पाइथागोरस समलम्बाकार प्रमेय सूत्र। पाइथागोरस प्रमेय: पृष्ठभूमि, साक्ष्य, व्यावहारिक अनुप्रयोग के उदाहरण

(बर्लिन संग्रहालय के पेपिरस 6619 के अनुसार)। कैंटर के अनुसार, हार्पडोनैप्स, या "स्ट्रिंग टेंशनर्स," ने 3, 4 और 5 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके समकोण बनाया।

उनके निर्माण की विधि को पुन: पेश करना बहुत आसान है। आइए 12 मीटर लंबी एक रस्सी लें और इसे एक रंगीन पट्टी के साथ एक छोर से 3 मीटर और दूसरे छोर से 4 मीटर की दूरी पर बांधें। 3 और 4 मीटर लंबी भुजाओं के बीच एक समकोण बनाया जाएगा। हार्पीडोनाप्ट्स को इस बात पर आपत्ति हो सकती है कि उनके निर्माण का तरीका बेमानी हो जाता है, उदाहरण के लिए, सभी बढ़ई द्वारा उपयोग किए जाने वाले लकड़ी के वर्ग का उपयोग किया जाता है। दरअसल, मिस्र के चित्र ज्ञात हैं जिनमें ऐसा उपकरण पाया जाता है - उदाहरण के लिए, एक बढ़ईगीरी कार्यशाला का चित्रण करने वाले चित्र।

बेबीलोनियों के बीच पाइथागोरस प्रमेय के बारे में कुछ अधिक जाना जाता है। एक पाठ में हम्मुराबी के समय का, यानी 2000 ईसा पूर्व का। इ। , कर्ण की अनुमानित गणना दी गई है सही त्रिकोण. इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मेसोपोटामिया में वे कम से कम कुछ मामलों में समकोण त्रिभुजों के साथ गणना करने में सक्षम थे। एक ओर, मिस्र और बेबीलोन के गणित के ज्ञान के वर्तमान स्तर के आधार पर, और दूसरी ओर, यूनानी स्रोतों के एक आलोचनात्मक अध्ययन के आधार पर, वैन डेर वेर्डन (एक डच गणितज्ञ) ने निष्कर्ष निकाला कि इस बात की उच्च संभावना थी कि कर्ण वर्ग प्रमेय भारत में 18वीं शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास पहले से ही जाना जाता था। इ।

लगभग 400 ई.पू. ई।, प्रोक्लस के अनुसार, प्लेटो ने पायथागॉरियन ट्रिपल खोजने, बीजगणित और ज्यामिति के संयोजन के लिए एक विधि दी। लगभग 300 ई.पू. इ। यूक्लिड के तत्वों में पाइथागोरस प्रमेय का सबसे पुराना स्वयंसिद्ध प्रमाण है।

शब्दों

ज्यामितीय सूत्रीकरण:

प्रमेय मूल रूप से निम्नानुसार तैयार किया गया था:

बीजीय सूत्रीकरण:

अर्थात्, त्रिभुज के कर्ण की लंबाई के माध्यम से, और पैरों की लंबाई के माध्यम से और:

प्रमेय के दोनों सूत्र समान हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, इसमें क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता नहीं है। अर्थात्, क्षेत्रफल के बारे में कुछ भी जाने बिना और एक समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई को मापकर दूसरे कथन की पुष्टि की जा सकती है।

उलटा पाइथागोरस प्रमेय:

का प्रमाण

पर इस पलमें वैज्ञानिक साहित्यइस प्रमेय के 367 प्रमाण दर्ज किए गए। संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय ही एकमात्र ऐसा प्रमेय है जिसके पास इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाण हैं। इस विविधता को केवल समझाया जा सकता है मौलिकज्यामिति के लिए प्रमेय।

बेशक, वैचारिक रूप से, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।

समरूप त्रिभुजों द्वारा

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण सीधे स्वयंसिद्धों से निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है। विशेष रूप से, यह आकृति क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

होने देना एबीसीएक समकोण त्रिभुज है सी. आइए से ऊंचाई बनाएं सीऔर इसके आधार को द्वारा निरूपित करें एच. त्रिकोण आकत्रिभुज के समान एबीसीदो कोनों पर। इसी तरह, त्रिभुज सीबीएचएक जैसा एबीसी. संकेतन का परिचय

हम पाते हैं

बराबर क्या है

जोड़ने पर, हमें मिलता है

क्षेत्र प्रमाण

निम्नलिखित प्रमाण, उनकी स्पष्ट सादगी के बावजूद, इतने सरल नहीं हैं। वे सभी क्षेत्र के गुणों का उपयोग करते हैं, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से अधिक जटिल है।

तुल्यता के माध्यम से सबूत

1. चार समान समकोण त्रिभुजों को व्यवस्थित करें जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है।
2. भुजाओं वाला चतुर्भुज सीएक वर्ग है क्योंकि दो न्यून कोणों का योग 90° और सरल कोण 180° होता है।
3. पूरी आकृति का क्षेत्रफल बराबर है, एक ओर एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल (a + b), और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग और क्षेत्रफल भीतरी चौक का।

क्यू.ई.डी.

यूक्लिड का प्रमाण

यूक्लिड के प्रमाण का विचार इस प्रकार है: आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि कर्ण पर बने वर्ग का आधा क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के आधे क्षेत्रों के योग के बराबर है, और फिर के क्षेत्रफल बड़े और दो छोटे वर्ग बराबर हैं।

बाईं ओर के चित्र पर विचार करें। उस पर, हमने एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर वर्ग बनाए और ऊपर से खींचे समकोणचूँकि किरण s कर्ण AB के लंबवत है, यह कर्ण पर बने वर्ग ABIK को क्रमशः दो आयतों - BHJI और HAKJ में काटती है। यह पता चला है कि इन आयतों के क्षेत्रफल संबंधित पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर हैं।

आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि वर्ग DECA का क्षेत्रफल आयत AHJK के क्षेत्रफल के बराबर है ऐसा करने के लिए, हम एक सहायक अवलोकन का उपयोग करते हैं: दिए गए समान ऊँचाई और आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल आयत दिए गए आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर है। यह त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित करने का परिणाम है। इस अवलोकन से यह पता चलता है कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल त्रिभुज AHK (नहीं दिखाया गया) के क्षेत्रफल के बराबर है, जो बदले में, आयत AHJK के आधे क्षेत्रफल के बराबर है।

आइए अब हम सिद्ध करें कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल भी वर्ग DECA के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसके लिए केवल एक चीज जो करने की जरूरत है वह है त्रिभुज एसीके और बीडीए की समानता साबित करना (चूंकि त्रिभुज बीडीए का क्षेत्रफल उपरोक्त संपत्ति द्वारा वर्ग के आधे क्षेत्र के बराबर है)। यह समानता स्पष्ट है: त्रिभुज दो भुजाओं में बराबर होते हैं और उनके बीच का कोण। अर्थात् - AB=AK, AD=AC - कोणों की समानता CAK और BAD गति विधि द्वारा सिद्ध करना आसान है: आइए त्रिभुज CAK 90 ° वामावर्त घुमाएँ, तो यह स्पष्ट है कि दो माने गए त्रिभुजों की संगत भुजाएँ मेल खाएँगी (इस तथ्य के कारण कि वर्ग के शीर्ष पर कोण 90° है)।

वर्ग BCFG और आयत BHJI के क्षेत्रफलों की समानता के बारे में तर्क पूरी तरह से समान है।

इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है कि कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल का योग होता है। इस प्रमाण के पीछे के विचार को ऊपर दिए गए एनीमेशन के साथ आगे दिखाया गया है।

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

प्रमाण के मुख्य तत्व समरूपता और गति हैं।

चित्र पर विचार करें, जैसा कि समरूपता से देखा जा सकता है, खंड वर्ग को दो समान भागों में काटता है (क्योंकि त्रिभुज और निर्माण में समान हैं)।

बिंदु के चारों ओर 90 डिग्री के वामावर्त घुमाव का उपयोग करके, हम छायांकित आंकड़ों की समानता देखते हैं और।

अब यह स्पष्ट है कि हमने जो आकृति छायांकित की है उसका क्षेत्रफल छोटे वर्गों (पैरों पर निर्मित) के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह बड़े वर्ग (कर्ण पर निर्मित) के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। इस प्रकार, छोटे वर्गों के क्षेत्रफल का आधा योग बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के आधे के बराबर होता है, और इसलिए पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल का योग निर्मित वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है कर्ण पर।

अपरिमित विधि द्वारा प्रमाण

विभेदक समीकरणों का उपयोग करते हुए निम्नलिखित प्रमाण को अक्सर प्रसिद्ध अंग्रेजी गणितज्ञ हार्डी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो 20 वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में रहते थे।

चित्र में दिखाए गए चित्र को ध्यान में रखते हुए और पक्ष में परिवर्तन को देखते हुए एक, हम इनफिनिटिमल साइड इंक्रीमेंट के लिए निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं साथतथा एक(समान त्रिभुजों का उपयोग करके):

चरों को अलग करने की विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

दोनों पैरों की वृद्धि के मामले में कर्ण को बदलने के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

इस प्रकार, हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं

जैसा कि देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता त्रिभुज की भुजाओं और वृद्धि के बीच रैखिक आनुपातिकता के कारण प्रकट होती है, जबकि योग विभिन्न पैरों की वृद्धि से स्वतंत्र योगदान के कारण होता है।

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मानते हैं कि पैरों में से एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है (इस मामले में, पैर)। तब समाकलन नियतांक के लिए हमें प्राप्त होता है

विविधताएं और सामान्यीकरण

तीन तरफ समान ज्यामितीय आकृतियाँ

समरूप त्रिभुजों के लिए सामान्यीकरण, हरे रंग की आकृतियों का क्षेत्रफल A + B = नीले रंग का क्षेत्रफल C

समान समकोण त्रिभुजों का प्रयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय का एक सामान्यीकरण यूक्लिड ने अपने काम में किया था शुरुआत, समान के क्षेत्रों के लिए पक्षों पर वर्गों के क्षेत्रों का विस्तार ज्यामितीय आकार :

यदि हम समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर समान ज्यामितीय आकृतियाँ (यूक्लिडियन ज्यामिति देखें) बनाते हैं, तो दो छोटी आकृतियों का योग बड़ी आकृति के क्षेत्रफल के बराबर होगा।

इस सामान्यीकरण का मुख्य विचार यह है कि इस तरह की ज्यामितीय आकृति का क्षेत्र इसके किसी भी रैखिक आयाम के वर्ग के समानुपाती होता है और विशेष रूप से, किसी भी पक्ष की लंबाई के वर्ग के लिए। इसलिए, क्षेत्रफल वाले समान आंकड़ों के लिए ए, बीतथा सीलंबाई के साथ पक्षों पर बनाया गया एक, बीतथा सी, अपने पास:

लेकिन पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक 2 + बी 2 = सी 2, फिर ए + बी = सी.

इसके विपरीत, यदि हम यह सिद्ध कर सकें कि ए + बी = सीपाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किए बिना तीन समान ज्यामितीय आकृतियों के लिए, तब हम प्रमेय को सिद्ध कर सकते हैं, विपरीत दिशा. उदाहरण के लिए, प्रारंभिक केंद्र त्रिभुज को त्रिभुज के रूप में पुन: उपयोग किया जा सकता है सीकर्ण पर, और दो समान समकोण त्रिभुज ( एतथा बी) अन्य दो भुजाओं पर बने हैं, जो केंद्रीय त्रिभुज को उसकी ऊँचाई से विभाजित करने के परिणामस्वरूप बनते हैं। त्रिभुजों के दो छोटे क्षेत्रफलों का योग स्पष्ट रूप से तीसरे के क्षेत्रफल के बराबर होता है, इस प्रकार ए + बी = सीऔर, पिछले प्रमाणों को उल्टे क्रम में निष्पादित करते हुए, हम पाइथागोरस प्रमेय a 2 + b 2 = c 2 प्राप्त करते हैं।

कोसाइन प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय अधिक सामान्य कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला है जो एक मनमाना त्रिभुज में पक्षों की लंबाई से संबंधित है:

जहाँ भुजाओं के बीच का कोण है एकतथा बी.

यदि 90 डिग्री है तो cos θ = 0 और सूत्र को सामान्य पायथागॉरियन प्रमेय के लिए सरल बनाया गया है।

मनमाना त्रिकोण

भुजाओं वाले एक मनमाना त्रिभुज के किसी भी चुने हुए कोने के लिए ए, बी, सीहम एक समद्विबाहु त्रिभुज को इस प्रकार अंकित करते हैं कि उसके आधार पर समान कोण चुने हुए कोण के बराबर हों। आइए मान लें कि चुना हुआ कोण संकेतित पक्ष के विपरीत स्थित है सी. परिणामस्वरूप, हमें कोण वाला एक त्रिभुज ABD प्राप्त होता है, जो भुजा के विपरीत स्थित होता है एकऔर पार्टियां आर. दूसरा त्रिभुज कोण से बनता है, जो भुजा . के विपरीत है बीऔर पार्टियां साथलंबा एस, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। थबित इब्न कुर्रा ने कहा कि इन तीन त्रिभुजों में भुजाएँ इस प्रकार संबंधित हैं:

जैसे-जैसे कोण θ /2 के निकट आता है, आधार समद्विबाहु त्रिकोणघटता है, और दोनों पक्ष r और s एक दूसरे को कम और कम ओवरलैप करते हैं। जब = /2, ADB एक समकोण त्रिभुज में बदल जाता है, आर + एस = सीऔर हमें प्रारंभिक पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है।

आइए इनमें से एक तर्क को देखें। त्रिभुज ABC में त्रिभुज ABD के समान कोण हैं, लेकिन विपरीत क्रम में हैं। (दोनों त्रिभुजों में शीर्ष B पर एक उभयनिष्ठ कोण है, दोनों का कोण θ है, और त्रिभुज के कोणों के योग से एक ही तीसरा कोण भी है) तदनुसार, ABC त्रिभुज DBA के परावर्तन ABD के समान है, जैसा कि दिखाया गया है निचले आंकड़े में। आइए हम सम्मुख भुजाओं और कोण θ से सटी भुजाओं के बीच संबंध लिखें,

तो एक और त्रिभुज का प्रतिबिंब है,

भिन्नों को गुणा करें और इन दो अनुपातों को जोड़ें:

क्यू.ई.डी.

समांतर चतुर्भुज के माध्यम से मनमाने त्रिभुजों के लिए सामान्यीकरण

मनमाना त्रिभुजों के लिए सामान्यीकरण,
हरे रंग का क्षेत्र प्लॉट = क्षेत्रनीला

थीसिस का प्रमाण कि ऊपर की आकृति में

आइए गैर-आयताकार त्रिभुजों के लिए एक और सामान्यीकरण करें, वर्गों के बजाय तीन पक्षों पर समांतर चतुर्भुज का उपयोग करें। (वर्ग एक विशेष मामला है।) शीर्ष आंकड़ा दर्शाता है कि के लिए न्यून त्रिकोणलंबी भुजा पर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं के समांतर चतुर्भुजों के योग के बराबर होता है, बशर्ते कि लंबी भुजा पर समांतर चतुर्भुज चित्र में दिखाए अनुसार बनाया गया हो (तीरों से चिह्नित आयाम समान हों और निचले समांतर चतुर्भुज के पक्षों को निर्धारित करें)। समांतर चतुर्भुज द्वारा वर्गों का यह प्रतिस्थापन प्रारंभिक पायथागॉरियन प्रमेय के लिए एक स्पष्ट समानता रखता है और माना जाता है कि इसे 4 सीई में अलेक्जेंड्रिया के पपस द्वारा तैयार किया गया था। इ।

निचला आंकड़ा सबूत की प्रगति को दर्शाता है। आइए त्रिभुज के बाईं ओर देखें। बाएं हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल वही है जो नीले समांतर चतुर्भुज के बाईं ओर है क्योंकि उनका आधार समान है बीऔर ऊंचाई एच. साथ ही, बाएं हरे बॉक्स में ऊपरी चित्र में बाएं हरे बॉक्स के समान क्षेत्र है क्योंकि उनके पास एक सामान्य आधार (त्रिभुज के ऊपरी बाएं तरफ) और त्रिभुज के उस तरफ लंबवत एक सामान्य ऊंचाई है। त्रिभुज के दाहिने पक्ष के लिए इसी तरह तर्क देते हुए, हम साबित करते हैं कि निचले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो हरे समांतर चतुर्भुजों के समान है।

जटिल आंकड़े

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दो बिंदुओं के बीच की दूरी को खोजने के लिए किया जाता है, और यह प्रमेय सभी वास्तविक निर्देशांक के लिए सही है: दूरी एसदो बिंदुओं के बीच ( ए, बी) तथा ( सी, डी) बराबर

यदि जटिल संख्याओं को वास्तविक घटकों के साथ सदिश के रूप में माना जाता है, तो सूत्र में कोई समस्या नहीं है एक्स + मैं तुम = (एक्स, आप). . उदाहरण के लिए, दूरी एस 0 + 1 . के बीच मैंऔर 1 + 0 मैंवेक्टर के मापांक के रूप में गणना करें (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), या

हालांकि, जटिल निर्देशांक वाले वैक्टर के साथ संचालन के लिए, पाइथागोरस सूत्र में एक निश्चित सुधार करना आवश्यक है। सम्मिश्र संख्याओं वाले बिंदुओं के बीच की दूरी ( एक, बी) तथा ( सी, डी); एक, बी, सी, तथा डीसभी जटिल, हम निरपेक्ष मूल्यों का उपयोग करके तैयार करते हैं। दूरी एसवेक्टर अंतर के आधार पर (एक − सी, बी − डी) निम्नलिखित रूप में: अंतर होने दें एक − सी = पी+ मैं क्यू, कहाँ पे पीअंतर का असली हिस्सा है, क्यूकाल्पनिक भाग है, और i = (−1)। इसी तरह, चलो बी − डी = आर+ मैं एस. फिर:

का जटिल संयुग्म कहाँ है। उदाहरण के लिए, बिंदुओं के बीच की दूरी (एक, बी) = (0, 1) तथा (सी, डी) = (मैं, 0) , अंतर की गणना करें (एक − सी, बी − डी) = (−मैं, 1) और यदि जटिल संयुग्मों का उपयोग नहीं किया गया तो परिणाम 0 होगा। इसलिए, बेहतर सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

मॉड्यूल इस तरह परिभाषित किया गया है:

स्टीरियोमेट्री

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए पाइथागोरस प्रमेय का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण डी गुआ का प्रमेय है, जिसका नाम जे.पी. के नाम पर रखा गया है। डी गुआ: यदि एक टेट्राहेड्रोन का एक समकोण (घन के रूप में) है, तो समकोण के विपरीत चेहरे के क्षेत्र का वर्ग, योग के बराबर हैअन्य तीन चेहरों के वर्ग क्षेत्र। इस निष्कर्ष को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है " एन-आयामी पाइथागोरस प्रमेय":

पाइथागोरस प्रमेय तीन आयामों में विकर्ण AD को तीन भुजाओं से जोड़ता है।

एक अन्य सामान्यीकरण: पाइथागोरस प्रमेय को निम्नलिखित रूप में स्टीरियोमेट्री पर लागू किया जा सकता है। एक आयताकार बॉक्स पर विचार करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके विकर्ण BD की लंबाई ज्ञात कीजिए:

जहाँ तीन भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, फिर से विकर्ण AD की लंबाई ज्ञात करने के लिए क्षैतिज विकर्ण BD और ऊर्ध्वाधर किनारे AB का उपयोग करें:

या, यदि सब कुछ एक समीकरण में लिखा गया है:

यह परिणाम वेक्टर के परिमाण को निर्धारित करने के लिए एक 3D व्यंजक है वी(विकर्ण AD) को इसके लंबवत घटकों के रूप में व्यक्त किया जाता है ( वी k) (तीन परस्पर लंबवत भुजाएँ):

इस समीकरण को एक बहुआयामी अंतरिक्ष के लिए पाइथागोरस प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। हालांकि, परिणाम वास्तव में पायथागॉरियन प्रमेय के क्रमिक रूप से लंबवत विमानों में समकोण त्रिभुजों के अनुक्रम के बार-बार लागू होने से ज्यादा कुछ नहीं है।

सदिश स्थल

वैक्टर की एक ऑर्थोगोनल प्रणाली के मामले में, एक समानता होती है, जिसे पाइथागोरस प्रमेय भी कहा जाता है:

यदि - ये निर्देशांक अक्षों पर वेक्टर के अनुमान हैं, तो यह सूत्र यूक्लिडियन दूरी के साथ मेल खाता है - और इसका मतलब है कि वेक्टर की लंबाई इसके घटकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है।

वैक्टर की अनंत प्रणाली के मामले में इस समानता के अनुरूप को पारसेवल की समानता कहा जाता है।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति

पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति के स्वयंसिद्धों से लिया गया है और वास्तव में, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए मान्य नहीं है, जिस रूप में यह ऊपर लिखा गया है। (अर्थात, पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिड के समानांतरवाद की अभिधारणा के एक प्रकार के समतुल्य निकला) दूसरे शब्दों में, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज की भुजाओं के बीच का अनुपात आवश्यक रूप से पाइथागोरस प्रमेय से भिन्न रूप में होगा। . उदाहरण के लिए, गोलाकार ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाएँ (मान लीजिए .) एक, बीतथा सी) जो इकाई गोले के अष्टक (आठवें) को बांधता है उसकी लंबाई π/2 है, जो पाइथागोरस प्रमेय का खंडन करता है क्योंकि एक 2 + बी 2 ≠ सी 2 .

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के दो मामलों पर विचार करें - गोलाकार और अतिपरवलयिक ज्यामिति; दोनों ही मामलों में, समकोण त्रिभुजों के लिए यूक्लिडियन स्थान के लिए, पाइथागोरस प्रमेय को प्रतिस्थापित करने वाला परिणाम कोसाइन प्रमेय का अनुसरण करता है।

हालाँकि, पाइथागोरस प्रमेय हाइपरबोलिक और अण्डाकार ज्यामिति के लिए मान्य रहता है यदि त्रिभुज के समकोण होने की आवश्यकता को इस शर्त से बदल दिया जाता है कि त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे के बराबर होना चाहिए, मान लीजिए ए+बी = सी. फिर पक्षों के बीच का अनुपात इस तरह दिखता है: व्यास वाले मंडलियों के क्षेत्रों का योग एकतथा बीव्यास वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर सी.

गोलाकार ज्यामिति

त्रिज्या वाले गोले पर किसी समकोण त्रिभुज के लिए आर(उदाहरण के लिए, यदि त्रिभुज में कोण γ सही है) भुजाओं के साथ एक, बी, सीपार्टियों के बीच संबंध इस तरह दिखेगा:

यह समानता गोलाकार कोसाइन प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में प्राप्त की जा सकती है, जो सभी गोलाकार त्रिभुजों के लिए मान्य है:

जहां कोष अतिपरवलयिक कोज्या है। यह सूत्र अतिपरवलयिक कोज्या प्रमेय का एक विशेष मामला है, जो सभी त्रिभुजों के लिए मान्य है:

जहाँ γ वह कोण है जिसका शीर्ष भुजा के विपरीत है सी.

कहाँ पे जी आईजेयूमीट्रिक टेंसर कहा जाता है। यह एक स्थिति समारोह हो सकता है। इस तरह के घुमावदार रिक्त स्थान में रीमैनियन ज्यामिति शामिल है: सामान्य उदाहरण. वक्रीय निर्देशांक का उपयोग करते समय यह सूत्रीकरण यूक्लिडियन स्थान के लिए भी उपयुक्त है। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक के लिए:

वेक्टर उत्पाद

पाइथागोरस प्रमेय एक सदिश उत्पाद के परिमाण के लिए दो व्यंजकों को जोड़ता है। एक क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करने के लिए एक दृष्टिकोण की आवश्यकता है कि यह समीकरण को पूरा करे:

यह सूत्र डॉट उत्पाद का उपयोग करता है। समीकरण के दाहिने पक्ष को ग्राम का निर्धारक कहा जाता है एकतथा बी, जो इन दो सदिशों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है। इस आवश्यकता के साथ-साथ आवश्यकता के आधार पर कि वेक्टर उत्पाद अपने घटकों के लंबवत हो एकतथा बीयह इस प्रकार है कि, 0- और 1-आयामी अंतरिक्ष के तुच्छ मामलों को छोड़कर, वेक्टर उत्पाद केवल तीन और सात आयामों में परिभाषित किया गया है। हम कोण की परिभाषा का उपयोग करते हैं एन-आयामी अंतरिक्ष:

वेक्टर उत्पाद की यह संपत्ति निम्नलिखित रूप में अपना मूल्य देती है:

मौलिक के माध्यम से त्रिकोणमितीय पहचानपाइथागोरस, हमें इसका मूल्य लिखने का एक अलग रूप मिलता है:

क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करने के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण इसके परिमाण के लिए एक अभिव्यक्ति का उपयोग करता है। फिर, उल्टे क्रम में तर्क करते हुए, हम एक संबंध प्राप्त करते हैं अदिश उत्पाद:

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

1. इतिहास विषय: बेबीलोन के गणित में पाइथागोरस की प्रमेय
2. ( , पृष्ठ 351) पृष्ठ 351
3. ( , खंड I, पृष्ठ 144)
4. बहस ऐतिहासिक तथ्यमें दिया गया है (, पृष्ठ 351) पृष्ठ 351
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21. एलेक्जेंडर आर. प्रूस

प्राकृतिक वैज्ञानिक विश्लेषण, व्यावहारिक दृष्टिकोण और सूत्रों और संख्याओं की शुष्क भाषा को छोड़कर, रचनात्मकता की क्षमता को आमतौर पर मानविकी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। गणित को मानविकी विषय के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। लेकिन "सभी विज्ञानों की रानी" में रचनात्मकता के बिना आप दूर नहीं जाएंगे - लोग इस बारे में लंबे समय से जानते हैं। पाइथागोरस के समय से, उदाहरण के लिए।

स्कूल की पाठ्यपुस्तकें, दुर्भाग्य से, आमतौर पर यह नहीं समझाती हैं कि गणित में न केवल प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और सूत्रों को रटना महत्वपूर्ण है। इसे समझना और महसूस करना महत्वपूर्ण है मौलिक सिद्धांत. और साथ ही, अपने दिमाग को क्लिच और प्राथमिक सत्य से मुक्त करने का प्रयास करें - केवल ऐसी स्थितियों में ही सभी महान खोजें पैदा होती हैं।

ऐसी खोजों में वह शामिल है जिसे आज हम पाइथागोरस प्रमेय के रूप में जानते हैं। इसकी मदद से हम यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि गणित न केवल मजेदार हो सकता है, बल्कि मजेदार भी होना चाहिए। और यह कि यह साहसिक कार्य न केवल मोटे चश्मे वाले नर्डों के लिए उपयुक्त है, बल्कि उन सभी के लिए उपयुक्त है जो दिमाग से मजबूत और आत्मा में मजबूत हैं।

मुद्दे के इतिहास से

कड़ाई से बोलते हुए, हालांकि प्रमेय को "पाइथागोरस प्रमेय" कहा जाता है, पाइथागोरस ने स्वयं इसकी खोज नहीं की थी। समकोण त्रिभुज और उसके विशेष गुणों का अध्ययन इससे बहुत पहले किया जा चुका है। इस मुद्दे पर दो ध्रुवीय दृष्टिकोण हैं। एक संस्करण के अनुसार, पाइथागोरस प्रमेय का पूर्ण प्रमाण खोजने वाला पहला व्यक्ति था। दूसरे के अनुसार, सबूत पाइथागोरस के लेखकत्व से संबंधित नहीं है।

आज आप यह नहीं देख सकते कि कौन सही है और कौन गलत। यह केवल ज्ञात है कि पाइथागोरस का प्रमाण, यदि वह कभी अस्तित्व में था, नहीं बच पाया है। हालांकि, ऐसे सुझाव हैं कि यूक्लिड के तत्वों का प्रसिद्ध प्रमाण पाइथागोरस से संबंधित हो सकता है, और यूक्लिड ने केवल इसे दर्ज किया है।

आज यह भी ज्ञात है कि एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याएं मिस्र के स्रोतों में फिरौन अमेनेमेट I के समय से, बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों पर राजा हम्मुराबी के शासनकाल से, प्राचीन भारतीय ग्रंथ सुल्वा सूत्र और प्राचीन चीनी काम झोउ में पाई जाती हैं। -बी सुआन जिन.

जैसा कि आप देख सकते हैं, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से गणितज्ञों के दिमाग पर कब्जा कर लिया है। लगभग 367 विभिन्न साक्ष्य जो आज मौजूद हैं, पुष्टि के रूप में कार्य करते हैं। इस संबंध में कोई अन्य प्रमेय इसका मुकाबला नहीं कर सकता है। उल्लेखनीय साक्ष्य लेखकों में लियोनार्डो दा विंची और संयुक्त राज्य अमेरिका के 20 वें राष्ट्रपति जेम्स गारफील्ड शामिल हैं। यह सब गणित के लिए इस प्रमेय के अत्यधिक महत्व की बात करता है: ज्यामिति के अधिकांश प्रमेय इससे प्राप्त होते हैं या, एक तरह से या किसी अन्य, इससे जुड़े होते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण

स्कूल की पाठ्यपुस्तकें ज्यादातर बीजीय प्रमाण देती हैं। लेकिन प्रमेय का सार ज्यामिति में है, तो आइए सबसे पहले प्रसिद्ध प्रमेय के उन प्रमाणों पर विचार करें जो इस विज्ञान पर आधारित हैं।

सबूत 1

एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के सबसे सरल प्रमाण के लिए, आपको आदर्श स्थितियाँ निर्धारित करने की आवश्यकता है: त्रिभुज को न केवल समकोण, बल्कि समद्विबाहु भी होने दें। यह मानने का कारण है कि यह एक ऐसा त्रिभुज था जिसे मूल रूप से प्राचीन गणितज्ञों द्वारा माना जाता था।

कथन "एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बना वर्ग उसके पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है"निम्नलिखित चित्र के साथ सचित्र किया जा सकता है:

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC को देखें: कर्ण AC पर, आप मूल ABC के बराबर चार त्रिभुजों से मिलकर बना एक वर्ग बना सकते हैं। और पैरों पर AB और BC एक वर्ग पर बने हैं, जिनमें से प्रत्येक में दो समान त्रिभुज हैं।

वैसे, इस ड्राइंग ने पाइथागोरस प्रमेय को समर्पित कई उपाख्यानों और कार्टूनों का आधार बनाया। शायद सबसे प्रसिद्ध is "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं":

सबूत 2

यह विधि बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ती है और इसे गणितज्ञ भास्करी के प्राचीन भारतीय प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है।

भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज बनाइए ए, बी और सी(चित्र एक)। फिर दोनों पैरों की लंबाई के योग के बराबर भुजाओं वाले दो वर्ग बनाएं - (ए+बी). प्रत्येक वर्ग में, आकृति 2 और 3 के अनुसार रचनाएँ करें।

पहले वर्ग में, समान त्रिभुजों में से चार का निर्माण करें जैसा कि चित्र 1 में है। परिणामस्वरूप, दो वर्ग प्राप्त होते हैं: एक भुजा a के साथ, दूसरा भुजा वाला बी.

दूसरे वर्ग में, चार समरूप त्रिभुजों का निर्माण एक वर्ग बनाता है जिसकी भुजा कर्ण के बराबर होती है सी.

चित्र 2 में निर्मित वर्गों के क्षेत्रफलों का योग उस वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है जिसे हमने चित्र 3 में भुजा c से बनाया है। इसे अंजीर में वर्गों के क्षेत्रों की गणना करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। 2 सूत्र के अनुसार। और चित्र 3 में अंकित वर्ग का क्षेत्रफल वर्ग में अंकित चार समान समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को एक भुजा वाले बड़े वर्ग के क्षेत्रफल से घटाकर (ए+बी).

यह सब नीचे रखकर, हमारे पास है: ए 2 + बी 2 \u003d (ए + बी) 2 - 2ab. कोष्ठक का विस्तार करें, सभी आवश्यक बीजगणितीय गणना करें और प्राप्त करें ए 2 + बी 2 = ए 2 + बी 2. इसी समय, Fig.3 में खुदा हुआ क्षेत्र। वर्ग की गणना पारंपरिक सूत्र का उपयोग करके भी की जा सकती है एस=सी2. वे। a2+b2=c2आपने पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

सबूत 3

उसी प्राचीन भारतीय प्रमाण का वर्णन 12वीं शताब्दी में "ज्ञान का मुकुट" ("सिद्धांत शिरोमणि") ग्रंथ में किया गया है, और मुख्य तर्क के रूप में लेखक गणितीय प्रतिभा और छात्रों के अवलोकन की शक्तियों को संबोधित अपील का उपयोग करता है और अनुयायी: "देखो!"।

लेकिन हम इस प्रमाण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे:

वर्ग के अंदर, चार समकोण त्रिभुज बनाएं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। बड़े वर्ग की भुजा, जो कर्ण भी है, निरूपित की जाती है साथ. आइए त्रिभुज के पैरों को कॉल करें एकतथा बी. चित्र के अनुसार, भीतरी वर्ग की भुजा है (ए-बी).

वर्ग क्षेत्र सूत्र का प्रयोग करें एस=सी2बाहरी वर्ग के क्षेत्र की गणना करने के लिए। और साथ ही आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल और सभी चार समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफल को जोड़कर समान मान की गणना करें: (ए-बी) 2 2+4*1\2*ए*बी.

आप यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे एक ही परिणाम देते हैं, वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए दोनों विकल्पों का उपयोग कर सकते हैं। और यह आपको यह लिखने का अधिकार देता है कि सी 2 =(ए-बी) 2 +4*1\2*ए*बी. समाधान के परिणामस्वरूप, आपको पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र प्राप्त होगा c2=a2+b2. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

सबूत 4

इस जिज्ञासु प्राचीन चीनी साक्ष्य को "दुल्हन की कुर्सी" कहा जाता था - सभी निर्माणों के परिणामस्वरूप कुर्सी जैसी आकृति के कारण:

यह उस चित्र का उपयोग करता है जिसे हम दूसरे प्रमाण में चित्र 3 में पहले ही देख चुके हैं। और साइड c वाला आंतरिक वर्ग उसी तरह बनाया गया है जैसे ऊपर दिए गए प्राचीन भारतीय प्रमाण में।

यदि आप मानसिक रूप से दो हरे समकोण त्रिभुजों को चित्र 1 में चित्र से काटते हैं, तो उन्हें वर्ग के विपरीत पक्षों पर ले जाएँ c और कर्ण को बकाइन त्रिभुजों के कर्ण से जोड़ते हैं, आपको एक आकृति मिलती है जिसे "दुल्हन की कुर्सी" कहा जाता है। " (रेखा चित्र नम्बर 2)। स्पष्टता के लिए, आप पेपर वर्गों और त्रिकोणों के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं। आप देखेंगे कि "दुल्हन की कुर्सी" दो वर्गों द्वारा बनाई गई है: एक तरफ छोटे वाले बीऔर एक पक्ष के साथ बड़ा एक.

इन निर्माणों ने प्राचीन चीनी गणितज्ञों और उनका अनुसरण करने वाले हमें इस निष्कर्ष पर पहुंचने की अनुमति दी कि c2=a2+b2.

सबूत 5

यह ज्यामिति पर आधारित पाइथागोरस प्रमेय का हल खोजने का एक और तरीका है। इसे गारफील्ड विधि कहते हैं।

एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए एबीसी. हमें यह साबित करना होगा कि बीसी 2 \u003d एसी 2 + एबी 2.

ऐसा करने के लिए, लेग जारी रखें एसीऔर एक खंड बनाएँ सीडी, जो पैर के बराबर है अब. निचला लंबवत विज्ञापनरेखा खंड ईडी. सेगमेंट ईडीतथा एसीबराबर हैं। बिंदुओ को जोडो इतथा पर, साथ ही इतथा सेऔर नीचे दी गई तस्वीर की तरह एक चित्र प्राप्त करें:

टॉवर को साबित करने के लिए, हम फिर से उस विधि का सहारा लेते हैं जिसका हमने पहले ही परीक्षण कर लिया है: हम परिणामी आकृति का क्षेत्रफल दो तरह से पाते हैं और भावों को एक दूसरे से बराबरी करते हैं।

बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तरइसे बनाने वाले तीन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़कर किया जा सकता है। और उनमें से एक ईआरयू, न केवल आयताकार है, बल्कि समद्विबाहु भी है। चलो यह भी न भूलें एबी = सीडी, एसी = ईडीतथा ईसा पूर्व = सीई- यह हमें रिकॉर्डिंग को सरल बनाने और इसे अधिभारित करने की अनुमति नहीं देगा। इसलिए, एस एबीईडी \u003d 2 * 1/2 (एबी * एसी) + 1/2बीसी 2.

साथ ही, यह स्पष्ट है कि एक बिस्तरएक समलम्बाकार है। इसलिए, हम सूत्र का उपयोग करके इसके क्षेत्रफल की गणना करते हैं: सबेड=(डीई+एबी)*1/2एडी. हमारी गणना के लिए, खंड का प्रतिनिधित्व करना अधिक सुविधाजनक और स्पष्ट है विज्ञापनखंडों के योग के रूप में एसीतथा सीडी.

आइए उनके बीच एक समान चिन्ह लगाकर किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के दोनों तरीके लिखें: एबी*एसी+1/2बीसी 2 =(डीई+एबी)*1/2(एसी+सीडी). हम पहले से ज्ञात और ऊपर वर्णित खंडों की समानता का उपयोग अंकन के दाहिने हाथ को सरल बनाने के लिए करते हैं: एबी*एसी+1/2बीसी 2 = 1/2(एबी+एसी) 2. और अब हम कोष्ठक खोलते हैं और समानता को रूपांतरित करते हैं: एबी*एसी+1/2बीसी 2 =1/2एसी 2 +2*1/2(एबी*एसी)+1/2एबी 2. सभी परिवर्तनों को समाप्त करने के बाद, हमें वही मिलता है जो हमें चाहिए: बीसी 2 \u003d एसी 2 + एबी 2. हमने प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

बेशक, सबूतों की यह सूची पूरी तरह से दूर है। पाइथागोरस प्रमेय को वैक्टर, कॉम्प्लेक्स नंबर, डिफरेंशियल इक्वेशन, स्टीरियोमेट्री आदि का उपयोग करके भी साबित किया जा सकता है। और यहां तक ​​​​कि भौतिक विज्ञानी: यदि, उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए समान वर्ग और त्रिकोणीय संस्करणों में तरल डाला जाता है। तरल डालने से, परिणाम के रूप में क्षेत्रों और प्रमेय की समानता को साबित करना संभव है।

पाइथागोरस ट्रिपलेट्स के बारे में कुछ शब्द

यह मुद्दा स्कूली पाठ्यक्रम में बहुत कम पढ़ाया जाता है या नहीं पढ़ा जाता है। इस बीच, यह बहुत दिलचस्प है और है बहुत महत्वज्यामिति में। कई गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए पाइथागोरस त्रिक का उपयोग किया जाता है। उनका विचार आगे की शिक्षा में आपके काम आ सकता है।

तो पाइथागोरस ट्रिपल क्या हैं? इसे ही कहते हैं पूर्णांकों, तीन में एकत्र किया जाता है, जिनमें से दो के वर्गों का योग वर्ग में तीसरी संख्या के बराबर होता है।

पाइथागोरस ट्रिपल हो सकते हैं:

• आदिम (तीनों संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं);
• गैर-आदिम (यदि एक ट्रिपल की प्रत्येक संख्या को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो आपको एक नया ट्रिपल मिलता है जो आदिम नहीं है)।

हमारे युग से पहले भी, प्राचीन मिस्रवासी पाइथागोरस ट्रिपल की संख्या के लिए उन्माद से मोहित थे: कार्यों में उन्होंने 3.4 और 5 इकाइयों के पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज माना। वैसे, कोई भी त्रिभुज जिसकी भुजाएँ पाइथागोरस ट्रिपल से संख्याओं के बराबर होती हैं, डिफ़ॉल्ट रूप से आयताकार होता है।

पाइथागोरस त्रिक के उदाहरण: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) आदि।

प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

पाइथागोरस प्रमेय न केवल गणित में, बल्कि वास्तुकला और निर्माण, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि साहित्य में भी लागू होता है।

सबसे पहले, निर्माण के बारे में: विभिन्न स्तरों की जटिलता की समस्याओं में पाइथागोरस प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, रोमनस्क्यू विंडो देखें:

आइए विंडो की चौड़ाई को इस प्रकार निरूपित करें बी, तो महान अर्धवृत्त की त्रिज्या को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है आरऔर व्यक्त करें बी: आर = बी / 2. छोटे अर्धवृत्तों की त्रिज्या को के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है बी: आर = बी / 4. इस समस्या में, हम विंडो के आंतरिक वृत्त की त्रिज्या में रुचि रखते हैं (चलो इसे कहते हैं पी).

पाइथागोरस प्रमेय गणना करने के काम आता है आर. ऐसा करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करते हैं, जिसे आकृति में एक बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। एक त्रिभुज के कर्ण में दो त्रिज्याएँ होती हैं: बी/4+पी. एक पैर त्रिज्या है बी 4, दूसरा बी/2-पी. पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: (बी/4+पी) 2 =(बी/4) 2 +(बी/2-पी) 2. अगला, हम कोष्ठक खोलते हैं और प्राप्त करते हैं बी 2/16+ बीपी / 2 + पी 2 \u003d बी 2/16 + बी 2 / 4-बीपी + पी 2. आइए इस अभिव्यक्ति को . में बदलें बीपी/2=बी 2/4-बीपी. और फिर हम सभी पदों को में विभाजित करते हैं बी, हम प्राप्त करने के लिए समान देते हैं 3/2*पी=बी/4. और अंत में हम पाते हैं कि पी = बी/6- जो हमें चाहिए था।

प्रमेय का उपयोग करके, आप एक विशाल छत के लिए छत की लंबाई की गणना कर सकते हैं। निर्धारित करें कि सिग्नल को एक निश्चित तक पहुंचने के लिए मोबाइल टावर को कितना ऊंचा होना चाहिए इलाका. और यहां तक ​​कि स्थिर रूप से स्थापित करें क्रिसमस वृक्षशहर के चौक में। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह प्रमेय न केवल पाठ्यपुस्तकों के पन्नों पर रहता है, बल्कि वास्तविक जीवन में अक्सर उपयोगी होता है।

जहां तक ​​साहित्य का संबंध है, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से लेखकों को प्रेरित किया है और आज भी जारी है। उदाहरण के लिए, उन्नीसवीं सदी के जर्मन लेखक एडेलबर्ट वॉन चामिसो ने उन्हें एक सॉनेट लिखने के लिए प्रेरित किया था:

सत्य का प्रकाश शीघ्र नहीं बुझेगा,
लेकिन, चमकने के बाद, इसके विलुप्त होने की संभावना नहीं है
और हजारों साल पहले की तरह,
संदेह और विवाद का कारण नहीं बनेगा।

सबसे बुद्धिमान जब यह आंख को छूता है
सत्य का प्रकाश, देवताओं का धन्यवाद;
और सौ बैल, छुरा घोंपा, झूठ -
भाग्यशाली पाइथागोरस की वापसी का उपहार।

तब से, बैल बुरी तरह दहाड़ रहे हैं:
बैल जनजाति को हमेशा के लिए जगाया
यहां उल्लेखित घटना।

उन्हें लगता है कि यह समय के बारे में है
और फिर उनकी बलि दी जाएगी
कुछ महान प्रमेय।

(विक्टर टोपोरोव द्वारा अनुवादित)

और बीसवीं शताब्दी में, सोवियत लेखक येवगेनी वेल्टिस्टोव ने अपनी पुस्तक "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" में पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों के लिए एक पूरा अध्याय समर्पित किया। और दो-आयामी दुनिया के बारे में कहानी का आधा अध्याय जो मौजूद हो सकता है यदि पाइथागोरस प्रमेय एक ही दुनिया के लिए मौलिक कानून और यहां तक ​​​​कि धर्म भी बन जाता है। इसमें रहना बहुत आसान होगा, लेकिन बहुत अधिक उबाऊ भी होगा: उदाहरण के लिए, कोई भी "गोल" और "शराबी" शब्दों का अर्थ नहीं समझता है।

और "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" पुस्तक में, लेखक, गणित शिक्षक तारातारा के मुंह के माध्यम से कहते हैं: "गणित में मुख्य बात विचार, नए विचारों की गति है।" यह विचार की रचनात्मक उड़ान है जो पाइथागोरस प्रमेय उत्पन्न करती है - यह व्यर्थ नहीं है कि इसके इतने विविध प्रमाण हैं। यह सामान्य से परे जाने और परिचित चीजों को नए तरीके से देखने में मदद करता है।

निष्कर्ष

यह लेख इसलिए बनाया गया है ताकि आप आगे देख सकें स्कूल के पाठ्यक्रमगणित में और न केवल पाइथागोरस प्रमेय के उन प्रमाणों को सीखें जो पाठ्यपुस्तकों "ज्यामिति 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) और "ज्योमेट्री 7-11" (A.V. Pogorelov) में दिए गए हैं, लेकिन और अन्य जिज्ञासु तरीके साबित करने के लिए प्रसिद्ध प्रमेय। और यह भी देखें कि पाइथागोरस प्रमेय को दैनिक जीवन में कैसे लागू किया जा सकता है।

सबसे पहले, यह जानकारी आपको गणित की कक्षाओं में उच्च स्कोर का दावा करने की अनुमति देगी - अतिरिक्त स्रोतों से विषय पर जानकारी की हमेशा सराहना की जाती है।

दूसरे, हम आपको यह समझने में मदद करना चाहते हैं कि गणित कैसा है दिलचस्प विज्ञान. सुनिश्चित करें ठोस उदाहरणकि रचनात्मकता के लिए हमेशा जगह है। हमें उम्मीद है कि पाइथागोरस प्रमेय और यह लेख आपको गणित और अन्य विज्ञानों में अपना शोध और रोमांचक खोज करने के लिए प्रेरित करेगा।

हमें टिप्पणियों में बताएं कि क्या आपको लेख में प्रस्तुत साक्ष्य दिलचस्प लगे। क्या आपको यह जानकारी अपनी पढ़ाई में मददगार लगी? हमें बताएं कि आप पाइथागोरस प्रमेय और इस लेख के बारे में क्या सोचते हैं - हमें आपके साथ इस सब पर चर्चा करने में खुशी होगी।

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पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास कई सदियों पीछे चला जाता है। एक बयान जो ग्रीक गणितज्ञ के जन्म से बहुत पहले से जाना जाता था। हालाँकि, पाइथागोरस प्रमेय, इसके निर्माण का इतिहास और इसके प्रमाण इस वैज्ञानिक के साथ बहुमत के लिए जुड़े हुए हैं। कुछ सूत्रों के अनुसार इसका कारण प्रमेय का पहला प्रमाण था, जिसे पाइथागोरस ने दिया था। हालांकि, कुछ शोधकर्ता इस तथ्य का खंडन करते हैं।

संगीत और तर्क

पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास कैसे विकसित हुआ, यह बताने से पहले, आइए हम संक्षेप में गणितज्ञ की जीवनी पर ध्यान दें। वह छठी शताब्दी ईसा पूर्व में रहते थे। पाइथागोरस की जन्म तिथि 570 ईसा पूर्व मानी जाती है। ई।, जगह समोस का द्वीप है। वैज्ञानिक के जीवन के बारे में निश्चित रूप से बहुत कम जाना जाता है। प्राचीन ग्रीक स्रोतों में जीवनी संबंधी आंकड़े स्पष्ट कल्पना के साथ जुड़े हुए हैं। ग्रंथों के पन्नों पर, वह एक महान ऋषि के रूप में प्रकट होता है, जिसमें शब्द की उत्कृष्ट कमान और समझाने की क्षमता होती है। वैसे, इसीलिए ग्रीक गणितज्ञ को पाइथागोरस उपनाम दिया गया था, यानी "प्रेरक भाषण।" एक अन्य संस्करण के अनुसार, भविष्य के ऋषि के जन्म की भविष्यवाणी पाइथिया ने की थी। पिता ने उसके सम्मान में लड़के का नाम पाइथागोरस रखा।

ऋषि ने उस समय के महान मन से सीखा। युवा पाइथागोरस के शिक्षकों में जर्मोडामेंट और सिरोस के फेरेकाइड्स हैं। पहले ने उनमें संगीत के प्रति प्रेम पैदा किया, दूसरे ने उन्हें दर्शनशास्त्र सिखाया। ये दोनों विज्ञान जीवन भर वैज्ञानिक के ध्यान के केंद्र में रहेंगे।

30 साल का प्रशिक्षण

एक संस्करण के अनुसार, एक जिज्ञासु युवक होने के नाते, पाइथागोरस ने अपनी मातृभूमि छोड़ दी। वह मिस्र में ज्ञान की खोज में गया, जहां वह विभिन्न स्रोतों के अनुसार 11 से 22 वर्ष तक रहा, और फिर उसे पकड़ लिया गया और उसे बाबुल भेज दिया गया। पाइथागोरस अपनी स्थिति से लाभ उठाने में सक्षम था। 12 साल तक उन्होंने एक प्राचीन राज्य में गणित, ज्यामिति और जादू का अध्ययन किया। पाइथागोरस केवल 56 वर्ष की आयु में समोस लौट आए। यहाँ उस समय तानाशाह पॉलीक्रेट्स का शासन था। पाइथागोरस ऐसा स्वीकार नहीं कर सकता था राजनीतिक तंत्रऔर जल्द ही इटली के दक्षिण में चला गया, जहां क्रोटन का यूनानी उपनिवेश स्थित था।

आज निश्चित रूप से यह कहना असंभव है कि पाइथागोरस मिस्र और बेबीलोन में था या नहीं। हो सकता है कि उसने बाद में समोस को छोड़ दिया हो और सीधे क्रोटन चला गया हो।

पाइथोगोरस

पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास ग्रीक दार्शनिक द्वारा बनाए गए स्कूल के विकास से जुड़ा है। इस धार्मिक और नैतिक भाईचारे ने जीवन के एक विशेष तरीके के पालन का उपदेश दिया, अंकगणित, ज्यामिति और खगोल विज्ञान का अध्ययन किया और संख्याओं के दार्शनिक और रहस्यमय पक्ष का अध्ययन किया।

यूनानी गणितज्ञ के विद्यार्थियों की सभी खोजों का श्रेय उन्हीं को जाता है। हालाँकि, पाइथागोरस प्रमेय के उद्भव का इतिहास प्राचीन जीवनीकारों द्वारा केवल स्वयं दार्शनिक के साथ जुड़ा हुआ है। यह माना जाता है कि उसने बाबुल और मिस्र में प्राप्त ज्ञान यूनानियों को दिया। एक संस्करण यह भी है कि उन्होंने वास्तव में पैरों और कर्ण के अनुपात पर प्रमेय की खोज की, अन्य लोगों की उपलब्धियों के बारे में नहीं जानते।

पाइथागोरस प्रमेय: खोज का इतिहास

कुछ प्राचीन यूनानी स्रोत पाइथागोरस की खुशी का वर्णन करते हैं जब वह एक प्रमेय साबित करने में कामयाब रहे। इस तरह के आयोजन के सम्मान में, उन्होंने सैकड़ों बैलों के रूप में देवताओं को बलि देने का आदेश दिया और एक भोज की व्यवस्था की। हालाँकि, कुछ विद्वान पाइथागोरस के विचारों की ख़ासियत के कारण इस तरह के कार्य की असंभवता की ओर इशारा करते हैं।

ऐसा माना जाता है कि यूक्लिड द्वारा निर्मित ग्रंथ "बिगिनिंग्स" में, लेखक प्रमेय का प्रमाण प्रदान करता है, जिसके लेखक महान यूनानी गणितज्ञ थे। हालांकि, सभी ने इस दृष्टिकोण का समर्थन नहीं किया। तो, प्राचीन नियोप्लाटोनिस्ट दार्शनिक प्रोक्लस ने भी बताया कि तत्वों में दिए गए प्रमाण के लेखक स्वयं यूक्लिड हैं।

जैसा कि हो सकता है, पाइथागोरस प्रमेय तैयार करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे।

प्राचीन मिस्र और बेबीलोन

पाइथागोरस प्रमेय, जिसका इतिहास लेख में चर्चा की गई है, जर्मन गणितज्ञ कैंटोर के अनुसार, 2300 ईसा पूर्व के रूप में जाना जाता था। इ। मिस्र में। नील घाटी के प्राचीन निवासी फिरौन अमेनेमहट के शासनकाल के दौरान मैं समीकरण 3 2 + 4 ² = 5 जानता था। यह माना जाता है कि 3, 4 और 5 भुजाओं वाले त्रिभुजों की मदद से, मिस्र के "स्ट्रिंगर्स" ने समकोण को पंक्तिबद्ध किया।

वे बेबीलोन में पाइथागोरस प्रमेय भी जानते थे। 2000 ईसा पूर्व की मिट्टी की गोलियों पर। और शासनकाल के समय से संबंधित, एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की अनुमानित गणना मिली।

भारत और चीन

पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास भारत और चीन की प्राचीन सभ्यताओं से भी जुड़ा हुआ है। ग्रंथ "झोउ-बी सुआन जिन" में संकेत हैं कि (इसके पक्ष 3:4:5 के रूप में सहसंबंधित हैं) चीन में 12 वीं शताब्दी की शुरुआत में जाना जाता था। ईसा पूर्व ई।, और छठी शताब्दी तक। ईसा पूर्व इ। इस राज्य के गणितज्ञ जानते थे सामान्य फ़ॉर्मप्रमेय

मिस्र के त्रिभुज का उपयोग करते हुए एक समकोण का निर्माण भी भारतीय ग्रंथ सुल्वा सूत्र में निर्धारित किया गया था, जो 7वीं-पांचवीं शताब्दी का है। ईसा पूर्व इ।

इस प्रकार, ग्रीक गणितज्ञ और दार्शनिक के जन्म के समय पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास पहले से ही कई सौ वर्ष पुराना था।

सबूत

अपने अस्तित्व के दौरान, प्रमेय ज्यामिति में मौलिक में से एक बन गया है। पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण का इतिहास संभवत: एक समबाहु वर्ग के विचार से शुरू हुआ था। वर्ग इसके कर्ण और पैरों पर बनाए गए हैं। कर्ण पर जो "बढ़ा" है, उसमें पहले के बराबर चार त्रिभुज होंगे। इस मामले में पैरों के वर्गों में दो ऐसे त्रिकोण होते हैं। एक साधारण ग्राफिक छवि प्रसिद्ध प्रमेय के रूप में तैयार किए गए कथन की वैधता को स्पष्ट रूप से दर्शाती है।

एक और सरल प्रमाण ज्यामिति को बीजगणित के साथ जोड़ता है। ए, बी, सी पक्षों के साथ चार समान समकोण त्रिभुज तैयार किए गए हैं ताकि वे दो वर्ग बना सकें: एक बाहरी पक्ष (ए + बी) और एक आंतरिक पक्ष सी के साथ। इस स्थिति में, छोटे वर्ग का क्षेत्रफल c 2 के बराबर होगा। बड़े वर्ग के क्षेत्रफल की गणना छोटे वर्ग और सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग से की जाती है (याद रखें, एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र (a * b) / 2) द्वारा की जाती है, अर्थात् , 2 + 4 * ((a * c) / 2) से, जो 2 + 2av के बराबर है। एक बड़े वर्ग के क्षेत्रफल की गणना दूसरे तरीके से की जा सकती है - दो पक्षों के गुणनफल के रूप में, यानी (a + b) 2, जो कि 2 + 2ab + b 2 के बराबर है। यह पता चला है:

ए 2 + 2एवी + 2 में \u003d सी 2 + 2एवी,

ए 2 + 2 में = सी 2।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के कई तरीके हैं। यूक्लिड और भारतीय वैज्ञानिकों और लियोनार्डो दा विंची दोनों ने उन पर काम किया। अक्सर प्राचीन संतों ने चित्रों का हवाला दिया, जिनमें से उदाहरण ऊपर स्थित हैं, और "देखो!" नोट को छोड़कर, किसी भी स्पष्टीकरण के साथ उनके साथ नहीं थे। ज्यामितीय प्रमाण की सादगी, कुछ ज्ञान की उपस्थिति के अधीन, टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं थी।

पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास, लेख में संक्षेप में, इसकी उत्पत्ति के बारे में मिथक को खारिज करता है। हालाँकि, यह कल्पना करना भी कठिन है कि महान यूनानी गणितज्ञ और दार्शनिक का नाम उनके साथ जुड़ना कभी बंद नहीं होगा।

सुनिश्चित करें कि आपको दिया गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है। समकोण त्रिभुज में, तीन कोणों में से एक हमेशा 90 डिग्री का होता है।

• एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण वक्र के बजाय एक वर्ग द्वारा इंगित किया जाता है, जो गैर-समकोण का प्रतिनिधित्व करता है।

त्रिभुज के किनारों को लेबल करें।पैरों को "ए" और "बी" के रूप में नामित करें (पैर समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाले पक्ष हैं), और कर्ण को "सी" के रूप में नामित करें (कर्ण एक समकोण त्रिभुज का सबसे बड़ा पक्ष है जो समकोण के विपरीत स्थित है)।

पाइथागोरस प्रमेय

का प्रमाण

फिलहाल इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज हैं। संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय ही एकमात्र ऐसा प्रमेय है जिसके पास इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाण हैं। इस तरह की विविधता को ज्यामिति के लिए प्रमेय के मौलिक महत्व से ही समझाया जा सकता है।
बेशक, वैचारिक रूप से, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।

समरूप त्रिभुजों द्वारा

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण सीधे स्वयंसिद्धों से निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है। विशेष रूप से, यह एक आकृति के क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।
मान लीजिए कि ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है। C से एक ऊँचाई खींचिए और उसके आधार को H से निरूपित कीजिए। त्रिभुज ACH त्रिभुज ABC के दो कोणों में समरूप है।
इसी प्रकार, त्रिभुज CBH, ABC के समरूप है। संकेतन का परिचय

हम पाते हैं

बराबर क्या है

जोड़ने पर, हमें मिलता है

या

क्षेत्र प्रमाण

निम्नलिखित प्रमाण, उनकी स्पष्ट सादगी के बावजूद, इतने सरल नहीं हैं। वे सभी क्षेत्र के गुणों का उपयोग करते हैं, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से अधिक जटिल है।

तुल्यता के माध्यम से सबूत

तुल्यता के माध्यम से साक्ष्य

इन प्रमाणों में से एक का एक उदाहरण दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है, जहाँ कर्ण पर बने वर्ग को क्रमपरिवर्तन द्वारा पैरों पर बने दो वर्गों में परिवर्तित किया जाता है।

यूक्लिड का प्रमाण

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

प्रमाण के मुख्य तत्व समरूपता और गति हैं।

चित्र पर विचार करें, जैसा कि समरूपता से देखा जा सकता है, खंड CI वर्ग ABHJ को दो समान भागों में काटता है (चूंकि त्रिभुज ABCऔर जेएचआई निर्माण में बराबर हैं)। 90 डिग्री वामावर्त घुमाव का उपयोग करते हुए, हम छायांकित आकृतियों CAJI और GDAB की समानता देखते हैं। अब यह स्पष्ट है कि हमारे द्वारा छायांकित आकृति का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह कर्ण पर बने वर्ग के आधे क्षेत्रफल के साथ-साथ मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। प्रूफ़ का अंतिम चरण पाठक पर छोड़ दिया जाता है।