एक्स की स्पर्शरेखा क्या है। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा: यह क्या है? साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो अध्ययन करती है त्रिकोणमितीय फलनऔर ज्यामिति में उनका उपयोग। त्रिकोणमिति का विकास उस समय शुरू हुआ प्राचीन ग्रीस. मध्य युग के दौरान, मध्य पूर्व और भारत के वैज्ञानिकों ने इस विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

यह लेख त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाओं और परिभाषाओं के लिए समर्पित है। यह मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं पर चर्चा करता है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट। ज्यामिति के संदर्भ में उनका अर्थ समझाया और सचित्र किया गया है।

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प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाएँ, जिसका तर्क एक कोण है, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया गया था।

त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाएँ

एक कोण की ज्या (sin α) इस कोण के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।

कोण का कोज्या (cos α) कर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है।

कोण की स्पर्शरेखा (t g α) आसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।

कोण की कोटिस्पर्श रेखा (c t g α) सन्निकट पाद और विपरीत पाद का अनुपात है।

ये परिभाषाएँ एक समकोण त्रिभुज के तीव्र कोण के लिए दी गई हैं!

आइए एक उदाहरण देते हैं।

पर त्रिकोण एबीसीसमकोण C के साथ, कोण A की ज्या भुजा BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट की परिभाषाएं त्रिभुज के किनारों की ज्ञात लंबाई से इन कार्यों के मूल्यों की गणना करना संभव बनाती हैं।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन मानों की सीमा: -1 से 1 तक। दूसरे शब्दों में, साइन और कोसाइन -1 से 1 तक मान लेते हैं। स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट मानों की सीमा पूरी संख्या रेखा है, यानी ये कार्य कोई भी मूल्य ले सकते हैं।

ऊपर दी गई परिभाषाएँ तीव्र कोणों को संदर्भित करती हैं। त्रिकोणमिति में, रोटेशन के कोण की अवधारणा को पेश किया जाता है, जिसका मूल्य, एक तीव्र कोण के विपरीत, 0 से 90 डिग्री तक फ़्रेम द्वारा सीमित नहीं है। डिग्री या रेडियन में रोटेशन के कोण को किसी भी वास्तविक संख्या से व्यक्त किया जाता है - ∞ से + ∞।

इस संदर्भ में, कोई भी मनमाना परिमाण के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को परिभाषित कर सकता है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति पर केंद्रित एक यूनिट सर्कल की कल्पना करें।

निर्देशांक (1 , 0) के साथ प्रारंभिक बिंदु A कुछ कोण α से यूनिट सर्कल के केंद्र के चारों ओर घूमता है और बिंदु A 1 पर जाता है। परिभाषा बिंदु A 1 (x, y) के निर्देशांक के माध्यम से दी गई है।

रोटेशन कोण का साइन (पाप)।

रोटेशन कोण α की साइन बिंदु A 1 (x, y) का समन्वय है। sinα = वाई

रोटेशन के कोण का कोसाइन (कोस)।

रोटेशन के कोण α का कोसाइन बिंदु A 1 (x, y) का भुज है। कॉस α = एक्स

रोटेशन कोण की स्पर्शरेखा (टीजी)।

रोटेशन के कोण α का स्पर्शरेखा बिंदु A 1 (x, y) के समन्वय का अनुपात इसके भुज तक है। टी जी α = वाई एक्स

घूर्णन कोण का स्पर्शरेखा (ctg)।

रोटेशन के कोण α का कोटिजेंट बिंदु A 1 (x, y) के भुज का अनुपात है। सी टी जी α = एक्स वाई

साइन और कोसाइन को रोटेशन के किसी भी कोण के लिए परिभाषित किया गया है। यह तार्किक है, क्योंकि रोटेशन के बाद बिंदु का भुज और समन्वय किसी भी कोण पर निर्धारित किया जा सकता है। टेंगेंट और कॉटैंगेंट के साथ स्थिति अलग है। स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं होती है जब घुमाव के बाद का बिंदु शून्य भुज (0 , 1) और (0 , - 1) वाले बिंदु पर जाता है। ऐसे मामलों में, स्पर्शरेखा t g α = y x के लिए अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कॉटैंजेंट के साथ स्थिति समान है। अंतर यह है कि उन मामलों में कोटिस्पर्श परिभाषित नहीं किया जाता है जहां बिंदु का समन्वय गायब हो जाता है।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है।

α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए स्पर्शरेखा परिभाषित है।

α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर कोटिस्पर्श रेखा सभी कोणों के लिए परिभाषित है।

निर्णय लेते समय व्यावहारिक उदाहरणमत कहो "रोटेशन के कोण α की साइन"। शब्द "घूर्णन का कोण" बस छोड़े गए हैं, जिसका अर्थ है कि संदर्भ से यह पहले से ही स्पष्ट है कि दांव पर क्या है।

नंबर

किसी संख्या की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा के बारे में क्या है, न कि रोटेशन के कोण के बारे में?

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, एक संख्या की कोटिस्पर्श

किसी संख्या की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श टीएक संख्या कहलाती है, जो क्रमशः ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बराबर होती है टीकांति।

उदाहरण के लिए, 10 π की ज्या 10 π रेड के घूर्णन कोण की ज्या के बराबर है।

किसी संख्या की ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। आइए इसे और अधिक विस्तार से देखें।

कोई वास्तविक संख्या टीयूनिट सर्कल पर एक बिंदु आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र के साथ पत्राचार में रखा गया है। इस बिंदु के निर्देशांक के संदर्भ में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट परिभाषित किए गए हैं।

वृत्त पर प्रारंभिक बिंदु बिंदु A है जिसके निर्देशांक (1 , 0) हैं।

सकारात्मक संख्या टी

ऋणात्मक संख्या टीउस बिंदु से मेल खाती है जिस पर प्रारंभिक बिंदु घूमेगा यदि वह वृत्त के चारों ओर वामावर्त घूमता है और पथ t को पार करता है।

अब जबकि वृत्त पर संख्या और बिंदु के बीच संबंध स्थापित हो गया है, हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा पर आगे बढ़ते हैं।

संख्या टी का साइन (पाप)।

एक संख्या की ज्या टी- संख्या के अनुरूप यूनिट सर्कल के बिंदु का समन्वय टी। पाप टी = वाई

टी का कोसाइन (cos)।

एक संख्या का कोसाइन टी- संख्या के अनुरूप यूनिट सर्कल के बिंदु का भुज टी। कॉस टी = एक्स

टी के स्पर्शरेखा (टीजी)।

किसी संख्या की स्पर्शरेखा टी- संख्या के अनुरूप यूनिट सर्कल के बिंदु के भुज के लिए समन्वय का अनुपात टी। टी जी टी = वाई एक्स = पाप टी कॉस टी

बाद की परिभाषाएँ संगत हैं और इस खंड की शुरुआत में दी गई परिभाषा का खंडन नहीं करती हैं। एक संख्या के अनुरूप एक वृत्त पर इंगित करें टी, उस बिंदु से मेल खाता है जिस पर प्रारंभिक बिंदु कोण से मुड़ने के बाद गुजरता है टीकांति।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

कोण α का प्रत्येक मान इस कोण के साइन और कोसाइन के एक निश्चित मान से मेल खाता है। जैसे α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) के अलावा सभी कोण α स्पर्शरेखा के एक निश्चित मान से मेल खाते हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कॉटैंजेंट को सभी α के लिए परिभाषित किया गया है, α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z) को छोड़कर।

हम कह सकते हैं कि sin α , cos α , t g α , c t g α कोण α के कार्य हैं, या कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, एक संख्यात्मक तर्क के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिंजेंट के बारे में बात कर सकते हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या टीकिसी संख्या के साइन या कोसाइन के विशिष्ट मान से मेल खाती है टी. π 2 + π · k , k ∈ Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ, स्पर्शरेखा के मान के अनुरूप हैं। π · k , k ∈ Z को छोड़कर सभी संख्याओं के लिए कोटिस्पर्श समान रूप से परिभाषित किया गया है।

त्रिकोणमिति के मूल कार्य

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट मूल त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क) के किस तर्क से निपट रहे हैं।

चलो परिभाषाओं और कोण अल्फा की शुरुआत में डेटा पर लौटते हैं, जो कि 0 से 90 डिग्री की सीमा में है। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट की त्रिकोणमितीय परिभाषाएं समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात का उपयोग करके दी गई ज्यामितीय परिभाषाओं के साथ पूर्ण समझौते में हैं। आइए दिखाते हैं।

एक आयताकार पर केन्द्रित एक इकाई वृत्त लें कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक। आइए शुरुआती बिंदु A (1, 0) को 90 डिग्री तक के कोण से घुमाएं और परिणामी बिंदु A 1 (x, y) से x-अक्ष पर लंबवत बनाएं। प्राप्त में सही त्रिकोणकोण ए 1 ओ एच कोण के बराबरमोड़ α, पैर O H की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के भुज के बराबर है। कोने के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के समन्वय के बराबर है, और कर्ण की लंबाई एक के बराबर है, क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है।

ज्यामिति की परिभाषा के अनुसार, कोण α की साइन विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है।

पाप α \u003d ए 1 एच ओ ए 1 \u003d वाई 1 \u003d वाई

इसका मतलब यह है कि पहलू अनुपात के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की साइन की परिभाषा रोटेशन के कोण α की परिभाषा के बराबर है, जिसमें अल्फा 0 से 90 डिग्री की सीमा में है।

इसी तरह, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के लिए परिभाषाओं का पत्राचार दिखाया जा सकता है।

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स्पर्शरेखा (tg x) और cotangent (ctg x) के लिए संदर्भ डेटा। ज्यामितीय परिभाषा, गुण, रेखांकन, सूत्र। टेंगेंट और कोटैंगेंट, डेरिवेटिव, इंटीग्रल, श्रृंखला विस्तार की तालिका। जटिल चर के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ कनेक्शन।

ज्यामितीय परिभाषा

|बीडी| - बिंदु A पर केंद्रित एक वृत्त के चाप की लंबाई।
α रेडियंस में व्यक्त कोण है।

स्पर्शरेखा ( tgα) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो समकोण त्रिभुज के कर्ण और पाद के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर है |BC| आसन्न पैर की लंबाई के लिए | एबी | .

स्पर्शरेखा ( ctgα) समकोण त्रिभुज के कर्ण और पाद के बीच के कोण α पर निर्भर एक त्रिकोणमितीय फलन है, जो आसन्न भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| विपरीत पैर की लंबाई तक |BC| .

स्पर्शरेखा

कहाँ पे एन- पूरे।

पश्चिमी साहित्य में, स्पर्शरेखा को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
;
;
.

स्पर्शरेखा समारोह का ग्राफ, y = tg x

स्पर्शरेखा

कहाँ पे एन- पूरे।

पश्चिमी साहित्य में, कॉटैंजेंट को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
.
निम्नलिखित संकेतन भी अपनाया गया है:
;
;
.

कॉटैंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = ctg x

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के गुण

दौरा

कार्य वाई = टीजी एक्सऔर वाई = सीटीजी एक्सअवधि π के साथ आवधिक हैं।

समानता

कार्य स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श विषम हैं।

परिभाषा और मूल्यों के डोमेन, आरोही, अवरोही

कार्य स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श उनके परिभाषा के डोमेन पर निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( एन- पूर्णांक)।

सूत्रों

साइन और कोसाइन के संदर्भ में भाव

; ;
; ;
;

योग और अंतर की स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के सूत्र

उदाहरण के लिए, शेष सूत्र प्राप्त करना आसान है

स्पर्शरेखा का उत्पाद

स्पर्शरेखाओं के योग और अंतर का सूत्र

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्पर्शरेखा और कोटिकोण के मूल्यों को दर्शाती है।

जटिल संख्याओं के संदर्भ में भाव

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के संदर्भ में भाव

;
;

संजात

; .

.
फ़ंक्शन के वेरिएबल x के संबंध में nवें ऑर्डर का डेरिवेटिव:
.
स्पर्शरेखा के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति > > > ; स्पर्शरेखा के लिए >>>

अभिन्न

श्रृंखला में विस्तार

एक्स की शक्तियों में स्पर्शरेखा का विस्तार प्राप्त करने के लिए, आपको कार्यों के लिए शक्ति श्रृंखला में विस्तार के कई पद लेने होंगे पाप एक्सतथा कॉस एक्सऔर इन बहुपदों को एक दूसरे में विभाजित करें। इसका परिणाम निम्नलिखित सूत्र में होता है।

पर ।

पर ।
कहाँ पे बी एन- बरनौली नंबर। वे या तो पुनरावृत्ति संबंध से निर्धारित होते हैं:
;
;
कहाँ पे ।
या लाप्लास सूत्र के अनुसार:

उलटा कार्य

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के व्युत्क्रम फलन क्रमशः चापस्पर्शी और चापस्पर्शी होते हैं।

आर्कटैंजेंट, आर्कटग

, कहाँ पे एन- पूरे।

आर्क स्पर्शरेखा, आर्कक्टग

, कहाँ पे एन- पूरे।

संदर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंद्येव, हैंडबुक ऑफ मैथेमेटिक्स फॉर इंजीनियर्स एंड स्टूडेंट्स ऑफ हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस, लैन, 2009।
जी. कॉर्न, शोधकर्ताओं और इंजीनियरों के लिए गणित की पुस्तिका, 2012।

इस लेख में, हम दिखाएंगे कि कैसे त्रिकोणमिति में कोण और संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ. यहां हम अंकन के बारे में बात करेंगे, अभिलेखों के उदाहरण देंगे, ग्राफिक चित्रण देंगे। अंत में, हम त्रिकोणमिति और ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं के बीच एक समानांतर रेखा खींचते हैं।

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ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा

आइए देखें कि स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की अवधारणा कैसे बनती है। ज्यामिति के पाठों में समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा दी जाती है। और बाद में त्रिकोणमिति का अध्ययन किया जाता है, जो रोटेशन के कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को संदर्भित करता है। हम ये सभी परिभाषाएँ देते हैं, उदाहरण देते हैं और आवश्यक टिप्पणियाँ देते हैं।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण

ज्यामिति के पाठ्यक्रम से, एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ ज्ञात हैं। उन्हें एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में दिया जाता है। हम उनके सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में तीव्र कोण की ज्याकर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है।

परिभाषा।

एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण का कोसाइनकर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है।

परिभाषा।

एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की स्पर्शरेखाआसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यूनकोण की कोटिस्पर्श रेखाआसन्न पैर का विपरीत पैर का अनुपात है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटैंगेंट का अंकन भी वहां पेश किया जाता है - क्रमशः पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी।

उदाहरण के लिए, यदि ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है, तो तीव्र कोण A की ज्या सम्मुख भुजा BC के कर्ण AB के अनुपात के बराबर है, अर्थात, sin∠A=BC/AB।

ये परिभाषाएँ एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई से, साथ ही साथ एक तीव्र कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटि के मूल्यों की गणना करना संभव बनाती हैं। ज्ञात मूल्यअन्य पक्षों की लंबाई खोजने के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श और एक तरफ की लंबाई। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में पाद AC 3 है और कर्ण AB 7 है, तो हम परिभाषा के द्वारा न्यून कोण A के कोसाइन की गणना कर सकते हैं: cos∠A=AC/AB=3/7।

घूर्णन का कोण

त्रिकोणमिति में, वे कोण को अधिक व्यापक रूप से देखना शुरू करते हैं - वे घूर्णन कोण की अवधारणा का परिचय देते हैं। रोटेशन का कोण, एक तीव्र कोण के विपरीत, फ्रेम द्वारा 0 से 90 डिग्री तक सीमित नहीं है, रोटेशन के कोण को डिग्री (और रेडियन में) में किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा -∞ से +∞ तक व्यक्त किया जा सकता है।

इस प्रकाश में, ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ अब एक तीव्र कोण नहीं हैं, बल्कि मनमाना परिमाण का एक कोण है - रोटेशन का कोण। वे बिंदु A1 के x और y निर्देशांक के माध्यम से दिए गए हैं, जिसमें तथाकथित प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) बिंदु O के चारों ओर एक कोण α के माध्यम से घूमने के बाद गुजरता है - एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत और यूनिट सर्कल का केंद्र।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की ज्याα बिंदु A 1 की कोटि है, अर्थात, sinα=y ।

परिभाषा।

रोटेशन के कोण की कोसाइनα को बिंदु A 1 का भुज कहा जाता है, अर्थात, cosα=x ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखाα बिंदु A 1 की कोटि का इसके भुज से अनुपात है, अर्थात tgα=y/x ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की कोटिस्पर्शज्याα बिंदु A 1 के भुज का इसके कोटि से अनुपात है, अर्थात, ctgα=x/y ।

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है, क्योंकि हम हमेशा एक बिंदु के भुज और समन्वय को निर्धारित कर सकते हैं, जो प्रारंभिक बिंदु को कोण α के माध्यम से घुमाकर प्राप्त किया जाता है। और स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श किसी भी कोण के लिए परिभाषित नहीं हैं। स्पर्शरेखा ऐसे कोण α के लिए परिभाषित नहीं है जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य भुज (0, 1) या (0, −1) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह कोण 90°+180° k , k∈Z पर होता है (π /2+π k रेड)। दरअसल, घूर्णन के ऐसे कोणों पर, अभिव्यक्ति tgα=y/x का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कोटिस्पर्श रेखा के लिए, यह ऐसे कोण α के लिए परिभाषित नहीं है जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य कोटि (1, 0) या (−1, 0) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह कोण 180° k के मामले में है, k ∈Z (π k रेड)।

तो, ज्या और कोसाइन किसी भी घूर्णन कोण के लिए परिभाषित हैं, स्पर्शरेखा 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित है, और कोटिस्पर्श 180 को छोड़कर सभी कोणों के लिए है। ° ·k , k∈Z (π·k रेड)।

हमारे लिए पहले से ही ज्ञात संकेतन पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी की परिभाषाओं में दिखाई देते हैं, उनका उपयोग रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिंजेंट को निरूपित करने के लिए भी किया जाता है (कभी-कभी आप नोटेशन टैन और कॉटस्पर्शी के अनुरूप पा सकते हैं और स्पर्शरेखा)। तो 30 डिग्री के घूर्णन कोण की ज्या को sin30° के रूप में लिखा जा सकता है, अभिलेख tg(−24°17′) और ctgα घूर्णन कोण −24 डिग्री 17 मिनट की स्पर्शरेखा और घूर्णन कोण α की कोटिस्पर्शी के अनुरूप हैं . याद रखें कि किसी कोण के रेडियन माप को लिखते समय, "रेड" अंकन को अक्सर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन पाई रेड्स के घूर्णन कोण की कोसाइन को आमतौर पर cos3 π दर्शाया जाता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान देने योग्य है कि रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिजेंट के बारे में बात करते समय, वाक्यांश "रोटेशन का कोण" या "रोटेशन" शब्द अक्सर छोड़ा जाता है। यही है, वाक्यांश "अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश के बजाय, "अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश का आमतौर पर उपयोग किया जाता है, या इससे भी कम - "अल्फा की साइन"। वही कोज्या, और स्पर्शरेखा, और कोटिस्पर्श पर लागू होता है।

आइए यह भी कहते हैं कि समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ 0 से 90 तक के रोटेशन कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के लिए दी गई परिभाषाओं के अनुरूप हैं। डिग्री। हम इसकी पुष्टि करेंगे।

नंबर

परिभाषा।

किसी संख्या की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्शटी क्रमशः टी रेडियन में रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बराबर संख्या है।

उदाहरण के लिए, 8 π का ​​कोज्या, परिभाषा के अनुसार, 8 π रेड के कोण के कोज्या के बराबर संख्या है। और 8 π रेड में कोण का कोज्या एक के बराबर है, इसलिए, संख्या 8 π का ​​कोज्या 1 के बराबर है।

किसी संख्या की ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। यह इस तथ्य में समाहित है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या t शुरुआत में केंद्र के साथ यूनिट सर्कल के एक बिंदु से जुड़ी होती है आयताकार प्रणालीनिर्देशांक, और ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को इस बिंदु के निर्देशांक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

आइए हम दिखाते हैं कि वास्तविक संख्याओं और वृत्त के बिंदुओं के बीच पत्राचार कैसे स्थापित किया जाता है:

• संख्या 0 को प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) असाइन किया गया है;
• यूनिट सर्कल पर एक बिंदु के साथ एक सकारात्मक संख्या टी जुड़ा हुआ है, जिसे हम प्राप्त करेंगे यदि हम सर्कल के चारों ओर एक वामावर्त दिशा में शुरुआती बिंदु से घूमते हैं और लंबाई टी के पथ से गुजरते हैं;
• यूनिट सर्कल पर एक बिंदु के साथ एक ऋणात्मक संख्या t जुड़ा हुआ है, जिसे हम प्राप्त करेंगे यदि हम सर्कल के चारों ओर शुरुआती बिंदु से दक्षिणावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई के पथ से गुजरते हैं |t| .

अब आइए संख्या t की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं पर चलते हैं। आइए मान लें कि संख्या टी सर्कल ए 1 (एक्स, वाई) के बिंदु से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, संख्या &pi/2; बिंदु ए 1 (0, 1) से मेल खाती है)।

परिभाषा।

एक संख्या की ज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त बिंदु की कोटि है, अर्थात, sint=y।

परिभाषा।

किसी संख्या का कोसाइन t को संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु का भुज कहा जाता है, अर्थात लागत = x।

परिभाषा।

किसी संख्या की स्पर्शरेखा t संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु के भुज के लिए कोटि का अनुपात है, अर्थात tgt=y/x। एक अन्य समतुल्य सूत्रीकरण में, संख्या t की स्पर्शरेखा इस संख्या की ज्या का कोज्या से अनुपात है, अर्थात, tgt=sint/cost ।

परिभाषा।

किसी संख्या की कोटिस्पर्श रेखा t संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु की कोटि के भुज का अनुपात है, अर्थात ctgt=x/y। एक अन्य सूत्रीकरण इस प्रकार है: संख्या t की स्पर्शरेखा संख्या t की कोज्या और संख्या t की ज्या का अनुपात है: ctgt=लागत/sint ।

यहां हम ध्यान दें कि अभी दी गई परिभाषाएं इस उपखंड की शुरुआत में दी गई परिभाषा से सहमत हैं। वास्तव में, संख्या t के संगत इकाई वृत्त का बिंदु t रेडियन के कोण से आरंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त बिंदु से मेल खाता है।

यह बात भी स्पष्ट करने लायक है। मान लें कि हमारे पास sin3 प्रविष्टि है। कैसे समझें कि संख्या 3 की साइन या 3 रेडियंस के घूर्णन कोण की साइन प्रश्न में है? यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है, अन्यथा इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

पिछले पैराग्राफ में दी गई परिभाषाओं के अनुसार, प्रत्येक रोटेशन कोण α एक अच्छी तरह से परिभाषित मान sin α के साथ-साथ मूल्य cos α से मेल खाता है। इसके अलावा, 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) को छोड़कर सभी घूर्णन कोण tgα के मानों के अनुरूप होते हैं, और 180° k , k∈Z (π k rad ) के अलावा अन्य ctgα के मान हैं। इसलिए sinα, cosα, tgα और ctgα कोण α के कार्य हैं। दूसरे शब्दों में, ये कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, हम एक संख्यात्मक तर्क के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के कार्यों के बारे में बात कर सकते हैं। दरअसल, प्रत्येक वास्तविक संख्या t sint के एक अच्छी तरह से परिभाषित मान के साथ-साथ लागत से मेल खाती है। इसके अलावा, π/2+π·k , k∈Z के अलावा सभी संख्याएँ tgt मानों के अनुरूप हैं, और संख्याएँ π·k , k∈Z ctgt मानों के अनुरूप हैं।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट कार्यों को कहा जाता है बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य.

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट है कि हम कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों से निपट रहे हैं। अन्यथा, हम स्वतंत्र चर को कोण (कोण तर्क) और संख्यात्मक तर्क दोनों के माप के रूप में मान सकते हैं।

हालाँकि, स्कूल मुख्य रूप से संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन करता है, अर्थात, ऐसे कार्य जिनके तर्क, साथ ही उनके संबंधित कार्य मान, संख्याएँ हैं। इसलिए, यदि हम कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं, तो त्रिकोणमितीय कार्यों को संख्यात्मक तर्कों के कार्यों के रूप में मानने की सलाह दी जाती है।

ज्यामिति और त्रिकोणमिति से परिभाषाओं का संबंध

यदि हम रोटेशन के कोण α को 0 से 90 डिग्री तक मानते हैं, तो साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और रोटेशन के कोण की कोटिजेंट की परिभाषा के त्रिकोणमिति के संदर्भ में डेटा पूरी तरह से साइन, कोसाइन की परिभाषाओं के अनुरूप है। , समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा, जो ज्यामिति पाठ्यक्रम में दी गई हैं। आइए इसे प्रमाणित करें।

आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी में एक यूनिट सर्कल बनाएं। शुरुआती बिंदु A(1, 0) पर ध्यान दें। आइए इसे 0 से 90 डिग्री तक के कोण α से घुमाएं, हमें बिंदु A 1 (x, y) मिलता है। आइए लंब A 1 H को बिंदु A 1 से ऑक्स अक्ष पर छोड़ दें।

यह देखना आसान है कि एक समकोण त्रिभुज में कोण A 1 OH, घूर्णन कोण α के बराबर है, इस कोण से सटे पैर OH की लंबाई बिंदु A 1 के भुज के बराबर है, अर्थात |OH |=x, कोण A 1 H के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 के समन्वय के बराबर है, अर्थात, |A 1 H|=y , और कर्ण OA 1 की लंबाई एक के बराबर है , क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है। फिर, ज्यामिति से परिभाषा के अनुसार, समकोण त्रिभुज A 1 OH में एक तीव्र कोण α की ज्या कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर है, अर्थात, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= वाई/1=वाई। और त्रिकोणमिति से परिभाषा के अनुसार, रोटेशन के कोण α की ज्या बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, अर्थात, sinα=y. इससे पता चलता है कि समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की ज्या की परिभाषा 0 से 90 डिग्री तक α के लिए घूर्णन कोण α की परिभाषा के बराबर है।

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि एक न्यून कोण α की कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ, रोटेशन α के कोण की कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं के अनुरूप हैं।

ग्रंथ सूची।

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साइन (), कोसाइन (), स्पर्शरेखा (), कोटैंजेंट () की अवधारणाएं कोण की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इनकी अच्छी समझ पाने के लिए, पहली नज़र में, जटिल अवधारणाएँ (जो कई स्कूली बच्चों में डरावनी स्थिति का कारण बनती हैं), और यह सुनिश्चित करने के लिए कि "शैतान उतना डरावना नहीं है जितना कि उसे चित्रित किया गया है", आइए शुरुआत से ही शुरू करें और कोण की अवधारणा को समझ सकेंगे।

कोण की अवधारणा: रेडियन, डिग्री

आइए तस्वीर देखें। वेक्टर एक निश्चित राशि से बिंदु के सापेक्ष "बदल गया"। तो प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष इस घूर्णन का माप होगा कोना.

कोण की अवधारणा के बारे में आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? ठीक है, कोण की इकाइयाँ, बिल्कुल!

कोण, ज्यामिति और त्रिकोणमिति दोनों में, डिग्री और रेडियन में मापा जा सकता है।

वृत्त के भाग के बराबर वृत्ताकार चाप पर आधारित वृत्त में (एक डिग्री) कोण वृत्त का केंद्रीय कोण है। इस प्रकार, पूरे वृत्त में वृत्ताकार चापों के "टुकड़े" होते हैं, या वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर होता है।

अर्थात्, ऊपर दिया गया चित्र एक कोण को दर्शाता है जो बराबर है, अर्थात यह कोण परिधि के आकार के एक वृत्ताकार चाप पर आधारित है।

रेडियन में एक कोण एक वृत्त में केंद्रीय कोण कहलाता है, जो एक वृत्ताकार चाप पर आधारित होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अच्छा, क्या तुम समझ गए? अगर नहीं, तो आइए देखते हैं तस्वीर।

तो, आंकड़ा एक रेडियन के बराबर कोण दिखाता है, अर्थात, यह कोण एक वृत्ताकार चाप पर आधारित है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है (लंबाई लंबाई के बराबर है या त्रिज्या के बराबर है चाप की लंबाई)। इस प्रकार, चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

रेडियंस में केंद्रीय कोण कहां है।

खैर, यह जानकर, क्या आप उत्तर दे सकते हैं कि एक वृत्त द्वारा वर्णित कोण में कितने रेडियन होते हैं? हां, इसके लिए आपको वृत्त की परिधि का सूत्र याद रखना होगा। वहाँ है वो:

अच्छा, अब इन दो सूत्रों को सहसंबंधित करते हैं और पाते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर है। अर्थात्, डिग्री और रेडियन में मान को सहसंबंधित करने पर हमें वह मिलता है। क्रमश, । जैसा कि आप देख सकते हैं, "डिग्री" के विपरीत, "रेडियन" शब्द को छोड़ दिया गया है, क्योंकि माप की इकाई आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होती है।

रेडियन कितने होते हैं? सही बात है!

समझ गया? फिर आगे फास्ट करें:

कोई कठिनाई? फिर देखो जवाब:

समकोण त्रिभुज: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोण की कोटिस्पर्श रेखा

तो, कोण की अवधारणा के साथ पता चला। लेकिन एक कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श क्या है? आइए इसका पता लगाते हैं। इसके लिए एक समकोण त्रिभुज हमारी सहायता करेगा।

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह भुजा है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं और (जो आस-पास हैं समकोण), इसके अलावा, यदि हम पैरों को कोण के सापेक्ष मानते हैं, तो पैर आसन्न पैर है, और पैर विपरीत है। तो, अब हम इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श क्या हैं?

एक कोण की ज्याकर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

एक कोण की कोसाइन- यह कर्ण के निकटवर्ती (करीब) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर के आसन्न (करीब) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

एक कोण की कोटिस्पर्शज्या- यह आसन्न (करीब) पैर के विपरीत (दूर) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किससे विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखातथा स्पर्शरेखाकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसतथा कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

कोसाइन → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न;

स्पर्शरेखा → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न।

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श इन भुजाओं की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। भरोसा मत करो? तो तस्वीर देखकर यकीन कर लीजिए:

उदाहरण के लिए, एक कोण की कोसाइन पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, त्रिभुज से: , लेकिन हम त्रिभुज से कोण के कोसाइन की गणना कर सकते हैं: . आप देखते हैं, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!

नीचे दी गई आकृति में दिखाए गए त्रिभुज के लिए, हम पाते हैं।

अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोने के लिए समान गणना करें।

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने त्रिज्या के बराबर एक वृत्त पर विचार किया। ऐसा घेरा कहलाता है एक. त्रिकोणमिति के अध्ययन में यह बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केन्द्रित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बनाया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित है, त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय की गई है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।

सर्कल का प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय और अक्ष के साथ समन्वय। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें विषय के साथ क्या करना है? ऐसा करने के लिए, माना समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।

एक त्रिभुज के बराबर क्या है? सही बात है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और इसलिए, . इस मान को हमारे कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:

और त्रिभुज से बराबर क्या है? ठीक है, बिल्कुल, ! त्रिज्या के मान को इस सूत्र में बदलें और प्राप्त करें:

तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि उस बिंदु के निर्देशांक क्या हैं जो वृत्त से संबंधित है? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? और अगर आपको इसका एहसास है और केवल संख्याएं हैं? यह किस समन्वय से मेल खाता है? खैर, बिल्कुल, समन्वय! यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, समन्वय करें! इस प्रकार, बिंदु।

और फिर क्या बराबर हैं और? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और इसे प्राप्त करें, a।

क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:

में क्या बदला है यह उदाहरण? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: एक कोण (एक कोण के सन्निकट के रूप में)। किसी कोण के साइन, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श का मान क्या होता है? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय कार्यों की संबंधित परिभाषाओं का पालन करते हैं:

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण के कोसाइन का मान - निर्देशांक; और इसी अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया गया है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक हमने इस सदिश को वामावर्त घुमाया है, लेकिन यदि हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएँ तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल ऋणात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाने पर - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि सर्कल के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की पूरी क्रांति या है। क्या त्रिज्या वेक्टर को घुमाना संभव है? खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।

दूसरे मामले में, यानी त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण भिन्न हैं या (जहां कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप हैं।

नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। वही छवि कोने से मेल खाती है, और इसी तरह। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र से लिखा जा सकता है या (कहां कोई पूर्णांक है)

अब, मूल त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करने का उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:

आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:

कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

यहाँ से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोने पर निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाती है, इसलिए:

अस्तित्व में नहीं है;

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले स्वयं प्रयास करें, फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

अस्तित्व में नहीं है

अस्तित्व में नहीं है

अस्तित्व में नहीं है

अस्तित्व में नहीं है

इस प्रकार, हम निम्न तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की जरूरत नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

लेकिन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान और, नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं, याद किया जाना चाहिए:

डरो मत, अब हम एक उदाहरण दिखाएंगे बल्कि संबंधित मूल्यों का सरल संस्मरण:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, कोण के तीनों मापों () के लिए साइन के मूल्यों को याद रखना महत्वपूर्ण है, साथ ही कोण के स्पर्शरेखा के मान को भी याद रखना चाहिए। इन मूल्यों को जानने के बाद, पूरी तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मूल्यों को तीरों के अनुसार स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात:

यह जानकर, आप मूल्यों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " मेल खाएगा और हर " " मेल खाएगा। चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार स्पर्शरेखा मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीरों के साथ आरेख को याद करते हैं, तो यह तालिका से संपूर्ण मान को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या एक वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है, वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानना?

खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! चलो बाहर ले आओ सामान्य सूत्रएक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए.

यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक चक्र है:

हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। बिंदु को डिग्री से घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का समन्वय खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई सर्कल के केंद्र के समन्वय से मेल खाती है, अर्थात यह इसके बराबर है। कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके एक खंड की लंबाई व्यक्त की जा सकती है:

फिर हमारे पास उस बिंदु के लिए निर्देशांक है।

उसी तर्क से, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस तरह,

तो में सामान्य दृष्टि सेबिंदु निर्देशांक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

सर्किल केंद्र निर्देशांक,

सर्कल त्रिज्या,

त्रिज्या सदिश के घूर्णन का कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यूनिट सर्कल के लिए हम विचार कर रहे हैं, ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

ठीक है, आइए इन सूत्रों को स्वाद के लिए आज़माएं, एक वृत्त पर बिंदु खोजने का अभ्यास करें?

1. किसी बिंदु को चालू करके प्राप्त इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

2. किसी बिंदु को घुमाने पर प्राप्त इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

3. किसी बिंदु को चालू करके प्राप्त इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

4. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।

5. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।

किसी वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक खोजने में समस्या हो रही है?

इन पांच उदाहरणों को हल करें (या समाधान को अच्छी तरह से समझें) और आप उन्हें खोजना सीखेंगे!

1.

यह देखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के पूर्ण मोड़ से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:

2. वृत्त एक बिंदु पर केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

यह देखा जा सकता है। हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के दो पूर्ण घुमावों से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:

साइन और कोसाइन सारणीबद्ध मान हैं। हम उनके मूल्यों को याद करते हैं और प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

3. वृत्त एक बिंदु पर केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

यह देखा जा सकता है। आइए चित्र में विचार किए गए उदाहरण को चित्रित करें:

त्रिज्या और के बराबर अक्ष के साथ कोण बनाती है। यह जानते हुए कि कोसाइन और साइन के तालिका मान समान हैं, और यह निर्धारित करने के बाद कि कोसाइन यहाँ लेता है नकारात्मक अर्थ, और ज्या धनात्मक है, हमारे पास:

विषय में त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्रों का अध्ययन करते समय इसी तरह के उदाहरणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण किया जाता है।

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

4.

त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)

साइन और कोसाइन के संबंधित संकेतों को निर्धारित करने के लिए, हम एक यूनिट सर्कल और कोण बनाते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल्य, जो कि सकारात्मक है, और मूल्य, जो नकारात्मक है। संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मूल्यों को जानने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

आइए प्राप्त मूल्यों को हमारे सूत्र में बदलें और निर्देशांक खोजें:

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

5. इस समस्या को हल करने के लिए, हम सामान्य रूप में सूत्रों का उपयोग करते हैं, जहाँ

सर्कल के केंद्र के निर्देशांक (हमारे उदाहरण में,

सर्कल त्रिज्या (शर्त के अनुसार)

त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)।

सभी मानों को सूत्र में बदलें और प्राप्त करें:

और - तालिका मान। हम उन्हें याद करते हैं और सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

इस प्रकार, वांछित बिंदु में निर्देशांक हैं।

सारांश और बुनियादी सूत्र

एक कोण की ज्या कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

एक कोण का कोज्या कर्ण के सन्निकट (करीब) पैर का अनुपात है।

एक कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) पैर के आसन्न (करीब) का अनुपात है।

एक कोण की कोटिस्पर्श रेखा सन्निकट (निकट) पाद और विपरीत (दूर) का अनुपात है।

आइए स्कूल के गणित के पाठ्यक्रम को याद करें और बात करें कि स्पर्शरेखा क्या है और कोण की स्पर्शरेखा कैसे ज्ञात करें। पहले, आइए परिभाषित करें कि स्पर्शरेखा किसे कहते हैं। एक समकोण त्रिभुज में, एक न्यूनकोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात है। आसन्न पैर वह है जो कोण के निर्माण में भाग लेता है, विपरीत वह है जो कोण के विपरीत स्थित होता है।

साथ ही, एक तीव्र कोण की स्पर्शरेखा इस कोण की ज्या का इसके कोसाइन से अनुपात है। समझने के लिए, हम याद करते हैं कि कोण की साइन और कोसाइन क्या है। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण का साइन कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है, कोसाइन कर्ण के निकटवर्ती पैर का अनुपात है।

एक कोटिस्पर्श भी होता है, यह स्पर्शरेखा के विपरीत होता है। cotangent विपरीत पैर के आसन्न पैर का अनुपात है और तदनुसार, कोण के कोसाइन का अनुपात इसके साइन से है।

साइन, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट एक कोण के त्रिकोणमितीय कार्य हैं, वे त्रिकोण के कोणों और भुजाओं के बीच संबंध दिखाते हैं, त्रिभुज की भुजाओं की गणना करने में मदद करते हैं।

एक तीव्र कोण की स्पर्शरेखा की गणना करें

त्रिभुज में स्पर्श रेखा कैसे ज्ञात करें? स्पर्शरेखा की तलाश में समय बर्बाद न करने के लिए, आप विशेष तालिकाएँ पा सकते हैं जहाँ कई कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों को इंगित किया गया है। ज्यामिति में स्कूल की समस्याओं में, कुछ कोण बहुत आम हैं, और शिक्षकों को उनकी ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मूल्यों को याद रखने के लिए कहा जाता है। हम आपको इन कोणों के लिए वांछित मूल्यों के साथ एक छोटी प्लेट प्रदान करते हैं।

यदि जिस कोण की स्पर्शरेखा ढूंढी जानी है, वह इस तालिका में प्रस्तुत नहीं है, तो आप उन दो सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं जिन्हें हमने मौखिक रूप में ऊपर प्रस्तुत किया है।

किसी कोण की स्पर्शरेखा की गणना करने का पहला तरीका है, विपरीत भुजा की लंबाई को आसन्न भुजा की लंबाई से विभाजित करना। मान लें कि विपरीत पैर 4 है, और आसन्न पैर 8 है। स्पर्शरेखा खोजने के लिए, आपको 4:8 की आवश्यकता है। कोण की स्पर्शरेखा ½ या 0.5 होगी।

स्पर्शरेखा की गणना करने का दूसरा तरीका यह है कि किसी दिए गए कोण के साइन के मान को उसके कोसाइन के मान से विभाजित किया जाए। उदाहरण के लिए, हमें 45 डिग्री का कोण दिया गया है। इसका पाप = दो का वर्गमूल दो से विभाजित; इसकी cos एक ही संख्या है। अब हम साइन को कोसाइन से विभाजित करते हैं और स्पर्शरेखा को एक के बराबर पाते हैं।

ऐसा होता है कि आपको इस विशेष सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होती है, लेकिन केवल एक ही तत्व ज्ञात होता है - या तो साइन या कोसाइन। इस मामले में, सूत्र को याद करना उपयोगी होगा

sin2 α + cos2 α = 1. यह मुख्य है त्रिकोणमितीय पहचान. किसी अज्ञात तत्व को ज्ञात के रूप में व्यक्त करने पर उसका अर्थ ज्ञात किया जा सकता है। और साइन और कोसाइन को जानने के बाद, स्पर्शरेखा को खोजना मुश्किल नहीं है।

और अगर ज्यामिति स्पष्ट रूप से आपकी कॉलिंग नहीं है, लेकिन बनाना है गृहकार्यअभी भी आवश्यकता है, तो आप किसी कोण की स्पर्शरेखा की गणना के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

के बारे में हमने आपको बताया सरल उदाहरणस्पर्शरेखा कैसे खोजें। हालाँकि, कार्यों की स्थितियाँ अधिक कठिन हैं और सभी आवश्यक डेटा का शीघ्रता से पता लगाना हमेशा संभव नहीं होता है। इस मामले में, पाइथागोरस प्रमेय और विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्य आपकी सहायता करेंगे।