से इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

तो, मुझे निम्नलिखित मिला:

और चलिए इसे फिर से याद करते हैं। इसका मतलब यह है कि हम सभी शब्दों की उपेक्षा कर सकते हैं जिनमें शामिल हैं:

हम पाते हैं: ।

घ) बड़ी शक्तियों के लिए समान नियम प्राप्त किए जा सकते हैं:

ई) यह पता चला है कि इस नियम को एक मनमाने ढंग से घातांक के साथ एक शक्ति समारोह के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, एक पूर्णांक भी नहीं:

आप नियम को शब्दों के साथ तैयार कर सकते हैं: "डिग्री को गुणांक के रूप में आगे लाया जाता है, और फिर घट जाती है"।

हम इस नियम को बाद में (लगभग बिल्कुल अंत में) सिद्ध करेंगे। अब आइए कुछ उदाहरण देखें। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. (दो तरीकों से: सूत्र द्वारा और व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके - फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करके);

1. . मानो या न मानो, यह एक शक्ति कार्य है। यदि आपके पास प्रश्न हैं जैसे "यह कैसा है? और डिग्री कहाँ है? ”, विषय याद रखें“ ”!
   हाँ, हाँ, जड़ भी एक डिग्री है, केवल एक आंशिक:।
   तो हमारा वर्गमूलएक एक्सपोनेंट के साथ सिर्फ एक डिग्री है:
   .
   हम हाल ही में सीखे गए सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:

   यदि इस बिंदु पर यह फिर से अस्पष्ट हो गया, तो विषय को दोहराएं "" !!! (एक नकारात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री के बारे में)

2. . अब प्रतिपादक:

   और अब परिभाषा के माध्यम से (क्या आप अभी तक भूल गए हैं?):
   ;
   .
   अब, हमेशा की तरह, हम उस शब्द की उपेक्षा करते हैं जिसमें:
   .

3. . पिछले मामलों का संयोजन: .

त्रिकोणमितीय फलन।

यहाँ हम उच्च गणित से एक तथ्य का उपयोग करेंगे:

जब अभिव्यक्ति।

आप संस्थान के पहले वर्ष में प्रमाण सीखेंगे (और वहां पहुंचने के लिए, आपको अच्छी तरह से परीक्षा उत्तीर्ण करनी होगी)। अब मैं इसे ग्राफिकल रूप से दिखाऊंगा:

हम देखते हैं कि जब फ़ंक्शन मौजूद नहीं होता है - ग्राफ़ पर बिंदु पंचर हो जाता है। लेकिन मूल्य के जितना करीब, फ़ंक्शन उतना ही करीब है। यह बहुत ही "प्रयास" है।

इसके अतिरिक्त, आप इस नियम को कैलकुलेटर से देख सकते हैं। हां, हां, शरमाओ मत, कैलकुलेटर लो, हम अभी परीक्षा में नहीं हैं।

तो चलो कोशिश करें: ;

कैलकुलेटर को रेडियंस मोड में स्विच करना न भूलें!

आदि। हम देखते हैं कि अनुपात का मूल्य जितना छोटा होता है।

ए) एक समारोह पर विचार करें। हमेशा की तरह, हम इसकी वृद्धि पाते हैं:

आइए ज्या के अंतर को एक उत्पाद में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं (विषय "" याद रखें):।

अब व्युत्पन्न:

आइए एक प्रतिस्थापन करें: . फिर, असीम रूप से छोटे के लिए, यह असीम रूप से छोटा भी होता है: . के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है:

और अब हम उसे अभिव्यक्ति के साथ याद करते हैं। और यह भी, क्या होगा यदि योग में एक असीम रूप से छोटे मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है (अर्थात, पर)।

तो हमें निम्नलिखित नियम मिलता है: साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है:

ये बुनियादी ("टेबल") डेरिवेटिव हैं। यहाँ वे एक सूची में हैं:

बाद में हम उनमें कुछ और जोड़ेंगे, लेकिन ये सबसे महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि ये सबसे अधिक बार उपयोग किए जाते हैं।

अभ्यास:

1. एक बिंदु पर एक समारोह के व्युत्पन्न का पता लगाएं;
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

समाधान:

1. सबसे पहले हम व्युत्पन्न पाते हैं सामान्य दृष्टि से, और उसके बाद इसके मान को प्रतिस्थापित करें:
   ;
   .
2. यहां हमारे पास पावर फ़ंक्शन के समान कुछ है। आइए उसे लाने की कोशिश करते हैं
   सामान्य दृश्य:
   .
   ठीक है, अब आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
   .
   .
3. . ईईईईई … .. यह क्या है ????

ठीक है, आप सही कह रहे हैं, हम अभी भी नहीं जानते हैं कि इस तरह के डेरिवेटिव कैसे खोजे जाते हैं। यहां हमारे पास कई प्रकार के कार्यों का संयोजन है। उनके साथ काम करने के लिए, आपको कुछ और नियम सीखने होंगे:

घातांक और प्राकृतिक लघुगणक।

गणित में एक ऐसा फलन होता है, जिसका व्युत्पन्न किसी के लिए भी उसी फलन के मान के बराबर होता है। इसे "घातांक" कहा जाता है, और यह एक घातीय कार्य है

इस फ़ंक्शन का आधार स्थिर है - यह अनंत है दशमलव, यानी एक अपरिमेय संख्या (जैसे)। इसे "यूलर संख्या" कहा जाता है, यही कारण है कि इसे एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

तो नियम है:

इसे याद रखना बहुत आसान है।

खैर, हम दूर नहीं जाएंगे, हम तुरंत उलटे कार्य पर विचार करेंगे। घातीय फलन का व्युत्क्रम क्या है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार एक संख्या है:

इस तरह के एक लघुगणक (अर्थात, एक आधार के साथ एक लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

किसके बराबर है? बेशक, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: प्रदर्शक और प्राकृतिक- व्युत्पन्न के संदर्भ में कार्य विशिष्ट रूप से सरल हैं। किसी अन्य आधार के साथ घातीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका हम बाद में विश्लेषण करेंगे, जब हम अवकलन के नियमों से गुजरेंगे।

विभेदन नियम

क्या नियम? एक और नया शब्द, फिर से?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है।

केवल और सब कुछ। इस प्रक्रिया के लिए दूसरा शब्द क्या है? Proizvodnovanie नहीं... गणित के अंतर को समारोह की बहुत वृद्धि कहा जाता है। यह शब्द लैटिन डिफरेंसिया - डिफरेंस से आया है। यहां।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो कार्यों का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल 5 नियम हैं।

स्थिरांक को अवकलज के चिह्न से निकाल लिया जाता है।

अगर - कुछ निरंतर संख्या (स्थिर), तो।

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है: .

आइए इसे साबित करें। चलो, या आसान।

उदाहरण।

कार्यों के डेरिवेटिव खोजें:

1. बिंदु पर;
2. बिंदु पर;
3. बिंदु पर;
4. बिंदु पर।

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: हम परिचय देते हैं नयी विशेषताऔर इसकी वृद्धि पाएं:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के डेरिवेटिव खोजें और;
2. एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

समाधान:

घातीय समारोह का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह जानने के लिए पर्याप्त है कि किसी भी घातीय फलन का अवकलज कैसे ज्ञात किया जाए, न कि केवल घातांक (क्या आप भूल गए हैं कि यह अभी तक क्या है?)।

तो कुछ संख्या कहाँ है।

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, इसलिए आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर लाने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, हम एक सरल नियम का उपयोग करते हैं: . फिर:

अच्छा, यह काम कर गया। अब व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह कार्य जटिल है।

हो गई?

यहाँ, अपने आप को जांचें:

सूत्र प्रतिपादक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा कि यह था, यह बना हुआ है, केवल एक कारक दिखाई दिया, जो कि केवल एक संख्या है, लेकिन एक चर नहीं है।

उदाहरण:
कार्यों के डेरिवेटिव खोजें:

उत्तर:

यह केवल एक संख्या है जिसकी गणना कैलकुलेटर के बिना नहीं की जा सकती है, अर्थात इसे सरल रूप में नहीं लिखा जा सकता है। अतः उत्तर में इसे इसी रूप में छोड़ दिया गया है।

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

यहाँ यह समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ लघुगणक से एक मनमाना खोजने के लिए, उदाहरण के लिए:

हमें इस लघुगणक को आधार पर लाने की आवश्यकता है। आप लघुगणक के आधार को कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

इसके बजाय अब हम लिखेंगे:

भाजक केवल एक स्थिर (एक स्थिर संख्या, एक चर के बिना) निकला। व्युत्पन्न बहुत सरल है:

घातीय और लघुगणक कार्यों के डेरिवेटिव परीक्षा में लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

एक "जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह एक लघुगणक नहीं है, और एक चाप स्पर्शरेखा नहीं है। इन कार्यों को समझना मुश्किल हो सकता है (हालाँकि यदि लघुगणक आपको कठिन लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और सब कुछ काम करेगा), लेकिन गणित के संदर्भ में, "जटिल" शब्द का अर्थ "कठिन" नहीं है।

एक छोटे से वाहक की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रियाएं कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा इसे रिबन से बांधता है। यह इस तरह की एक मिश्रित वस्तु निकला: एक चॉकलेट बार लपेटा और एक रिबन से बंधा हुआ। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको उल्टे क्रम में विपरीत चरणों को करने की आवश्यकता है।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या का कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर हम परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, वे हमें एक संख्या (चॉकलेट) देते हैं, मुझे इसकी कोसाइन (आवरण) मिलती है, और फिर आप वर्गाकार करते हैं जो मुझे मिला (इसे एक रिबन के साथ बांधें)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल कार्य का एक उदाहरण है: जब, इसके मान को खोजने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे चर के साथ करते हैं, और फिर दूसरी क्रिया पहले के परिणाम के साथ हुई।

हम समान क्रियाओं को उल्टे क्रम में कर सकते हैं: पहले आप वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या के कोसाइन की तलाश करता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। जटिल कार्यों की एक महत्वपूर्ण विशेषता: जब क्रियाओं का क्रम बदलता है, तो कार्य बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल कार्य एक ऐसा कार्य है जिसका तर्क एक और कार्य है: .

पहले उदाहरण के लिए, .

दूसरा उदाहरण: (वही)। .

हमारे द्वारा की जाने वाली अंतिम क्रिया कहलाएगी "बाहरी" समारोह, और पहले की गई क्रिया - क्रमशः "आंतरिक" समारोह(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए ही करता हूँ)।

अपने लिए यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों का पृथक्करण बदलते चर के समान है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन में

1. हम पहले क्या कार्रवाई करेंगे? पहले हम साइन की गणना करते हैं, और उसके बाद ही हम इसे क्यूब तक बढ़ाते हैं। तो यह एक आंतरिक कार्य है, बाहरी नहीं।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।

हम चर बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपनी चॉकलेट निकालेंगे - व्युत्पन्न की तलाश करें। प्रक्रिया हमेशा उलटी होती है: पहले हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के लिए, ऐसा दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, चलिए अंत में आधिकारिक नियम तैयार करते हैं:

एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिथम:

ऐसा लगता है कि सब कुछ सरल है, है ना?

आइए उदाहरणों के साथ जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक:;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(अभी तक कम करने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकाला जाता है, याद है?)

3) आंतरिक:;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यहां एक तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम अभी भी इससे जड़ निकालते हैं, अर्थात हम तीसरी क्रिया करते हैं (एक आवरण में चॉकलेट डालते हैं) और एक अटैची में एक रिबन के साथ)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: वैसे भी, हम इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

यही है, पहले हम जड़, फिर कोज्या, और उसके बाद ही कोष्ठक में अभिव्यक्ति को अलग करते हैं। और फिर हम यह सब गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, क्रियाओं को क्रमांकित करना सुविधाजनक होता है। यही है, आइए कल्पना करें कि हम क्या जानते हैं। इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए हम किस क्रम में कार्रवाई करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

बाद में कार्रवाई की जाती है, अधिक "बाहरी" संबंधित कार्य होगा। क्रियाओं का क्रम - पहले की तरह:

यहां घोंसला बनाना आम तौर पर 4-स्तर का होता है। आइए कार्रवाई का पाठ्यक्रम निर्धारित करें।

1. कट्टरपंथी अभिव्यक्ति। .

2. जड़। .

3. साइनस। .

4. वर्ग। .

5. इसे एक साथ रखना:

व्युत्पन्न। संक्षेप में मुख्य के बारे में

समारोह व्युत्पन्न- तर्क की वृद्धि के साथ तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात:

मूल डेरिवेटिव:

भेदभाव नियम:

व्युत्पन्न के चिह्न से स्थिरांक निकाला जाता है:

राशि का व्युत्पन्न:

व्युत्पन्न उत्पाद:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न:

एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिथम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसका व्युत्पन्न पाते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसका व्युत्पन्न पाते हैं।
3. हम पहले और दूसरे अंक के परिणामों को गुणा करते हैं।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मुश्किल विषयों में से एक है स्कूल के पाठ्यक्रम. प्रत्येक स्नातक इस प्रश्न का उत्तर नहीं देगा कि व्युत्पन्न क्या है।

यह आलेख केवल और स्पष्ट रूप से समझाता है कि व्युत्पन्न क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है।. अब हम प्रस्तुति की गणितीय कठोरता के लिए प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात अर्थ को समझना है।

आइए परिभाषा याद करें:

व्युत्पन्न फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।

आंकड़ा तीन कार्यों के रेखांकन दिखाता है। आपको क्या लगता है कि कौन सबसे तेजी से बढ़ता है?

उत्तर स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की उच्चतम दर है, जो कि सबसे बड़ा डेरिवेटिव है।

यहाँ एक और उदाहरण है।

कोस्त्या, ग्रिशा और मैटवे को एक साथ नौकरी मिली। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदली:

आप चार्ट पर सब कुछ तुरंत देख सकते हैं, है ना? कोस्त्या की आय छह महीने में दोगुनी से अधिक हो गई है। और ग्रीशा की आमदनी भी बढ़ी, लेकिन बस थोड़ी-सी। और मैथ्यू की आय शून्य हो गई। प्रारंभिक स्थितियां समान हैं, लेकिन फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर, यानी। यौगिक, - विभिन्न। मैटवे के लिए, उनकी आय का व्युत्पन्न आम तौर पर नकारात्मक होता है।

सहज रूप से, हम किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का अनुमान आसानी से लगा सकते हैं। लेकिन हम इसे कैसे करते हैं?

हम वास्तव में देख रहे हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कितनी तेजी से ऊपर (या नीचे) जाता है। दूसरे शब्दों में, x के साथ y कितनी तेजी से बदलता है। जाहिर है, अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही कार्य हो सकता है अलग अर्थव्युत्पन्न - अर्थात यह तेजी से या धीमी गति से बदल सकता है।

एक समारोह के व्युत्पन्न द्वारा निरूपित किया जाता है।

आइए दिखाते हैं कि ग्राफ का उपयोग करके कैसे खोजें।

किसी फंक्शन का ग्राफ खींचा जाता है। इस पर भुज से एक बिंदु बनाइए। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा बनाएं। हम मूल्यांकन करना चाहते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कितनी तेज़ी से ऊपर जाता है। इसके लिए एक आसान मूल्य है स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा.

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

कृपया ध्यान दें - स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के रूप में, हम स्पर्शरेखा और अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच के कोण को लेते हैं।

कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा क्या है। यह एक सीधी रेखा है जिसका इस खंड में ग्राफ़ के साथ एकमात्र सामान्य बिंदु है, इसके अलावा, जैसा कि हमारे आंकड़े में दिखाया गया है। यह एक वृत्त की स्पर्शरेखा जैसा दिखता है।

हमे पता करने दें । हमें याद है कि एक तीव्र कोण की स्पर्शरेखा में सही त्रिकोणआसन्न पैर के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर। त्रिकोण से:

हमने फ़ंक्शन के सूत्र को जाने बिना भी ग्राफ का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया। इस तरह के टास्क अक्सर गणित की परीक्षा में नंबर के तहत मिलते हैं।

एक और महत्वपूर्ण सम्बन्ध है। याद कीजिए कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है

इस समीकरण में मात्रा कहलाती है एक सीधी रेखा का ढलान. यह अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

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हमें वह मिल गया

आइए इस सूत्र को याद करें। यह व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करता है।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।

दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर है।

हम पहले ही कह चुके हैं कि एक ही फलन के भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर भिन्न-भिन्न अवकलज हो सकते हैं। आइए देखें कि डेरिवेटिव फ़ंक्शन के व्यवहार से कैसे संबंधित है।

आइए कुछ फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। इस कार्य को कुछ क्षेत्रों में बढ़ने दें, दूसरों में कमी करें, और इसके साथ अलग गति. और इस फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम अंक होने दें।

एक बिंदु पर, कार्य बढ़ रहा है। ग्राफ़ की स्पर्शरेखा, बिंदु पर खींची गई, एक तीव्र कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ। तो व्युत्पन्न बिंदु पर सकारात्मक है।

इस बिंदु पर, हमारा कार्य कम हो रहा है। इस बिंदु पर स्पर्शरेखा एक अधिक कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ। चूँकि एक अधिक कोण की स्पर्शरेखा ऋणात्मक है, बिंदु पर व्युत्पन्न ऋणात्मक है।

यहाँ क्या होता है:

यदि कोई कार्य बढ़ रहा है, तो इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।

यदि यह घटता है, तो इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।

और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) पर स्पर्शरेखा क्षैतिज है। इसलिए, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा शून्य, और व्युत्पन्न भी शून्य है।

बिंदु अधिकतम बिंदु है। इस बिंदु पर, फ़ंक्शन की वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है। नतीजतन, व्युत्पन्न का संकेत "प्लस" से "माइनस" बिंदु पर बदल जाता है।

बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य के बराबर है, लेकिन इसका चिन्ह "ऋण" से "प्लस" में बदल जाता है।

निष्कर्ष: व्युत्पन्न की मदद से, आप वह सब कुछ पता लगा सकते हैं जो हमें फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में रूचि देता है।

यदि व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो कार्य बढ़ रहा है।

यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो कार्य घट रहा है।

अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और साइन को प्लस से माइनस में बदलता है।

न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न भी शून्य है और साइन को माइनस से प्लस में बदलता है।

हम इन निष्कर्षों को तालिका के रूप में लिखते हैं:

आइए दो छोटे स्पष्टीकरण दें। समस्या को हल करते समय आपको उनमें से एक की आवश्यकता होगी। दूसरा - पहले वर्ष में, कार्यों और डेरिवेटिव्स के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।

एक मामला तब संभव होता है जब किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम होता है। यह तथाकथित :

एक बिंदु पर, ग्राफ की स्पर्शरेखा क्षैतिज है और व्युत्पन्न शून्य है। हालाँकि, बिंदु से पहले कार्य में वृद्धि हुई - और बिंदु के बाद यह बढ़ना जारी है। व्युत्पन्न का चिह्न नहीं बदलता है - यह सकारात्मक बना रहता है जैसा कि यह था।

ऐसा भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है। ग्राफ पर, यह एक तेज ब्रेक से मेल खाता है, जब किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव होता है।

लेकिन व्युत्पन्न को कैसे खोजा जाए यदि फ़ंक्शन एक ग्राफ द्वारा नहीं, बल्कि एक सूत्र द्वारा दिया गया हो? इस मामले में यह लागू होता है

प्रथम अवकलज यदि किसी फलन का अवकलज किसी अंतराल में धनात्मक (ऋणात्मक) है, तो इस अंतराल में फलन नीरस रूप से बढ़ रहा है (नीरस रूप से घट रहा है)। यदि किसी अंतराल में व्युत्पन्न फलन धनात्मक (ऋणात्मक) है, तो इस अंतराल में फलन नीरस रूप से बढ़ रहा है (नीरस रूप से घट रहा है)। आगे

परिभाषा एक वक्र को एक बिंदु पर उत्तल कहा जाता है यदि इस बिंदु के कुछ पड़ोस में यह एक बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा के नीचे स्थित होता है एक वक्र को एक बिंदु पर उत्तल कहा जाता है यदि इस बिंदु के कुछ पड़ोस में यह एक बिंदु बिंदु पर अपनी स्पर्श रेखा के नीचे स्थित होता है , यह एक बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित है एक वक्र को एक बिंदु पर अवतल कहा जाता है, यदि इस बिंदु के किसी पड़ोस में, यह एक बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित होता है।

अवतलता और उत्तलता का चिह्न यदि किसी दिए गए अंतराल में किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक है, तो वक्र इस अंतराल में अवतल है, और यदि यह ऋणात्मक है, तो इस अंतराल में यह उत्तल है। यदि किसी दिए गए अंतराल में किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो वक्र इस अंतराल में अवतल है, और यदि यह ऋणात्मक है, तो यह इस अंतराल में उत्तल है। परिभाषा

फ़ंक्शन का अध्ययन करने और उसके ग्राफ़ के निर्माण की योजना बनाएं 1. फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें और ब्रेक पॉइंट निर्धारित करें, यदि कोई हो 1. फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें और ब्रेक पॉइंट निर्धारित करें, यदि कोई हो 2. पता लगाएं कि फ़ंक्शन सम है या विषम; इसकी आवधिकता की जाँच करें 2. पता करें कि फलन सम है या विषम; इसकी आवधिकता की जाँच करें 3. समन्वय अक्षों के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्धारण करें 3. समन्वय अक्षों के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्धारण करें 4. पहले प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं 4. पहले के महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं तरह 5। फ़ंक्शन के एकरसता और एक्स्ट्रेमा के अंतराल का निर्धारण करें। एकरसता के अंतराल और फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा का निर्धारण करें। अध्ययन के परिणामों का उपयोग करते हुए, एक चिकनी वक्र के प्राप्त बिंदुओं को कनेक्ट करें 7. अध्ययन के परिणामों का उपयोग करते हुए, एक चिकनी वक्र के प्राप्त बिंदुओं को कनेक्ट करें