एक ही आधार लेकिन विभिन्न शक्तियों वाली संख्याएँ। बिजली जोड़ने के नियम

शक्तियों का जोड़ और घटाव

जाहिर है, घातांक वाली संख्याओं को अन्य राशियों की तरह जोड़ा जा सकता है , उन्हें एक-एक करके उनके चिन्हों के साथ जोड़कर.

तो, a 3 और b 2 का योग a 3 + b 2 है।
a 3 - b n और h 5 -d 4 का योग a 3 - b n + h 5 - d 4 है।

कठिनाइयाँ समान चर की समान शक्तियांजोड़ा या घटाया जा सकता है।

तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 है।

यह भी स्पष्ट है कि यदि हम दो वर्ग a, या तीन वर्ग a, या पाँच वर्ग a लेते हैं।

लेकिन डिग्री विभिन्न चरतथा विभिन्न डिग्री समान चर, उन्हें उनके संकेतों में जोड़कर जोड़ा जाना चाहिए।

अत: a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग होता है।

यह स्पष्ट है कि a का वर्ग और a का घन, न तो a के वर्ग का दोगुना है, बल्कि a के घन का दोगुना है।

a 3 b n और 3a 5 b 6 का योग a 3 b n + 3a 5 b 6 है।

घटावशक्तियों को जोड़ के समान ही किया जाता है, सिवाय इसके कि सबट्रेंड के संकेतों को तदनुसार बदला जाना चाहिए।

या:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3एच 2 बी 6 - 4एच 2 बी 6 \u003d -एच 2 बी 6
5 (ए - एच) 6 - 2 (ए - एच) 6 = 3 (ए - एच) 6

शक्ति गुणन

घातों वाली संख्याओं को उनके बीच गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना एक के बाद एक लिखकर अन्य राशियों की तरह गुणा किया जा सकता है।

तो, a 3 को b 2 से गुणा करने का परिणाम a 3 b 2 या aaabb है।

या:
एक्स -3 ए एम = ए एम एक्स -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई

अंतिम उदाहरण में परिणाम समान चर जोड़कर आदेशित किया जा सकता है।
व्यंजक का रूप लेगा: a 5 b 5 y 3 ।

कई संख्याओं (चर) की घातों से तुलना करके, हम देख सकते हैं कि यदि उनमें से किन्हीं दो को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक संख्या (चर) है जिसकी घात बराबर है जोड़शर्तों की डिग्री।

तो, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 ।

यहाँ 5 गुणन के परिणाम की घात है, 2 + 3 के बराबर, पदों की घातों का योग।

तो, a n .a m = a m+n ।

a n के लिए, a को n की घात जितनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;

और a m को उतनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है, जितनी बार घात m के बराबर होता है;

इसीलिए, समान आधार वाली घातों को घातांक जोड़कर गुणा किया जा सकता है।

तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 । और x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6।

या:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन + 1

गुणा करें (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)।
उत्तर: x 4 - y 4।
गुणा करें (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)।

यह नियम उन संख्याओं के लिए भी सही है जिनके घातांक − . हैं नकारात्मक.

1. तो, a -2 .a -3 = a -5 । इसे (1/आ) के रूप में लिखा जा सकता है। (1/आआ) = 1/आआ।

2. y-n .y-m = y-n-m ।

3. ए -एन .ए एम = ए एम-एन।

यदि a + b को a - b से गुणा किया जाता है, तो परिणाम a 2 - b 2 होगा, अर्थात

दो संख्याओं के योग या अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग या अंतर के बराबर होता है।

यदि दो संख्याओं का योग और अंतर बढ़ा दिया जाए वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के बराबर होगा चौथीडिग्री।

तो, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 ।
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ।
(ए 4 - वाई 4)⋅(ए 4 + वाई 4) = ए 8 - वाई 8।

डिग्री का विभाजन

घात वाली संख्याओं को भाजक से घटाकर या भिन्न के रूप में रखकर अन्य संख्याओं की तरह विभाजित किया जा सकता है।

तो a 3 b 2 को b 2 से भाग देने पर a 3 होता है।

5 को 3 से विभाजित करना $\frac . जैसा दिखता है $. लेकिन यह 2 के बराबर है। संख्याओं की एक श्रृंखला में
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 ।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और घातांक बराबर होगा अंतरविभाज्य संख्याओं के संकेतक।

शक्तियों को विभाजित करते समय एक ही आधारउनके अंक घटाए जाते हैं।.

तो, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 । यानी $\frac = y$।

और a n+1:a = a n+1-1 = a n । अर्थात्, $\frac = a^n$।

या:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (बी + वाई) एन: 3 (बी + वाई) 3 = 4 (बी + वाई) एन -3

नियम संख्याओं के लिए भी मान्य है नकारात्मकडिग्री मान।
a -5 को -3 से विभाजित करने का परिणाम एक -2 है।
साथ ही, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

एच 2: एच -1 = एच 2+1 = एच 3 या $ एच ^ 2: \ फ्रैक = एच ^ 2। \ फ्रैक = एच ^ 3 $

शक्तियों के गुणन और विभाजन में बहुत अच्छी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि इस तरह के ऑपरेशन बीजगणित में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

घातांक वाली संख्याओं वाले भिन्नों वाले उदाहरणों को हल करने के उदाहरण

1. $\frac $ में घातांक कम करें उत्तर: $\frac $।

2. घातांक को $\frac$ में घटाएं। उत्तर: $\frac $ या 2x।

3. घातांक a 2 / a 3 और a -3 / a -4 घटाएं और एक सामान्य हर में लाएं।
a 2 .a -4 एक -2 प्रथम अंश है।
a 3 .a -3 एक 0 = 1 है, दूसरा अंश।
a 3 .a -4 एक -1 है, जो सामान्य अंश है।
सरलीकरण के बाद: a -2 /a -1 और 1/a -1 ।

4. घातांक 2a 4/5a 3 और 2/a 4 को घटाएं और एक सार्व हर में लाएं।
उत्तर: 2a 3/5a 7 और 5a 5/5a 7 या 2a 3/5a 2 और 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 को (a - b)/3 से गुणा करें।

6. (a 5 + 1)/x 2 को (b 2 - 1)/(x + a) से गुणा करें।

7. b 4 /a -2 को h -3 /x और a n /y -3 से गुणा करें।

8. 4 /y 3 को 3 /y 2 से भाग दें। उत्तर: ए / वाई।

डिग्री गुण

हम आपको याद दिलाते हैं कि यह सबकसमझना डिग्री गुणप्राकृतिक संकेतकों और शून्य के साथ। तर्कसंगत संकेतकों और उनके गुणों के साथ डिग्री पर ग्रेड 8 के पाठों में चर्चा की जाएगी।

एक प्राकृतिक घातांक वाले घातांक में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो आपको घातांक उदाहरणों में गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

संपत्ति #1
शक्तियों का उत्पाद

जब एक ही आधार से घातों को गुणा किया जाता है, तो आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक जोड़े जाते हैं।

a m a n \u003d a m + n, जहाँ "a" कोई भी संख्या है, और "m", "n" कोई भी प्राकृत संख्या है।

डिग्री का यह गुण भी प्रभावित करता है तीन . का उत्पादऔर अधिक डिग्री।

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
बी बी 2 बी 3 बी 4 बी 5 = बी 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = बी 15
उपाधि के रूप में प्रस्तुत करें।
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
उपाधि के रूप में प्रस्तुत करें।
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

कृपया ध्यान दें कि संकेतित संपत्ति में यह केवल समान आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करने के बारे में था।. यह उनके जोड़ पर लागू नहीं होता है।

आप योग (3 3 + 3 2) को 3 5 से प्रतिस्थापित नहीं कर सकते। यह समझ में आता है अगर
गणना करें (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 और 3 5 = 243

संपत्ति #2
निजी डिग्री

एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, आधार अपरिवर्तित रहता है, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाया जाता है।

भागफल को घात के रूप में लिखें
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
गणना करें।

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
उदाहरण। प्रश्न हल करें। हम आंशिक डिग्री की संपत्ति का उपयोग करते हैं।
3 8: टी = 3 4

उत्तर: टी = 3 4 = 81

गुण संख्या 1 और संख्या 2 का उपयोग करके, आप आसानी से भावों को सरल बना सकते हैं और गणना कर सकते हैं।

उदाहरण। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

उदाहरण। डिग्री गुणों का उपयोग करके व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

2 11 − 5 = 2 6 = 64

कृपया ध्यान दें कि संपत्ति 2 केवल समान आधारों के साथ शक्तियों के विभाजन से संबंधित है।

आप अंतर (4 3 −4 2) को 4 1 से नहीं बदल सकते। यह समझ में आता है यदि आप गणना करते हैं (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, और 4 1 = 4

संपत्ति #3
घातांक

किसी घात को घात में बढ़ाते समय, घात का आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक गुणा किए जाते हैं।

(ए एन) एम \u003d ए एन एम, जहां "ए" कोई संख्या है, और "एम", "एन" कोई भी प्राकृतिक संख्या है।

हम आपको याद दिलाते हैं कि भागफल को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, हम अगले पृष्ठ पर एक अंश को एक घात में बढ़ाने के विषय पर अधिक विस्तार से ध्यान देंगे।

शक्तियों को कैसे गुणा करें

शक्तियों को कैसे गुणा करें? किन शक्तियों को गुणा किया जा सकता है और कौन सी नहीं? आप किसी संख्या को घात से कैसे गुणा करते हैं?

बीजगणित में, आप दो स्थितियों में घातांक का गुणनफल पा सकते हैं:

1) यदि डिग्रियों का आधार समान है;

2) यदि डिग्री में समान संकेतक हैं।

समान आधार से घातों को गुणा करते समय, आधार वही रहना चाहिए, और घातांक जोड़े जाने चाहिए:

समान संकेतकों के साथ डिग्री गुणा करते समय, कुल संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है:

विशिष्ट उदाहरणों के साथ, शक्तियों को गुणा करने के तरीके पर विचार करें।

घातांक में इकाई नहीं लिखी जाती है, लेकिन डिग्री को गुणा करते समय, वे ध्यान में रखते हैं:

गुणा करते समय, डिग्री की संख्या कोई भी हो सकती है। यह याद रखना चाहिए कि आप अक्षर से पहले गुणन चिह्न नहीं लिख सकते हैं:

भावों में, घातांक पहले किया जाता है।

यदि आपको किसी संख्या को घात से गुणा करने की आवश्यकता है, तो आपको पहले घातांक करना होगा, और उसके बाद ही - गुणा करना होगा:

एक ही आधार के साथ शक्तियों को गुणा करना

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इस पाठ में, हम सीखेंगे कि समान आधार से घातों को कैसे गुणा किया जाए। सबसे पहले, हम डिग्री की परिभाषा को याद करते हैं और समानता की वैधता पर एक प्रमेय तैयार करते हैं . फिर हम विशिष्ट संख्याओं पर इसके अनुप्रयोग के उदाहरण देते हैं और इसे सिद्ध करते हैं। हम विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए प्रमेय को भी लागू करेंगे।

विषय: एक प्राकृतिक संकेतक और उसके गुणों के साथ डिग्री

पाठ: समान आधारों से घातों को गुणा करना (सूत्र)

1. मूल परिभाषाएं

बुनियादी परिभाषाएँ:

एन- प्रतिपादक,

— एन-एक संख्या की शक्ति।

2. प्रमेय का कथन 1

प्रमेय 1.किसी भी संख्या के लिए एकऔर कोई भी प्राकृतिक एनतथा कसमानता सत्य है:

दूसरे शब्दों में: if एक- कोई संख्या; एनतथा कप्राकृतिक संख्याएँ, तब:

इसलिए नियम 1:

3. कार्यों की व्याख्या करना

निष्कर्ष:विशेष मामलों ने प्रमेय संख्या 1 की शुद्धता की पुष्टि की। आइए हम इसे सामान्य स्थिति में सिद्ध करें, अर्थात किसी के लिए एकऔर कोई भी प्राकृतिक एनतथा क।

4. प्रमेय का प्रमाण 1

एक नंबर दिया गया एक- कोई; नंबर एनतथा क-प्राकृतिक। सिद्ध करना:

प्रमाण डिग्री की परिभाषा पर आधारित है।

5. प्रमेय 1 का प्रयोग करके उदाहरणों का हल

उदाहरण 1:उपाधि के रूप में प्रस्तुत करें।

निम्नलिखित उदाहरणों को हल करने के लिए, हम प्रमेय 1 का उपयोग करते हैं।

तथा)

6. प्रमेय का सामान्यीकरण 1

यहाँ एक सामान्यीकरण है:

7. प्रमेय 1 के सामान्यीकरण का उपयोग करके उदाहरणों का समाधान

8. प्रमेय का प्रयोग करके विभिन्न समस्याओं को हल करना 1

उदाहरण 2:गणना करें (आप मूल डिग्री की तालिका का उपयोग कर सकते हैं)।

एक) (तालिका के अनुसार)

बी)

उदाहरण 3:आधार 2 के साथ एक शक्ति के रूप में लिखें।

एक)

उदाहरण 4:संख्या का संकेत निर्धारित करें:

, एक -ऋणात्मक क्योंकि -13 पर घातांक विषम है।

उदाहरण 5:( ) को आधार वाली घात से बदलें आर:

हमारे पास है, अर्थात्।

9. सारांशित करना

1. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनिमोविच ई.ए. एट अल। बीजगणित 7. छठा संस्करण। एम.: ज्ञानोदय। 2010

1. स्कूल सहायक (स्रोत)।

1. डिग्री के रूप में व्यक्त करें:

ए बी सी डी ई)

3. आधार 2 के साथ एक शक्ति के रूप में लिखें:

4. संख्या का चिन्ह निर्धारित करें:

एक)

5. किसी संख्या की घात के साथ ( ) को आधार से बदलें आर:

क) आर 4 ( ) = आर 15 ; बी) ( ) आर 5 = आर 6

एक ही घातांक के साथ शक्तियों का गुणन और विभाजन

इस पाठ में हम समान घातांक वाली घातों के गुणन का अध्ययन करेंगे। सबसे पहले, आइए बुनियादी परिभाषाओं और प्रमेयों को याद करें जो समान आधारों के साथ शक्तियों को गुणा और विभाजित करते हैं और एक शक्ति को एक शक्ति में बढ़ाते हैं। फिर हम समान घातांक वाले गुणन और घातों के विभाजन पर प्रमेय बनाते और सिद्ध करते हैं। और फिर उनकी मदद से हम कई विशिष्ट समस्याओं का समाधान करेंगे।

बुनियादी परिभाषाओं और प्रमेयों की याद

यहां एक- डिग्री का आधार

— एन-एक संख्या की शक्ति।

प्रमेय 1.किसी भी संख्या के लिए एकऔर कोई भी प्राकृतिक एनतथा कसमानता सत्य है:

समान आधार से घातों को गुणा करने पर, घातांक जोड़े जाते हैं, आधार अपरिवर्तित रहता है।

प्रमेय 2।किसी भी संख्या के लिए एकऔर कोई भी प्राकृतिक एनतथा क,ऐसा है कि एन > कसमानता सत्य है:

एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, घातांक घटाए जाते हैं, और आधार अपरिवर्तित रहता है।

प्रमेय 3.किसी भी संख्या के लिए एकऔर कोई भी प्राकृतिक एनतथा कसमानता सत्य है:

उपरोक्त सभी प्रमेय समान शक्तियों के बारे में थे मैदान, यह पाठ उसी के साथ डिग्री पर विचार करेगा संकेतक.

समान घातांक वाली घातों को गुणा करने के उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

आइए डिग्री निर्धारित करने के लिए व्यंजक लिखें।

निष्कर्ष:उदाहरणों से, आप देख सकते हैं कि , लेकिन यह अभी भी साबित करने की जरूरत है। हम प्रमेय बनाते हैं और इसे सामान्य स्थिति में सिद्ध करते हैं, अर्थात किसी के लिए एकतथा बीऔर कोई भी प्राकृतिक एन।

प्रमेय 4 . का कथन और प्रमाण

किसी भी संख्या के लिए एकतथा बीऔर कोई भी प्राकृतिक एनसमानता सत्य है:

सबूतप्रमेय 4 .

डिग्री की परिभाषा के अनुसार:

तो हमने साबित कर दिया है कि .

एक ही घातांक के साथ शक्तियों को गुणा करने के लिए, यह आधारों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और घातांक को अपरिवर्तित छोड़ दें।

प्रमेय 5 . का कथन और प्रमाण

हम समान घातांक के साथ घातों को विभाजित करने के लिए एक प्रमेय तैयार करते हैं।

किसी भी संख्या के लिए एकतथा बी() और कोई भी प्राकृतिक एनसमानता सत्य है:

सबूतप्रमेय 5 .

आइए नीचे लिखें और डिग्री की परिभाषा के अनुसार:

प्रमेयों का कथन शब्दों में

तो हमने इसे साबित कर दिया है।

एक ही घातांक के साथ डिग्री को एक दूसरे में विभाजित करने के लिए, यह एक आधार को दूसरे से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, और घातांक को अपरिवर्तित छोड़ दें।

प्रमेय 4 का प्रयोग करके विशिष्ट समस्याओं का समाधान

उदाहरण 1:शक्तियों के उत्पाद के रूप में व्यक्त करें।

निम्नलिखित उदाहरणों को हल करने के लिए, हम प्रमेय 4 का प्रयोग करते हैं।

निम्नलिखित उदाहरण को हल करने के लिए, सूत्रों को याद करें:

प्रमेय 4 . का सामान्यीकरण

प्रमेय 4 का सामान्यीकरण:

सामान्यीकृत प्रमेय का उपयोग करके उदाहरणों को हल करना 4

विशिष्ट समस्याओं को हल करना जारी रखें

उदाहरण 2:उत्पाद की डिग्री के रूप में लिखें।

उदाहरण 3: 2 के घातांक वाली घात के रूप में लिखिए।

गणना उदाहरण

उदाहरण 4:सबसे तर्कसंगत तरीके से गणना करें।

2. मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7. एम .: वेंटाना-ग्राफ

3. कोल्यागिन यू.एम., तकाचेवा एम.वी., फेडोरोवा एन.ई. और अन्य। बीजगणित 7 .M ।: शिक्षा। 2006

2. स्कूल सहायक (स्रोत)।

1. शक्तियों के उत्पाद के रूप में मौजूद:

एक) ; बी) ; में) ; जी) ;

2. उत्पाद की डिग्री के रूप में लिखें:

3. डिग्री के रूप में 2 के संकेतक के साथ लिखें:

4. सबसे तर्कसंगत तरीके से गणना करें।

"गुणों का गुणन और विभाजन" विषय पर गणित का पाठ

अनुभाग:गणित

शैक्षणिक लक्ष्य:

छात्र सीखेगाएक प्राकृतिक घातांक के साथ गुणन और शक्तियों के विभाजन के गुणों के बीच अंतर करना; इन गुणों को समान आधारों के मामले में लागू करें;

छात्र के पास अवसर होगाके साथ शक्ति रूपांतरण करने में सक्षम हो अलग आधारऔर संयुक्त कार्यों में परिवर्तन करने में सक्षम हो।

कार्य:

पहले से अध्ययन की गई सामग्री को दोहराकर छात्रों के काम को व्यवस्थित करना;

विभिन्न प्रकार के व्यायाम करके प्रजनन के स्तर को सुनिश्चित करना;

परीक्षण के माध्यम से छात्रों के स्व-मूल्यांकन को व्यवस्थित करें।

सिद्धांत की गतिविधि इकाइयाँ:एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री का निर्धारण; डिग्री घटक; निजी की परिभाषा; गुणन का साहचर्य नियम।

I. छात्रों द्वारा मौजूदा ज्ञान में महारत हासिल करने के प्रदर्शन का संगठन। (स्टेप 1)

ए) ज्ञान को अद्यतन करना:

2) एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री की परिभाषा तैयार करें।

ए एन \u003d ए ए ए ए ... ए (एन बार)

b k \u003d b b b b a ... b (k बार) अपने उत्तर की पुष्टि करें।

द्वितीय. प्रासंगिक अनुभव के कब्जे की डिग्री द्वारा प्रशिक्षु के स्व-मूल्यांकन का संगठन। (चरण दो)

स्व-परीक्षा के लिए परीक्षण: (दो संस्करणों में व्यक्तिगत कार्य।)

A1) गुणनफल 7 7 7 7 x x x को घात के रूप में व्यक्त करें:

ए 2) उत्पाद के रूप में व्यक्त करें डिग्री (-3) 3 x 2

ए 3) गणना करें: -2 3 2 + 4 5 3

मैं कक्षा स्तर की तैयारी के अनुसार परीक्षण में कार्यों की संख्या का चयन करता हूं।

परीक्षण के लिए, मैं आत्म-परीक्षण की कुंजी देता हूं। मानदंड: पास-फेल।

III. शैक्षिक और व्यावहारिक कार्य (चरण 3) + चरण 4। (छात्र स्वयं गुण तैयार करेंगे)

गणना करें: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

सरल कीजिए: a 2 a 20 =? ख 30 ख 10 ख 15 = ?

समस्याओं को हल करने के दौरान 1) और 2), छात्र एक समाधान का प्रस्ताव करते हैं, और मैं, एक शिक्षक के रूप में, समान आधारों से गुणा करते समय शक्तियों को सरल बनाने का एक तरीका खोजने के लिए एक कक्षा का आयोजन करता हूं।

शिक्षक: समान आधार से गुणा करने पर घातों को सरल बनाने का एक तरीका खोजें।

क्लस्टर पर एक प्रविष्टि दिखाई देती है:

पाठ का विषय तैयार किया गया है। शक्तियों का गुणन।

शिक्षक: डिग्री को समान आधारों से विभाजित करने के लिए एक नियम के साथ आओ।

रीजनिंग: कौन सी कार्रवाई विभाजन की जाँच करती है? ए 5: ए 3 =? कि ए 2 ए 3 = ए 5

मैं योजना पर लौटता हूं - एक क्लस्टर और प्रविष्टि को पूरक करता हूं - .. विभाजित करते समय, पाठ का विषय घटाएं और जोड़ें। ... और डिग्री का विभाजन।

चतुर्थ। ज्ञान की सीमा के छात्रों के लिए संचार (न्यूनतम और अधिकतम के रूप में)।

शिक्षक: आज के पाठ के लिए न्यूनतम का कार्य यह सीखना है कि समान आधारों के साथ गुणा और शक्तियों के विभाजन के गुणों को कैसे लागू किया जाए, और अधिकतम: गुणा और भाग को एक साथ लागू करना।

बोर्ड पर लिखो : ए एम ए एन = ए एम + एन; एक एम: एक एन = एक एम-एन

V. नई सामग्री के अध्ययन का संगठन। (चरण 5)

ए) पाठ्यपुस्तक के अनुसार: संख्या 403 (ए, सी, ई) विभिन्न शब्दों के साथ कार्य

नंबर 404 (ए, ई, एफ) स्वतंत्र कार्य, फिर मैं एक पारस्परिक जांच का आयोजन करता हूं, मैं चाबियाँ देता हूं।

b) m के किस मान के लिए समानता है? ए 16 ए एम \u003d ए 32; एक्स एच एक्स 14 = एक्स 28; एक्स 8 (*) = एक्स 14

कार्य: विभाजन के लिए समान उदाहरण प्रस्तुत करें।

सी) नंबर 417 (ए), नंबर 418 (ए) छात्रों के लिए जाल: एक्स 3 एक्स एन = एक्स 3एन; 3 4 3 2 = 9 6; ए 16: ए 8 \u003d ए 2.

VI. जो सीखा गया है उसे सारांशित करना, नैदानिक कार्य करना (जो छात्रों को प्रोत्साहित करता है, शिक्षकों को नहीं, इस विषय का अध्ययन करने के लिए) (चरण 6)

नैदानिक कार्य।

परीक्षण(चाबियाँ चालू करें विपरीत पक्षपरीक्षण)।

कार्य विकल्प: भागफल x 15: x 3 डिग्री के रूप में प्रस्तुत करें; एक शक्ति के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं उत्पाद (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; जिसके लिए m समानता a 16 a m = a 32 सत्य है; व्यंजक h 0: h 2 का h = 0.2 पर मान ज्ञात कीजिए; व्यंजक के मान की गणना करें (5 2 5 0) : 5 2 ।

पाठ का सारांश। प्रतिबिंब।मैं कक्षा को दो समूहों में विभाजित करता हूँ।

समूह I के तर्क खोजें: डिग्री के गुणों के ज्ञान के पक्ष में, और समूह II - तर्क जो कहेंगे कि आप गुणों के बिना कर सकते हैं। हम सभी उत्तरों को सुनते हैं, निष्कर्ष निकालते हैं। बाद के पाठों में, आप सांख्यिकीय डेटा की पेशकश कर सकते हैं और रूब्रिक को नाम दे सकते हैं "यह मेरे दिमाग में फिट नहीं है!"

औसत व्यक्ति अपने जीवन काल में 32 10 2 किलो खीरा खाता है।

ततैया 3.2 10 2 किमी की नॉन-स्टॉप उड़ान भरने में सक्षम है।

जब कांच टूटता है, तो दरार लगभग 5 10 3 किमी/घंटा की गति से फैलती है।

एक मेंढक अपने जीवन काल में 3 टन से अधिक मच्छरों को खा जाता है। डिग्री का प्रयोग करते हुए किग्रा में लिखिए।

सबसे विपुल समुद्री मछली है - चंद्रमा (मोला मोला), जो एक स्पॉनिंग में लगभग 1.3 मिमी के व्यास के साथ 300,000,000 अंडे देती है। इस संख्या को डिग्री की सहायता से लिखिए।

सातवीं। गृहकार्य।

इतिहास संदर्भ। फ़र्मेट नंबर किसे कहते हैं।

पी.19. #403, #408, #417

प्रयुक्त पुस्तकें:

पाठ्यपुस्तक "बीजगणित -7", लेखक यू.एन. मकारिचेव, एन.जी. मिंड्युक और अन्य।

ग्रेड 7, एल.वी. के लिए उपदेशात्मक सामग्री। कुज़नेत्सोवा, एल.आई. ज़वाविच, एस.बी. सुवोरोव।

गणित का विश्वकोश।

जर्नल "क्वांटम"।

डिग्री, फॉर्मूलेशन, सबूत, उदाहरण के गुण।

संख्या की डिग्री निर्धारित होने के बाद, बात करना तर्कसंगत है डिग्री गुण. इस लेख में, हम सभी संभावित घातांकों को स्पर्श करते हुए, किसी संख्या की घात के मूल गुण देंगे। यहां हम डिग्री के सभी गुणों का प्रमाण देंगे, और यह भी दिखाएंगे कि उदाहरणों को हल करते समय इन गुणों को कैसे लागू किया जाता है।

पृष्ठ नेविगेशन।

प्राकृतिक संकेतकों के साथ डिग्री के गुण

एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक शक्ति की परिभाषा के अनुसार, n की शक्ति n कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक एक के बराबर है। इस परिभाषा के आधार पर, और प्रयोग वास्तविक संख्या गुणन गुण, हम निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं और उसका औचित्य सिद्ध कर सकते हैं प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के गुण:

डिग्री की मुख्य संपत्ति a m ·a n =a m+n , इसका सामान्यीकरण a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों का गुण a m:a n =a m−n ;

उत्पाद डिग्री गुण (a b) n =a n b n , इसका विस्तार (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n;

प्रकार में भागफल संपत्ति (a:b) n =a n:b n;

घातांक (a m) n =a m n , इसका सामान्यीकरण (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

शून्य के साथ डिग्री की तुलना:

अगर a>0 , तो a n >0 किसी भी प्राकृतिक n के लिए;
यदि a=0 , तो a n =0 ;
यदि a 2 m >0 , यदि a 2 m−1 n ;
यदि m और n प्राकृत संख्याएँ हैं जैसे कि m>n , तो 0m n के लिए, और a>0 के लिए असमानता a m >a n सत्य है।

हम तुरंत ध्यान दें कि सभी लिखित समानताएं हैं सदृशनिर्दिष्ट शर्तों के तहत, और उनके दाएं और बाएं हिस्सों को आपस में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न का मुख्य गुण a m a n = a m + n with भावों का सरलीकरणअक्सर a m+n = a m a n के रूप में उपयोग किया जाता है।

आइए अब उनमें से प्रत्येक को विस्तार से देखें।

आइए एक ही आधार वाले दो घातों के गुणनफल के गुण से शुरू करते हैं, जिसे कहा जाता है डिग्री की मुख्य संपत्ति: किसी भी वास्तविक संख्या a और किसी भी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए, समानता a m ·a n =a m+n सत्य है।

आइए हम डिग्री की मुख्य संपत्ति को साबित करें। एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा के अनुसार, a m a n के समान आधार वाली शक्तियों के उत्पाद को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है . गुणन के गुणों के कारण, परिणामी व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: , और यह उत्पाद प्राकृतिक घातांक m+n के साथ a की शक्ति है, अर्थात a m+n । यह सबूत पूरा करता है।

आइए एक उदाहरण दें जो डिग्री की मुख्य संपत्ति की पुष्टि करता है। आइए समान आधारों 2 और प्राकृतिक शक्तियों 2 और 3 के साथ डिग्री लें, डिग्री की मुख्य संपत्ति के अनुसार, हम समानता 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 लिख सकते हैं। आइए इसकी वैधता की जांच करें, जिसके लिए हम 2 2 ·2 3 और 2 5 के भावों के मूल्यों की गणना करते हैं। घातांक प्रदर्शन करते हुए, हमारे पास 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 और 2 5 =2 2 2 2 2=32 है, क्योंकि हमें समान मान मिलते हैं, तो समानता 2 2 2 3 = 25 सत्य है, और यह डिग्री के मुख्य गुण की पुष्टि करता है।

गुणन के गुणों के आधार पर डिग्री की मुख्य संपत्ति को तीन और . के गुणनफल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है अधिकसमान आधारों और प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री। तो किसी भी संख्या k के लिए प्राकृतिक संख्या n 1 , n 2 , …, n k समानता a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k सत्य है।

उदाहरण के लिए, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17।

आप एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री के अगले गुण पर जा सकते हैं - समान आधार वाली आंशिक शक्तियों की संपत्ति: किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या a और मनमानी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए शर्त m>n को संतुष्ट करने के लिए, समानता a m:a n =a m−n सत्य है।

इस संपत्ति का प्रमाण देने से पहले, आइए हम बयान में अतिरिक्त शर्तों के अर्थ पर चर्चा करें। 0 n = 0 के बाद से शून्य से विभाजन से बचने के लिए शर्त a≠0 आवश्यक है, और जब हम विभाजन से परिचित हुए, तो हम सहमत हुए कि शून्य से विभाजित करना असंभव है। शर्त m>n पेश की गई है ताकि हम प्राकृतिक घातांक से आगे न जाएं। वास्तव में, m>n के लिए, घातांक a m−n एक प्राकृत संख्या है, अन्यथा यह या तो शून्य होगा (जो तब होता है जब m−n) या ऋणात्मक संख्या (जो तब होती है जब m m−n a n =a (m−n) + n = a m प्राप्त समानता a m−n a n = a m से और भाग के साथ गुणन के संबंध से यह निम्नानुसार है कि m−n, m और a n की आंशिक घात है यह समान आधारों के साथ आंशिक घातों के गुण को सिद्ध करता है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। आइए समान आधार π और प्राकृतिक घातांक 5 और 2 के साथ दो डिग्री लें, डिग्री की मानी गई संपत्ति समानता π 5: π 2 = π 5−3 = π 3 से मेल खाती है।

अब विचार करें उत्पाद डिग्री संपत्ति: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के गुणनफल की प्राकृतिक घात n, a n और b n के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात (a b) n =a n b n।

वास्तव में, एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है . आखरी भागगुणन के गुणों के आधार पर फिर से लिखा जा सकता है , जो a n b n के बराबर है।

यहाँ एक उदाहरण है: .

यह संपत्ति तीन या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री तक फैली हुई है। अर्थात्, k कारकों के गुणनफल की प्राकृतिक डिग्री संपत्ति n को (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n के रूप में लिखा जाता है।

स्पष्टता के लिए, हम इस संपत्ति को एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं। तीन कारकों के गुणनफल से 7 की घात के लिए, हमारे पास .

अगली संपत्ति है प्राकृतिक संपत्ति: वास्तविक संख्या a और b का भागफल, b≠0 से प्राकृतिक घात n, घातों a n और b n के भागफल के बराबर है, अर्थात (a:b) n =a n:b n।

पिछली संपत्ति का उपयोग करके सबूत किया जा सकता है। तो (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , और समानता से (a:b) n b n =a n यह इस प्रकार है कि (a:b) n b n पर a n का एक भागफल है।

आइए विशिष्ट संख्याओं के उदाहरण का उपयोग करके इस गुण को लिखें: .

अब आवाज करते हैं घातांक संपत्ति: किसी भी वास्तविक संख्या a और किसी भी प्राकृत संख्या m और n के लिए, m की घात n की घात के लिए घातांक m·n के साथ a की घात के बराबर है, अर्थात (a m) n =a m·n ।

उदाहरण के लिए, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6।

एक डिग्री में शक्ति संपत्ति का प्रमाण समानता की निम्नलिखित श्रृंखला है: .

मानी गई संपत्ति को डिग्री के भीतर डिग्री के भीतर डिग्री तक बढ़ाया जा सकता है, और इसी तरह। उदाहरण के लिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या p, q, r, और s के लिए, समानता . अधिक स्पष्टता के लिए, आइए विशिष्ट संख्याओं के साथ एक उदाहरण दें: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 ।

यह एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की तुलना करने के गुणों पर ध्यान केंद्रित करता है।

हम एक प्राकृतिक घातांक के साथ शून्य और शक्ति की तुलना संपत्ति को साबित करके शुरू करते हैं।

सबसे पहले, किसी a>0 के लिए a n >0 को उचित ठहराते हैं।

गुणन की परिभाषा के अनुसार दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है। यह तथ्य और गुणन के गुण हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि किसी भी सकारात्मक संख्या को गुणा करने का परिणाम भी एक सकारात्मक संख्या होगी। और प्राकृतिक घातांक n के साथ की शक्ति, परिभाषा के अनुसार, n कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक के बराबर है। ये तर्क हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि किसी भी सकारात्मक आधार के लिए n की डिग्री एक सकारात्मक संख्या है। सिद्ध संपत्ति के आधार पर 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 और .

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए a=0 साथ n की डिग्री शून्य है। दरअसल, 0 n =0·0·…·0=0 । उदाहरण के लिए, 0 3 =0 और 0 762 =0 ।

आइए नकारात्मक आधारों पर चलते हैं।

आइए उस स्थिति से शुरू करें जब घातांक एक सम संख्या हो, इसे 2 m के रूप में निरूपित करें, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। फिर . ऋणात्मक संख्याओं के गुणन के नियम के अनुसार, a के रूप का प्रत्येक गुणनफल a और a के मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि यह एक धनात्मक संख्या है। इसलिए उत्पाद भी सकारात्मक होगा। और डिग्री ए 2 मी। यहां उदाहरण दिए गए हैं: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 और ।

अंत में, जब a का आधार एक ऋणात्मक संख्या है और घातांक एक विषम संख्या 2 m−1 है, तो . सभी उत्पाद a·a धनात्मक संख्याएँ हैं, इन धनात्मक संख्याओं का गुणनफल भी धनात्मक होता है, और शेष ऋणात्मक संख्या से इसके गुणन से ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। इस गुण के आधार पर, (−5) 3 17 n n वास्तविक असमानताओं के बाएँ और दाएँ भागों का गुणनफल है a असमानताओं के गुण, सिद्ध की जा रही असमानता के रूप में है n n । उदाहरण के लिए, इस संपत्ति के कारण, असमानताएँ 3 7 7 और .

यह प्राकृतिक प्रतिपादकों के साथ शक्तियों के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को साबित करना बाकी है। आइए इसे तैयार करें। प्राकृतिक संकेतकों के साथ दो डिग्री और एक से कम समान सकारात्मक आधारों में से, डिग्री अधिक है, जिसका संकेतक कम है; और प्राकृतिक संकेतकों के साथ दो डिग्री और एक से अधिक समान आधार, जिस डिग्री का संकेतक अधिक होता है वह अधिक होता है। हम इस संपत्ति के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं।

आइए हम साबित करें कि m>n और 0m n के लिए। ऐसा करने के लिए, हम अंतर a m - a n लिखते हैं और इसकी तुलना शून्य से करते हैं। कोष्ठक में से n निकालने के बाद लिखित अंतर a n ·(a m−n −1) का रूप ले लेगा। परिणामी उत्पाद ऋणात्मक है क्योंकि धनात्मक संख्या a n और ऋणात्मक संख्या a m−n −1 का गुणनफल है (a n धनात्मक संख्या की प्राकृतिक शक्ति के रूप में धनात्मक है, और m−n −1 का अंतर ऋणात्मक है, क्योंकि m−n >0 प्रारंभिक स्थिति m>n के कारण, जहां से यह इस प्रकार है कि 0m−n के लिए यह एक से कम है)। इसलिए, a m - a n m n , जिसे सिद्ध किया जाना था। उदाहरण के लिए, हम सही असमानता देते हैं।

यह संपत्ति का दूसरा हिस्सा साबित करना बाकी है। आइए हम सिद्ध करें कि m>n और a>1 के लिए, a m >a n सत्य है। कोष्ठक में से n निकालने के बाद a m −a n का अंतर a n ·(a m−n −1) का रूप ले लेता है। यह उत्पाद धनात्मक है, क्योंकि a>1 के लिए n की घात एक धनात्मक संख्या है, और अंतर a m−n −1 एक धनात्मक संख्या है, क्योंकि m−n>0 प्रारंभिक स्थिति के कारण, और a>1 के लिए, m−n की घात एक से अधिक होती है। इसलिए, a m - a n >0 और a m >a n , जिसे सिद्ध किया जाना था। यह गुण असमानता 3 7 >3 2 द्वारा दर्शाया गया है।

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुण

चूँकि धनात्मक पूर्णांक प्राकृत संख्याएँ हैं, तो धनात्मक पूर्णांक घातांक वाली घातों के सभी गुण पिछले अनुच्छेद में सूचीबद्ध और सिद्ध किए गए प्राकृतिक घातांक वाले घातों के गुणों से बिल्कुल मेल खाते हैं।

हमने एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री को परिभाषित किया है, साथ ही एक शून्य घातांक के साथ एक डिग्री को इस तरह से परिभाषित किया है कि समानता द्वारा व्यक्त प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण वैध रहते हैं। इसलिए, ये सभी गुण शून्य घातांक और ऋणात्मक घातांक दोनों के लिए मान्य हैं, जबकि, निश्चित रूप से, डिग्री के आधार गैर-शून्य हैं।

तो, किसी भी वास्तविक और गैर-शून्य संख्या ए और बी के साथ-साथ किसी भी पूर्णांक एम और एन के लिए, निम्नलिखित सत्य हैं पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुण:

ए एम ए एन \u003d ए एम + एन;
ए एम: ए एन = ए एम−एन;
(ए बी) एन = ए एन बी एन;
(ए: बी) एन = ए एन: बी एन;
(ए एम) एन = एक एम एन;
यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है, a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, और a n n और a−n>b−n ;
यदि m और n पूर्णांक हैं, और m>n , तो 0m n के लिए, और a>1 के लिए, असमानता a m >a n संतुष्ट है।

a=0 के लिए, घात a m और a n तभी समझ में आता है जब m और n दोनों धनात्मक पूर्णांक हों, अर्थात प्राकृत संख्याएँ। इस प्रकार, अभी लिखे गए गुण उन मामलों के लिए भी मान्य हैं जब a=0 और संख्या m और n धनात्मक पूर्णांक हैं।

इन गुणों में से प्रत्येक को साबित करना मुश्किल नहीं है, इसके लिए प्राकृतिक और पूर्णांक घातांक के साथ-साथ वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणों की डिग्री की परिभाषाओं का उपयोग करना पर्याप्त है। एक उदाहरण के रूप में, आइए साबित करें कि सकारात्मक पूर्णांक और गैर-धनात्मक पूर्णांक दोनों के लिए शक्ति गुण धारण करता है। ऐसा करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि यदि p शून्य है या प्राकृतिक संख्याऔर q शून्य या एक प्राकृत संख्या है, तो (a p) q =a p q , (a −p) q =a (−p) q , (a p) −q =a p (−q) और (a −p) −q =a (−p) (−q) । हो जाए।

सकारात्मक p और q के लिए, समानता (a p) q =a p·q पिछले उपखंड में सिद्ध हुई थी। अगर p=0 , तो हमारे पास (a 0) q =1 q =1 और a 0 q =a 0 =1 है, जहां से (a 0) q =a 0 q है। इसी तरह, यदि q=0 , तो (a p) 0 =1 और a p 0 =a 0 =1 , जहां से (a p) 0 =a p 0 । यदि दोनों p=0 और q=0 , तो (a 0) 0 =1 0 =1 और a 0 0 =a 0 =1 , जहां से (a 0) 0 =a 0 0 है।

आइए अब हम सिद्ध करें कि (a −p) q =a (−p) q । एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली घात की परिभाषा के अनुसार, तब . अंश में भागफल के गुणधर्म से, हमारे पास है . चूँकि 1 p =1·1·…·1=1 और , तब । अंतिम व्यंजक, परिभाषा के अनुसार, a -(p q) के रूप की एक घात है, जिसे गुणन नियमों के आधार पर a (−p) q के रूप में लिखा जा सकता है।

उसी प्रकार .

और .

उसी सिद्धांत से, एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के अन्य सभी गुणों को समानता के रूप में लिखा जा सकता है।

नीचे लिखे गए गुणों के अंतिम भाग में, यह असमानता के प्रमाण पर रहने लायक है a −n >b −n , जो किसी भी ऋणात्मक पूर्णांक −n और किसी भी धनात्मक a और b के लिए सत्य है जिसके लिए शर्त a . हम इस असमानता के बाएँ और दाएँ भागों के बीच के अंतर को लिखते और बदलते हैं: . चूंकि शर्त के अनुसार a n n , इसलिए, b n - a n >0 । गुणनफल a n ·b n धनात्मक संख्याओं a n और b n के गुणनफल के रूप में भी धनात्मक है। तब परिणामी भिन्न धनात्मक संख्याओं b n - a n और a n b n के भागफल के रूप में धनात्मक होता है। इसलिए, जहां से a −n >b −n , जिसे सिद्ध किया जाना था।

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री की अंतिम संपत्ति उसी तरह साबित होती है जैसे प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की अनुरूप संपत्ति।

परिमेय घातांक वाली शक्तियों के गुण

हमने डिग्री को एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुणों का विस्तार करके एक भिन्नात्मक घातांक के साथ परिभाषित किया है। दूसरे शब्दों में, भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री में पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के समान गुण होते हैं। अर्थात्:

समान आधार वाली शक्तियों के गुणनफल की संपत्ति a>0 के लिए, और यदि और , तो a≥0 के लिए;
समान आधार वाली आंशिक शक्तियों की संपत्ति एक>0 के लिए;
भिन्नात्मक उत्पाद गुण a>0 और b>0 के लिए, और यदि और , तो a≥0 और (या) b≥0 के लिए;
भिन्नात्मक घात का भागफल गुण a>0 और b>0 के लिए, और यदि , तो a≥0 और b>0 के लिए;
डिग्री संपत्ति में डिग्री a>0 के लिए, और यदि और , तो a≥0 के लिए;
समान परिमेय घातांक के साथ घातों की तुलना करने का गुण: किसी भी धनात्मक संख्या a और b के लिए, a 0 असमानता a p p मान्य है, और p p >b p के लिए;
परिमेय घातांक और समान आधारों के साथ घातों की तुलना करने का गुण: परिमेय संख्याओं p और q के लिए, p>q 0p q के लिए, और a>0 के लिए, असमानता a p >a q।

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री के गुणों का प्रमाण भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा पर, nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल के गुणों पर और पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर आधारित होता है। आइए प्रमाण देते हैं।

एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार और, तब . अंकगणितीय मूल के गुण हमें निम्नलिखित समानताएँ लिखने की अनुमति देते हैं। इसके अलावा, एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री की संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं, जहां से, एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा से, हमारे पास है , और प्राप्त डिग्री के प्रतिपादक को निम्नानुसार परिवर्तित किया जा सकता है:। यह सबूत पूरा करता है।

भिन्नात्मक घातांक वाली घातों का दूसरा गुण ठीक उसी तरह सिद्ध होता है:

शेष समानताएं समान सिद्धांतों द्वारा सिद्ध होती हैं:

हम अगली संपत्ति के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं। आइए हम साबित करें कि किसी भी सकारात्मक a और b के लिए, a 0 असमानता a p p मान्य है, और p p >b p के लिए। हम परिमेय संख्या p को m/n के रूप में लिखते हैं, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। इस मामले में शर्तें पी 0 क्रमशः शर्तों एम 0 के बराबर होगी। एम>0 और एम एम के लिए। इस असमानता से, जड़ों की संपत्ति से, हमारे पास है, और चूंकि ए और बी सकारात्मक संख्याएं हैं, फिर, भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के आधार पर, परिणामी असमानता को फिर से लिखा जा सकता है, अर्थात एपी पी।

इसी प्रकार, जब m m >b m , कहाँ से , अर्थात्, और a p >b p ।

यह सूचीबद्ध संपत्तियों में से अंतिम को साबित करने के लिए बनी हुई है। आइए हम साबित करें कि परिमेय संख्याओं p और q के लिए, p>q 0p q के लिए, और a>0 असमानता a p >a q के लिए। हम हमेशा परिमेय संख्या p और q को एक उभयनिष्ठ हर में घटा सकते हैं, भले ही हमें सामान्य भिन्नऔर , जहाँ m 1 और m 2 पूर्णांक हैं, और n एक प्राकृत संख्या है। इस मामले में, शर्त p>q शर्त m 1 >m 2 के अनुरूप होगी, जो समान हर के साथ साधारण भिन्नों की तुलना करने के नियम का अनुसरण करती है। फिर, समान आधारों और प्राकृतिक घातांक के साथ शक्तियों की तुलना करने के गुण से, 0m 1 m 2 के लिए, और a>1 के लिए, असमानता a m 1 >a m 2 के लिए। जड़ों के गुणों के संदर्भ में इन असमानताओं को क्रमशः इस प्रकार लिखा जा सकता है: तथा . और एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा हमें असमानताओं को पारित करने की अनुमति देती है और, क्रमशः। यहां से हम अंतिम निष्कर्ष निकालते हैं: p>q और 0p q के लिए, और a>0 के लिए, असमानता a p >a q।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुण

एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री को कैसे परिभाषित किया जाता है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इसमें परिमेय घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण हैं। तो किसी a>0 , b>0 और अपरिमेय संख्या p और q के लिए निम्नलिखित सत्य हैं अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुण:

ए पी ए क्यू = ए पी + क्यू;
a p:a q = a p−q ;
(ए बी) पी = ए पी बी पी;
(ए: बी) पी = ए पी: बी पी;
(ए पी) क्यू = ए पी क्यू;
किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए a और b , a 0 असमानता a p p मान्य है, और p p >b p के लिए;
अपरिमेय संख्याओं के लिए p और q , p>q के लिए 0p q , और a>0 के लिए असमानता a p >a q ।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a>0 के लिए किसी भी वास्तविक घातांक p और q वाली घातों के गुण समान होते हैं।

बीजगणित - दसवीं कक्षा। त्रिकोणमितीय समीकरण इस विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान" अतिरिक्त सामग्री प्रिय उपयोगकर्ता, अपनी टिप्पणियाँ, प्रतिक्रिया, सुझाव देना न भूलें! सभी सामग्री […]
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यदि आपको किसी विशिष्ट संख्या को घात में बढ़ाने की आवश्यकता है, तो आप इसका उपयोग कर सकते हैं। अब हम करीब से देखेंगे शक्तियों के गुण.

घातीय संख्याबड़ी संभावनाएं खोलते हैं, वे हमें गुणन को जोड़ में बदलने की अनुमति देते हैं, और जोड़ गुणा की तुलना में बहुत आसान है।

उदाहरण के लिए, हमें 16 को 64 से गुणा करना है। इन दो संख्याओं को गुणा करने का गुणनफल 1024 है। लेकिन 16 4x4 है, और 64 4x4x4 है। तो 16 गुना 64=4x4x4x4x4 जो कि 1024 भी है।

संख्या 16 को 2x2x2x2 और 64 को 2x2x2x2x2x2 के रूप में भी दर्शाया जा सकता है, और यदि हम गुणा करते हैं, तो हमें फिर से 1024 मिलता है।

आइए अब नियम का उपयोग करें। 16=4 2 , या 2 4 , 64=4 3 , या 2 6 , जबकि 1024=6 4 =4 5 , या 2 10 ।

इसलिए, हमारी समस्या को दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है: 4 2 x4 3 = 4 5 या 2 4 x2 6 = 2 10, और हर बार हमें 1024 मिलता है।

हम इसी तरह के कई उदाहरणों को हल कर सकते हैं और देख सकते हैं कि घातांक के साथ संख्याओं का गुणन घटकर . हो जाता है घातांक जोड़ना, या एक घातांक, निश्चित रूप से, बशर्ते कि कारकों के आधार समान हों।

इस प्रकार, हम बिना गुणा किए तुरंत कह सकते हैं कि 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20।

संख्याओं को घातों से विभाजित करते समय यह नियम भी सत्य है, लेकिन इस मामले में, e भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाया जाता है. इस प्रकार, 2 5:2 3 =2 2, जो सामान्य संख्याओं में 32:8=4 के बराबर है, अर्थात 2 2। आइए संक्षेप करें:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, जहाँ m और n पूर्णांक हैं।

पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि शक्तियों के साथ संख्याओं का गुणा और भागबहुत सुविधाजनक नहीं है, क्योंकि पहले आपको संख्या को घातीय रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। इस रूप में संख्या 8 और 16 का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल नहीं है, यानी 2 3 और 2 4, लेकिन यह संख्या 7 और 17 के साथ कैसे करें? या उन मामलों में क्या करें जब संख्या को घातीय रूप में दर्शाया जा सकता है, लेकिन संख्याओं के घातीय अभिव्यक्तियों के आधार बहुत भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, 8×9 2 3 x 3 2 है, इस स्थिति में हम घातांकों का योग नहीं कर सकते। न तो 2 5 और न ही 3 5 उत्तर है, न ही दोनों के बीच का उत्तर है।

तो क्या यह इस पद्धति से परेशान होने लायक है? निश्चित रूप से इसके लायक। यह विशेष रूप से जटिल और समय लेने वाली गणनाओं के लिए भारी लाभ प्रदान करता है।

प्राकृतिक विज्ञान और गणित पर लेख

समान आधार वाली शक्तियों के गुण

समान आधार और प्राकृतिक घातांक वाली शक्तियों के तीन गुण हैं। यह

काम जोड़
निजीएक ही आधार वाली दो घातें एक व्यंजक के बराबर होती हैं जहाँ आधार समान होता है और घातांक होता है अंतरमूल गुणकों के संकेतक।
किसी संख्या की घात को घात में बढ़ानाएक व्यंजक के बराबर है जिसमें आधार समान संख्या है और घातांक है कामदो डिग्री।

ध्यान से! के बारे में नियम जोड़ना और घटानाएक ही आधार के साथ शक्तियां मौजूद नहीं.

हम इन गुण-नियमों को सूत्रों के रूप में लिखते हैं:

पूर्वाह्न? एक एन = एक एम + एन
पूर्वाह्न? एक एन = एक एम-एन
(एम) एन = एक एमएन

अब विशिष्ट उदाहरणों पर उन पर विचार करें और सिद्ध करने का प्रयास करें।

5 2 ? 5 3 = 5 5 - यहाँ हमने नियम लागू किया है; और अब कल्पना करें कि अगर हम नियमों को नहीं जानते तो हम इस उदाहरण को कैसे हल करेंगे:

5 2 ? 5 3 = 5? 5 ? 5 ? 5 ? 5 \u003d 5 5 - पाँच वर्ग पाँच गुना पाँच है, और घन तीन पाँचों का गुणनफल है। परिणाम पांच फाइव का उत्पाद है, लेकिन यह पांच से पांचवीं शक्ति के अलावा कुछ और है: 5 5 ।

3 9 ? 3 5 = 3 9-5 = 3 4 । आइए भाग को भिन्न के रूप में लिखें:

इसे छोटा किया जा सकता है:

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

इस प्रकार, हमने साबित किया कि दो शक्तियों को समान आधारों से विभाजित करते समय, उनके संकेतकों को घटाया जाना चाहिए।

हालांकि, विभाजित करते समय, भाजक के लिए यह असंभव है शून्य(क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते)। इसके अलावा, चूंकि हम केवल प्राकृतिक संकेतकों के साथ डिग्री पर विचार कर रहे हैं, हम संकेतकों को घटाने के परिणामस्वरूप 1 से कम संख्या प्राप्त नहीं कर सकते हैं। इसलिए, सूत्र ए एम? a n = a m–n प्रतिबंध लगाए गए हैं: a ? 0 और एम> एन।

आइए तीसरी संपत्ति पर चलते हैं:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

आइए विस्तारित रूप में लिखें:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

आप इस निष्कर्ष पर आ सकते हैं और तार्किक रूप से तर्क कर सकते हैं। आपको दो वर्गों को चार गुना गुणा करना होगा। लेकिन प्रत्येक वर्ग में दो ड्यूस हैं, इसलिए कुल आठ ड्यूस होंगे।

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जोड़ और घटाव के नियम।

1. शब्दों के स्थान में परिवर्तन से, योग नहीं बदलेगा (जोड़ की क्रमागत संपत्ति)

13+25=38 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 25+13=38

2. यदि आसन्न पदों को उनके योग (जोड़ की एक साहचर्य संपत्ति) से बदल दिया जाए तो जोड़ का परिणाम नहीं बदलेगा।

10+13+3+5=31 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 आदि।

3. इकाइयाँ इकाई के साथ जोड़ देती हैं, दहाई से दहाई, इत्यादि।

34+11=45 (3 दहाई जमा 1 दहाई; 4 वाले जमा 1 एक)।

4. इकाइयों में से इकाइयाँ, दहाई से दहाई आदि घटाई जाती हैं।

53-12=41 (3 यूनिट माइनस 2 यूनिट; 5 दहाई माइनस 1 दहाई)

नोट: 10 इकाइयां एक को दस बनाती हैं। इसे घटाते समय याद रखना चाहिए, क्योंकि यदि घटाए गए इकाइयों की संख्या घटी हुई इकाइयों की संख्या से अधिक है, तो हम घटे हुए में से एक दस "उधार" ले सकते हैं।

41-12 \u003d 29 (1 से 2 घटाने के लिए, हमें पहले दसियों में से एक इकाई "उधार" लेनी होगी, हमें 11-2 \u003d 9 मिलता है; याद रखें कि कम में 1 कम है, इसलिए, वहाँ हैं 3 दहाई और उसमें से 1 दहाई घटाया जाता है उत्तर 29)।

5. यदि उनमें से एक को दो पदों के योग में से घटा दिया जाए, तो दूसरा पद प्राप्त होगा।

इसका मतलब है कि घटाव का उपयोग करके जोड़ की जाँच की जा सकती है।

जाँच करने के लिए, किसी एक पद को योग से घटाया जाता है: 49-7=42 या 49-42=7

यदि, घटाव के परिणामस्वरूप, आपको शर्तों में से एक भी नहीं मिला, तो आपके जोड़ में एक त्रुटि हुई थी।

6. यदि आप सबट्रेंड को अंतर में जोड़ते हैं, तो आपको मिन्यूएंड मिलता है।

इसका मतलब है कि घटाव को जोड़ कर चेक किया जा सकता है।

जाँच करने के लिए, अंतर में सबट्रेंड जोड़ें: 19+50=69।

यदि, ऊपर वर्णित प्रक्रिया के परिणामस्वरूप, आपको कमी नहीं मिली, तो आपके घटाव में एक त्रुटि हुई।

परिमेय संख्याओं का जोड़ और घटाव

इस पाठ में परिमेय संख्याओं के जोड़ और घटाव को शामिल किया गया है। विषय को जटिल के रूप में वर्गीकृत किया गया है। यहां पहले से अर्जित ज्ञान के पूरे शस्त्रागार का उपयोग करना आवश्यक है।

पूर्णांकों को जोड़ने और घटाने के नियम परिमेय संख्याओं के लिए भी मान्य हैं। याद रखें कि परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ एक -एक भिन्न का अंश है बीभिन्न का भाजक है। और बीशून्य नहीं होना चाहिए।

इस पाठ में, हम भिन्नों और मिश्रित संख्याओं को एक सामान्य वाक्यांश के रूप में उत्तरोत्तर संदर्भित करेंगे - परिमेय संख्या.

सबक नेविगेशन:

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि व्यंजक में जो जोड़ दिया गया है वह संक्रिया का चिह्न है और भिन्नों पर लागू नहीं होता है। इस भिन्न का अपना धन चिह्न होता है, जो इस तथ्य के कारण अदृश्य होता है कि इसे लिखा नहीं गया है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

यह परिमेय संख्याओं का योग है विभिन्न संकेत. विभिन्न चिह्नों के साथ परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको छोटे वाले को बड़े मॉड्यूल से घटाना होगा, और उत्तर के सामने जिसका मॉड्यूल बड़ा है, चिह्न लगाना होगा। और यह समझने के लिए कि कौन सा मॉड्यूल बड़ा है और कौन सा कम, आपको गणना करने से पहले इन अंशों के मॉड्यूल की तुलना करने में सक्षम होना चाहिए:

एक परिमेय संख्या का मापांक एक परिमेय संख्या के मापांक से बड़ा होता है। इसलिए, हमने से घटाया। जवाब मिला। फिर, इस भिन्न को 2 से घटाकर, हमें अंतिम उत्तर प्राप्त हुआ।

यदि वांछित है, तो कुछ आदिम क्रियाएं, जैसे कोष्ठक में संख्याओं को संलग्न करना और मॉड्यूल को नीचे रखना, को छोड़ दिया जा सकता है। इस उदाहरण को छोटे तरीके से लिखा जा सकता है:

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि व्यंजक में दिया गया ऋण संक्रिया का चिह्न है और भिन्नों पर लागू नहीं होता है।

इस मामले में भिन्न एक धनात्मक परिमेय संख्या है जिसमें एक धन चिह्न होता है, जो अदृश्य होता है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें। याद रखें कि इसके लिए आपको घटाए गए के विपरीत संख्या को मिन्यूएंड में जोड़ना होगा:

हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग मिला। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल जोड़ने होंगे और उत्तर से पहले एक माइनस डालना होगा:

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इस व्यंजक में भिन्नों के भिन्न-भिन्न भाजक होते हैं। अपने लिए इसे आसान बनाने के लिए, आइए इन भिन्नों को समान (सामान्य) हर में लाते हैं। हम इस पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे। यदि आपको परेशानी हो रही है, तो सुनिश्चित करें कि आप भिन्न पाठ पर वापस जाएं और इसे दोहराएं।

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के बाद, व्यंजक निम्नलिखित रूप लेगा:

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। हम बड़े मॉड्यूल से छोटे को घटाते हैं और प्राप्त उत्तर के सामने चिन्ह लगाते हैं, जिसका मॉड्यूल बड़ा होता है:

उदाहरण 4व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

हमें तीन पदों का योग मिला। पहले व्यंजक का मान ज्ञात करें, फिर प्राप्त उत्तर में जोड़ें

पहली क्रिया:

दूसरी क्रिया:

इस प्रकार, व्यंजक का मान बराबर है।

के लिए समाधान यह उदाहरणछोटा लिखा जा सकता है

उदाहरण 5. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

प्रत्येक संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करें। ऐसा करने के लिए, हम अस्थायी रूप से मिश्रित संख्या का विस्तार करेंगे

आइए पूर्णांक भागों की गणना करें:

के बजाय मुख्य अभिव्यक्ति में परिणामी इकाई लिखें:

आइए परिणामी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें। ऐसा करने के लिए, कोष्ठकों को छोड़ दें और इकाई और भिन्न को एक साथ लिखें

इस उदाहरण का समाधान छोटा लिखा जा सकता है:

उदाहरण 6व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलें। आइए बाकी को इस प्रकार फिर से लिखें:

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग मिला। आइए इन नंबरों के मॉड्यूल जोड़ें और प्राप्त उत्तर से पहले एक माइनस डालें:

इस प्रकार, अभिव्यक्ति का मूल्य है।

इस उदाहरण का समाधान छोटा लिखा जा सकता है:

उदाहरण 7मूल्य अभिव्यक्ति खोजें

आइए मिश्रित संख्या को विस्तारित रूप में लिखें। आइए बाकी को इस प्रकार फिर से लिखें:

प्रत्येक परिमेय संख्या को कोष्ठकों में उसके चिह्नों सहित संलग्न कीजिए

जहां संभव हो, घटाव को जोड़ से बदलें:

आइए पूर्णांक भागों की गणना करें:

मुख्य व्यंजक में परिणामी संख्या लिखने के स्थान पर ?

व्यंजक मिश्रित संख्या लिखने का विस्तारित रूप है। आप संख्या 7 और एक भिन्न को एक साथ लिखकर तुरंत उत्तर लिख सकते हैं (इस भिन्न के ऋण को छिपाते हुए)

इस प्रकार, व्यंजक का मान है

इस उदाहरण का समाधान बहुत छोटा लिखा जा सकता है। यदि आप कुछ विवरण छोड़ते हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उदाहरण 8व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इस व्यंजक की गणना दो प्रकार से की जा सकती है। आइए उनमें से प्रत्येक पर विचार करें।

पहला तरीका।व्यंजक के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों की गणना अलग-अलग की जाती है।

सबसे पहले, आइए मिश्रित संख्याओं को विस्तारित रूप में लिखें:

प्रत्येक संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करें:

जहां संभव हो, घटाव को जोड़ से बदलें:

हमें कई शर्तों का योग मिला है। जोड़ के साहचर्य नियम के अनुसार, यदि किसी व्यंजक में कई पद हैं, तो योग संक्रियाओं के क्रम पर निर्भर नहीं करेगा। यह हमें पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग समूहित करने की अनुमति देगा:

आइए पूर्णांक भागों की गणना करें:

मुख्य अभिव्यक्ति में, परिणामी संख्या लिखने के बजाय? 3

आइए भिन्नात्मक भागों की गणना करें:

मुख्य अभिव्यक्ति में, परिणामी मिश्रित संख्या लिखने के बजाय

परिणामी व्यंजक की गणना करने के लिए, मिश्रित संख्या को अस्थायी रूप से विस्तारित करने की आवश्यकता होती है, फिर प्रत्येक संख्या को कोष्ठक में रखें, और घटाव को जोड़ से बदलें। यह बहुत सावधानी से किया जाना चाहिए ताकि शर्तों के संकेतों को भ्रमित न करें।

व्यंजक को रूपांतरित करने के बाद, हमारे पास एक नया व्यंजक होता है जिसकी गणना करना आसान होता है। उदाहरण 7 में एक समान व्यंजक था। याद कीजिए कि हमने पूर्णांक भागों को अलग-अलग जोड़ा, और भिन्नात्मक भाग को वैसे ही छोड़ दिया:

अतः व्यंजक का मान है

इस उदाहरण का हल छोटा लिखा जा सकता है

एक संक्षिप्त समाधान में, संख्याओं को कोष्ठक में रखने, घटाव को जोड़ से बदलने, मॉड्यूल को नीचे रखने के चरणों को छोड़ दिया जाता है। यदि आप किसी स्कूल या अन्य में पढ़ रहे हैं शैक्षिक संस्था, तो आपको समय और स्थान बचाने के लिए इन आदिम चरणों को छोड़ना होगा। उपरोक्त संक्षिप्त समाधान और भी छोटा लिखा जा सकता है। यह इस तरह दिखेगा:

इसलिए, स्कूल या किसी अन्य शैक्षणिक संस्थान में रहते हुए, इस तथ्य के लिए तैयार रहें कि कुछ क्रियाएं मन में करनी होंगी।

दूसरा तरीका।व्यंजक की मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदल दिया जाता है और साधारण भिन्नों की तरह परिकलित किया जाता है।

प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठकों में संलग्न कीजिए

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

अब मिश्रित संख्याएँ और अनुचित भिन्नों में अनुवाद करें:

हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग मिला। आइए उनके मॉड्यूल जोड़ें और प्राप्त उत्तर से पहले एक माइनस डालें:

के रूप में उत्तर प्राप्त किया पिछली बार.

दूसरे तरीके का विस्तृत समाधान इस प्रकार है:

उदाहरण 9अभिव्यक्ति अभिव्यक्ति खोजें

पहला तरीका।पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ें।

इस बार, आइए कुछ आदिम क्रियाओं को छोड़ने का प्रयास करें, जैसे कि विस्तारित रूप में एक अभिव्यक्ति लिखना, संख्याओं को कोष्ठक में रखना, घटाव को जोड़ से बदलना, मॉड्यूल को नीचे रखना:

ध्यान दें कि भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में घटा दिया गया है।

दूसरा तरीका।मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें और सामान्य भिन्नों की तरह गणना करें।

उदाहरण 10व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

परिणामी व्यंजक में ऋणात्मक संख्याएँ नहीं हैं, जो त्रुटियों का मुख्य कारण हैं। और चूंकि कोई ऋणात्मक संख्या नहीं है, हम सबट्रेंड के सामने प्लस को हटा सकते हैं, और कोष्ठक भी हटा सकते हैं। तब हमें सबसे सरल अभिव्यक्ति मिलती है, जिसकी गणना करना आसान है:

इस उदाहरण में, पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों की गणना अलग-अलग की गई थी।

उदाहरण 11.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। हम बड़े मॉड्यूल से छोटे को घटाते हैं और परिणामी संख्या के सामने चिन्ह लगाते हैं, जिसका मॉड्यूल बड़ा होता है:

उदाहरण 12व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

अभिव्यक्ति में कई पैरामीटर होते हैं। संचालन के क्रम के अनुसार, सबसे पहले, आपको कोष्ठक में क्रियाओं को करने की आवश्यकता है।

पहले, हम व्यंजक की गणना करते हैं, फिर व्यंजक जोड़ते हैं। प्राप्त उत्तरों को जोड़ा जाता है।

पहली क्रिया:

दूसरी क्रिया:

तीसरी क्रिया:

उत्तर:अभिव्यक्ति मूल्य बराबरी

उदाहरण 13व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

विभिन्न चिन्हों वाली परिमेय संख्याओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। छोटे मॉड्यूल को बड़े मॉड्यूल से घटाएं और उस उत्तर के सामने चिह्न लगाएं, जिसका मॉड्यूल बड़ा है। लेकिन हम मिश्रित संख्या के साथ काम कर रहे हैं। यह समझने के लिए कि कौन सा मॉड्यूल बड़ा है और कौन सा छोटा, आपको इन मिश्रित संख्याओं के मॉड्यूल की तुलना करने की आवश्यकता है। और मिश्रित संख्याओं के मॉड्यूल की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलने और सामान्य भिन्नों की तरह उनकी तुलना करने की आवश्यकता है।

निम्नलिखित आंकड़ा मिश्रित संख्याओं के मॉड्यूल की तुलना करने के सभी चरणों को दिखाता है

यह जानकर कि कौन सा मापांक बड़ा है और कौन सा छोटा है, हम अपने उदाहरण की गणना जारी रख सकते हैं:

इस प्रकार, अभिव्यक्ति का मूल्य बराबरी

दशमलव भिन्नों के जोड़ और घटाव पर विचार करें, जो परिमेय संख्याएँ भी हैं और जो धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकती हैं।

उदाहरण 14व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?3.2 + 4.3

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि व्यंजक में जो जोड़ दिया गया है वह संक्रिया का चिह्न है और दशमलव भिन्न 4.3 पर लागू नहीं होता है। इस दशमलव का अपना धन चिह्न है, जो इस तथ्य के कारण अदृश्य है कि इसे लिखा नहीं गया है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। विभिन्न चिह्नों के साथ परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको छोटे वाले को बड़े मॉड्यूल से घटाना होगा, और उत्तर के सामने जिसका मॉड्यूल बड़ा है, चिह्न लगाना होगा। और यह समझने के लिए कि कौन सा मापांक बड़ा है और कौन सा छोटा है, आपको इन दशमलव अंशों की गणना करने से पहले उनके मापांक की तुलना करने में सक्षम होना चाहिए:

4.3 का मापांक 3.2 के मापांक से बड़ा है, इसलिए हमने 4.3 में से 3.2 घटाया। उत्तर मिला 1.1। इसका उत्तर हां है, क्योंकि उत्तर में बड़े मापांक का चिह्न होना चाहिए, अर्थात मापांक |+4,3|।

तो व्यंजक का मान?3.2 + (+4.3) 1.1 . है

उदाहरण 15व्यंजक 3.5 + (?8.3) का मान ज्ञात कीजिए।

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। पिछले उदाहरण की तरह, हम बड़े मॉड्यूल से छोटे को घटाते हैं और उस उत्तर के सामने चिन्ह लगाते हैं, जिसका मॉड्यूल बड़ा होता है

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

अत: व्यंजक 3.5 + (?8.3) का मान बराबर है?4.8

इस उदाहरण को छोटा लिखा जा सकता है:

उदाहरण 16व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?7.2 + (?3.11)

यह ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग है। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल जोड़ने होंगे और उत्तर से पहले एक माइनस डालना होगा। अभिव्यक्ति को अव्यवस्थित करने से बचने के लिए आप मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ सकते हैं:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

अत: व्यंजक का मान?7.2 + (?3.11) है?10.31

इस उदाहरण को छोटा लिखा जा सकता है:

उदाहरण 17.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?0.48 + (?2.7)

यह ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग है। हम उनके मॉड्यूल जोड़ते हैं और प्राप्त उत्तर के सामने एक ऋण चिह्न लगाते हैं। अभिव्यक्ति को अव्यवस्थित करने से बचने के लिए आप मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ सकते हैं:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

उदाहरण 18.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?4,9? 5.9

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करते हैं। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि व्यंजक में दिया गया ऋण संक्रिया का चिह्न है और दशमलव भिन्न 5.9 पर लागू नहीं होता है। इस दशमलव का अपना धन चिह्न है, जो इस तथ्य के कारण अदृश्य है कि इसे लिखा नहीं गया है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग मिला। उनके मॉड्यूल जोड़ें और प्राप्त उत्तर के सामने एक माइनस लगाएं। अभिव्यक्ति को अव्यवस्थित करने से बचने के लिए आप मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ सकते हैं:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

अत: व्यंजक का मान ? 4,9 ? 5.9 बराबर?10.8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

उदाहरण 19.व्यंजक 7 का मान ज्ञात कीजिए? 9.3

प्रत्येक संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में संलग्न करें

आइए घटाव को जोड़ से बदलें

हमें विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग मिला। छोटे मॉड्यूल को बड़े मॉड्यूल से घटाएं और उस उत्तर के सामने चिह्न लगाएं, जिसका मॉड्यूल बड़ा है। अभिव्यक्ति को अव्यवस्थित करने से बचने के लिए आप मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ सकते हैं:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

अत: व्यंजक का मान 7 ? 9.3 बराबर?2.3

इस उदाहरण का विस्तृत समाधान इस प्रकार लिखा गया है:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

संक्षिप्त समाधान इस तरह दिखेगा:

उदाहरण 20.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए? 0.25 ? (?1,2)

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

हमें विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग मिला। हम छोटे वाले को बड़े से घटाते हैं और उत्तर के सामने चिन्ह लगाते हैं, जिसका मॉड्यूल बड़ा है:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

इस उदाहरण का विस्तृत समाधान इस प्रकार लिखा गया है:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

संक्षिप्त समाधान इस तरह दिखेगा:

उदाहरण 21.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?3.5 + (4.1 ? 7.1)

सबसे पहले, हम कोष्ठक में क्रियाएँ करेंगे, फिर प्राप्त उत्तर को संख्या के साथ जोड़ेंगे? 3.5। आइए मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ दें ताकि भावों को अव्यवस्थित न करें।

पहली क्रिया:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

दूसरी क्रिया:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

उत्तर:व्यंजक का मान ?3.5 + (4.1 ? 7.1) बराबर ?6.5 है।

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

उदाहरण 22.व्यंजक (3.5 ? 2.9) का मान ज्ञात कीजिए? (3.7 x 9.1)

आइए कोष्ठक में क्रियाएं करें, फिर उस संख्या से जो पहले कोष्ठक के निष्पादन के परिणामस्वरूप निकली है, उस संख्या को घटाएं जो दूसरे कोष्ठक के निष्पादन के परिणामस्वरूप निकली है। आइए मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ दें ताकि भावों को अव्यवस्थित न करें।

पहली क्रिया:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

दूसरी क्रिया:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

तीसरा अधिनियम

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

उत्तर:व्यंजक का मान (3.5 ? 2.9) ? (3.7 ? 9.1) 6 के बराबर है।

इस उदाहरण का संक्षिप्त समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

उदाहरण 23.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?3.8 + 17.15? 6.2? 6.15

प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठकों में संलग्न कीजिए

जहां संभव हो घटाव को जोड़ से बदलें

अभिव्यक्ति में कई शब्द होते हैं। जोड़ के साहचर्य नियम के अनुसार, यदि व्यंजक में कई पद हैं, तो योग क्रियाओं के क्रम पर निर्भर नहीं करेगा। इसका मतलब है कि शर्तों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है।

हम पहिया को फिर से नहीं खोजेंगे, लेकिन बाएं से दाएं सभी शब्दों को उस क्रम में जोड़ देंगे जिसमें वे दिखाई देते हैं:

पहली क्रिया:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

दूसरी क्रिया:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

तीसरी क्रिया:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

उत्तर:व्यंजक मान 3.8 + 17.15 ? 6.2? 6.15 1 के बराबर है।

इस उदाहरण का संक्षिप्त समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

छोटे फैसले बनाते हैं कम समस्याऔर भ्रम है, इसलिए उनकी आदत डालना उचित है।

उदाहरण 24.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए दशमलव भिन्न 1.8 को मिश्रित संख्या में बदलें। हम बाकी को वैसे ही फिर से लिखेंगे। यदि आपको दशमलव को मिश्रित संख्या में बदलने में परेशानी हो रही है, तो दशमलव भिन्नों पर पाठ को दोहराना सुनिश्चित करें।

उदाहरण 25.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए घटाव को जोड़ से बदलें। साथ ही, हम दशमलव भिन्न (? 4.4) का एक अनुचित भिन्न में अनुवाद करेंगे

परिणामी व्यंजक में कोई ऋणात्मक संख्या नहीं है। और चूंकि कोई ऋणात्मक संख्या नहीं है, हम दूसरी संख्या के सामने धन को हटा सकते हैं, और कोष्ठकों को छोड़ सकते हैं। तब हमें एक सरल जोड़ व्यंजक मिलता है, जो आसानी से हल हो जाता है

उदाहरण 26.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न में और दशमलव भिन्न को 0.85 को एक साधारण भिन्न में बदलें। हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है:

हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग मिला। हम उनके मॉड्यूल जोड़ते हैं और प्राप्त उत्तर के सामने एक ऋण चिह्न लगाते हैं। अभिव्यक्ति को अव्यवस्थित करने से बचने के लिए आप मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ सकते हैं:

उदाहरण 27.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

दोनों भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलें। दशमलव 2.05 को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए, आप इसे पहले मिश्रित संख्या में और फिर अनुचित भिन्न में बदल सकते हैं:

दोनों भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलने पर, हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

हमें विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग मिला। हम बड़े मॉड्यूल से छोटे को घटाते हैं और प्राप्त उत्तर के सामने चिन्ह लगाते हैं जिसका मॉड्यूल बड़ा है:

उदाहरण 28.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए घटाव को जोड़ से बदलें। आइए एक दशमलव को एक उभयनिष्ठ भिन्न में बदलें

उदाहरण 29.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए दशमलव भिन्नों को 0.25 और 1.25 को साधारण भिन्नों में बदलें, बाकी को वैसा ही रहने दें। हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है:

जहाँ संभव हो, आप पहले घटाव को जोड़ से बदल सकते हैं और परिमेय संख्याओं को एक-एक करके जोड़ सकते हैं। एक दूसरा विकल्प है: पहले परिमेय संख्याएँ और जोड़ें, और फिर परिणामी संख्या से परिमेय संख्या घटाएँ। हम इस विकल्प का उपयोग करेंगे।

पहली क्रिया:

दूसरी क्रिया:

उत्तर:अभिव्यक्ति मूल्य के बराबर?2.

उदाहरण 30.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

दशमलव भिन्न को उभयनिष्ठ भिन्नों में बदलें। बाकी को ऐसे ही छोड़ दें।

हमें कई शर्तों का योग मिला है। यदि योग में कई पद हैं, तो व्यंजक का मूल्यांकन किसी भी क्रम में किया जा सकता है। यह योग के साहचर्य नियम से अनुसरण करता है।

इसलिए, हम अपने लिए सबसे सुविधाजनक विकल्प व्यवस्थित कर सकते हैं। सबसे पहले, आप पहले और अंतिम पदों को जोड़ सकते हैं, अर्थात् परिमेय संख्याएँ और . इन संख्याओं के हर समान हैं, जिसका अर्थ है कि यह हमें उन्हें इसमें लाने की आवश्यकता से मुक्त कर देगा।

पहली क्रिया:

परिणामी संख्या को दूसरे पद में जोड़ा जा सकता है, अर्थात् परिमेय संख्या। परिमेय संख्याओं के भिन्नात्मक भागों में समान भाजक होते हैं, जो फिर से हमारे लिए एक लाभ है

दूसरी क्रिया:

खैर, आइए परिणामी संख्या को जोड़ते हैं?7 अंतिम पद के साथ, अर्थात् एक परिमेय संख्या के साथ। यह सुविधाजनक है कि इस अभिव्यक्ति की गणना करते समय, सात गायब हो जाएंगे, अर्थात उनका योग शून्य के बराबर होगा, क्योंकि विपरीत संख्याओं का योग शून्य के बराबर है।

तीसरी क्रिया:

उत्तर:अभिव्यक्ति का मूल्य है

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पूर्ण संख्याओं का जोड़ और घटाव

इस पाठ में हम सीखेंगे पूर्ण संख्याओं का जोड़ और घटाव, साथ ही उनके जोड़ और घटाव के नियम।

याद रखें कि पूर्णांक सभी धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ हैं, साथ ही संख्या 0 भी हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित संख्याएँ पूर्णांक हैं:

धनात्मक संख्याओं को आसानी से जोड़ा और घटाया जा सकता है, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। दुर्भाग्य से, यह नकारात्मक संख्याओं के बारे में नहीं कहा जा सकता है, जो प्रत्येक अंक से पहले कई शुरुआती लोगों को उनके माइनस के साथ भ्रमित करते हैं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, नकारात्मक संख्याओं के कारण की गई गलतियाँ छात्रों को सबसे अधिक परेशान करती हैं।

पूर्णांक जोड़ और घटाव उदाहरण

सीखने वाली पहली चीज समन्वय रेखा का उपयोग करके पूर्ण संख्याओं को जोड़ना और घटाना है। एक समन्वय रेखा खींचना आवश्यक नहीं है। अपने विचारों में इसकी कल्पना करना और यह देखना पर्याप्त है कि ऋणात्मक संख्याएँ कहाँ स्थित हैं, और सकारात्मक कहाँ हैं।

सबसे सरल व्यंजक पर विचार करें: 1 + 3. इस व्यंजक का मान 4 है:

इस उदाहरण को निर्देशांक रेखा का उपयोग करके समझा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, उस बिंदु से जहां नंबर 1 स्थित है, आपको तीन चरणों को दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। नतीजतन, हम खुद को उस बिंदु पर पाएंगे जहां संख्या 4 स्थित है। आकृति में आप देख सकते हैं कि यह कैसे होता है:

व्यंजक 1 + 3 में धन चिह्न हमें बताता है कि हमें बढ़ती हुई संख्याओं की दिशा में दाईं ओर बढ़ना चाहिए।

उदाहरण 2आइए व्यंजक 1 का मान ज्ञात करें? 3.

इस व्यंजक का मान है?2

निर्देशांक रेखा का उपयोग करके इस उदाहरण को फिर से समझा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, उस बिंदु से जहां नंबर 1 स्थित है, आपको तीन चरणों को बाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। नतीजतन, हम खुद को उस बिंदु पर पाएंगे जहां ऋणात्मक संख्या 2 स्थित है। आंकड़ा दिखाता है कि यह कैसे होता है:

एक्सप्रेशन 1 में माइनस साइन? 3 हमें बताता है कि हमें घटती संख्या की दिशा में बाईं ओर बढ़ना चाहिए।

सामान्य तौर पर, हमें यह याद रखना चाहिए कि यदि जोड़ किया जाता है, तो हमें वृद्धि की दिशा में दाईं ओर बढ़ने की आवश्यकता होती है। यदि घटाव किया जाता है, तो आपको कमी की दिशा में बाईं ओर जाने की आवश्यकता है।

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?2 + 4

इस व्यंजक का मान 2 . है

निर्देशांक रेखा का उपयोग करके इस उदाहरण को फिर से समझा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, उस बिंदु से जहां ऋणात्मक संख्या 2 स्थित है, आपको चार चरणों को दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। नतीजतन, हम खुद को उस बिंदु पर पाएंगे जहां सकारात्मक संख्या 2 स्थित है।

यह देखा जा सकता है कि हम उस बिंदु से चले गए हैं जहां ऋणात्मक संख्या 2 चार चरणों में दाईं ओर स्थित है और उस बिंदु पर समाप्त होती है जहां सकारात्मक संख्या 2 स्थित है।

व्यंजक में धन चिह्न? 2 + 4 हमें बताता है कि हमें बढ़ती हुई संख्याओं की दिशा में दाईं ओर बढ़ना चाहिए।

उदाहरण 4व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?1 ? 3

इस व्यंजक का मान है?4

इस उदाहरण को फिर से एक समन्वय रेखा का उपयोग करके हल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, उस बिंदु से जहां ऋणात्मक संख्या 1 स्थित है, आपको तीन चरणों को बाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। नतीजतन, हम खुद को उस बिंदु पर पाएंगे जहां ऋणात्मक संख्या स्थित है? 4

यह देखा जा सकता है कि हम उस बिंदु से चले गए हैं जहां ऋणात्मक संख्या 1 बाईं ओर तीन चरणों में स्थित है और उस बिंदु पर समाप्त होती है जहां ऋणात्मक संख्या 4 स्थित है।

व्यंजक में ऋण चिह्न?1 ? 3 हमें बताता है कि हमें घटती संख्या की दिशा में बाईं ओर बढ़ना चाहिए।

उदाहरण 5व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?2 + 2

इस व्यंजक का मान 0 . है

इस उदाहरण को एक समन्वय रेखा का उपयोग करके हल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, उस बिंदु से जहां ऋणात्मक संख्या 2 स्थित है, आपको दो चरणों को दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। नतीजतन, हम खुद को उस बिंदु पर पाएंगे जहां संख्या 0 स्थित है

यह देखा जा सकता है कि हम उस बिंदु से चले गए हैं जहां ऋणात्मक संख्या 2 दो चरणों में दाईं ओर स्थित है और उस बिंदु पर समाप्त होती है जहां संख्या 0 स्थित है।

व्यंजक में धन चिह्न? 2 + 2 हमें बताता है कि हमें बढ़ती हुई संख्याओं की दिशा में दाईं ओर बढ़ना चाहिए।

पूर्णांकों को जोड़ने और घटाने के नियम

इस या उस व्यंजक की गणना करने के लिए, हर बार निर्देशांक रेखा की कल्पना करना आवश्यक नहीं है, केवल उसे खींचने की बात ही छोड़ दें। तैयार नियमों का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

नियमों को लागू करते समय, आपको ऑपरेशन के संकेत और संख्याओं के संकेतों को जोड़ने या घटाने पर ध्यान देना होगा। यह निर्धारित करेगा कि कौन सा नियम लागू करना है।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?2 + 5

यहां एक धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या में जोड़ा जाता है। दूसरे शब्दों में, विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का योग किया जाता है। ?2 नकारात्मक है और 5 सकारात्मक है। ऐसे मामलों के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

तो, आइए देखें कि कौन सा मॉड्यूल बड़ा है:

क्या 5 का मापांक संख्या के मापांक से अधिक है?2. नियम के लिए बड़े मॉड्यूल से छोटे को घटाना आवश्यक है। इसलिए, हमें 5 में से 2 घटाना चाहिए, और प्राप्त उत्तर से पहले उस चिन्ह को लगाना चाहिए जिसका मापांक अधिक है।

संख्या 5 का मापांक बड़ा होता है, इसलिए इस अंक का चिन्ह उत्तर में होगा। यानी उत्तर सकारात्मक होगा:

क्या इसे आमतौर पर छोटा लिखा जाता है? 2 + 5 = 3

उदाहरण 2व्यंजक 3 + (?2) का मान ज्ञात कीजिए।

यहां, पिछले उदाहरण की तरह, विभिन्न संकेतों वाली संख्याओं का जोड़ किया जाता है। 3 एक धनात्मक संख्या है और ?2 ऋणात्मक है। ध्यान दें कि व्यंजक को स्पष्ट और सुंदर बनाने के लिए संख्या?2 कोष्ठकों में संलग्न है। इस व्यंजक को 3+?2 व्यंजक की तुलना में समझना बहुत आसान है।

इसलिए, हम विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम लागू करते हैं। पिछले उदाहरण की तरह, हम बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाते हैं और उत्तर के सामने चिन्ह लगाते हैं, जिसका मॉड्यूल बड़ा होता है:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

संख्या 3 का मापांक संख्या के मापांक से बड़ा है? 2, इसलिए हमने 3 में से 2 घटाया, और प्राप्त उत्तर के सामने मापांक का चिन्ह लगा दिया, जो कि अधिक है। संख्या 3 में एक बड़ा मॉड्यूल होता है, इसलिए इस संख्या का चिन्ह उत्तर में लगाया जाता है। यानी इसका जवाब हां है।

आमतौर पर छोटा 3 + (? 2) = 1 . लिखा जाता है

उदाहरण 3व्यंजक 3 का मान ज्ञात कीजिए? 7

इस व्यंजक में छोटी संख्या में से बड़ी संख्या को घटाया जाता है। ऐसे मामले के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

छोटी संख्या में से बड़ी संख्या को घटाने के लिए, आपको बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाना होगा और प्राप्त उत्तर के सामने ऋण लगाना होगा।

इस अभिव्यक्ति में थोड़ा सा रोड़ा है। याद रखें कि समान चिह्न (=) को मूल्यों और भावों के बीच तब रखा जाता है जब वे एक दूसरे के बराबर होते हैं।

व्यंजक 3 का मान ? 7 हम बराबर कैसे जानते थे?4. इसका मतलब यह है कि इस अभिव्यक्ति में हम जो भी परिवर्तन करेंगे, वह बराबर होना चाहिए?4

लेकिन हम देखते हैं कि दूसरे चरण में व्यंजक 7 है? 3, जो बराबर नहीं है?4.

इस स्थिति का समाधान करने के लिए, व्यंजक 7 ? 3 को कोष्ठकों में लिया जाना चाहिए और इस कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न लगाना चाहिए:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

इस मामले में, प्रत्येक चरण में समानता देखी जाएगी:

व्यंजक के मूल्यांकन के बाद, कोष्ठकों को हटाया जा सकता है, जो हमने किया।

तो अधिक सटीक होने के लिए, समाधान इस तरह दिखना चाहिए:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

इस नियम को चरों का प्रयोग करके लिखा जा सकता है। यह इस तरह दिखेगा:

एक? ख =? (बी ० ए)

बड़ी संख्या में कोष्ठक और संचालन संकेत एक बहुत ही सरल कार्य के समाधान को जटिल बना सकते हैं, इसलिए यह सीखना अधिक समीचीन है कि ऐसे उदाहरणों को संक्षेप में कैसे लिखा जाए, उदाहरण के लिए 3 ? 7=? चार।

वास्तव में, पूर्णांकों का जोड़ और घटाव घटाकर केवल जोड़ तक कर दिया जाता है। इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यदि आप संख्याओं को घटाना चाहते हैं, तो इस ऑपरेशन को जोड़ से बदला जा सकता है।

तो आइए जानते हैं नए नियम से:

एक संख्या को दूसरे से घटाने का अर्थ है कि घटाव में एक संख्या जो घटाई गई संख्या के विपरीत होगी।

उदाहरण के लिए, सरलतम व्यंजक 5 पर विचार करें? 3. ओन प्रारंभिक चरणगणित सीखते हुए, हम बस एक समान चिन्ह लगाते हैं और उत्तर लिख देते हैं:

लेकिन अब हम सीखने में प्रगति कर रहे हैं, इसलिए हमें नए नियमों के अनुकूल होने की जरूरत है। नया नियम कहता है कि एक संख्या को दूसरे से घटाने का मतलब है कि घटाए गए अंक के विपरीत एक संख्या जोड़ दी जाए।

एक उदाहरण के रूप में व्यंजक 5?3 का प्रयोग करते हुए, आइए इस नियम को समझने का प्रयास करें। इस व्यंजक में जो घटाया गया है वह 5 है और जो घटा है वह 3 है। नियम कहता है कि 5 में से 3 घटाने के लिए, आपको 5 में एक ऐसी संख्या जोड़नी होगी जो 3 के विपरीत होगी। संख्या 3 के लिए विपरीत संख्या है? 3. हम एक नई अभिव्यक्ति लिखते हैं:

और हम पहले से ही जानते हैं कि इस तरह के भावों के लिए मूल्य कैसे खोजें। यह विभिन्न संकेतों वाली संख्याओं का जोड़ है, जिसकी हमने ऊपर चर्चा की थी। विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको बड़े मॉड्यूल से छोटे को घटाना होगा, और प्राप्त उत्तर के सामने किसका मॉड्यूल बड़ा है, इसका चिन्ह लगाना होगा:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

क्या 5 का मापांक संख्या के मापांक से अधिक है?3. इसलिए, हमने 5 में से 3 घटाया और 2 प्राप्त किया। संख्या 5 का मापांक बड़ा है, इसलिए उत्तर में इस संख्या का चिन्ह लगाया गया था। यानी उत्तर सकारात्मक है।

सबसे पहले, हर कोई जोड़ के साथ घटाव को जल्दी से बदलने में सफल नहीं होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि धनात्मक संख्याएँ उनके धन चिह्न के बिना लिखी जाती हैं।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 3 में? घटाव को इंगित करने वाला 1 ऋण चिह्न ऑपरेशन का संकेत है और किसी एक को संदर्भित नहीं करता है। इस मामले में इकाई एक सकारात्मक संख्या है और इसका अपना प्लस चिह्न है, लेकिन हम इसे नहीं देखते हैं, क्योंकि पारंपरिक रूप से सकारात्मक संख्याओं से पहले प्लस नहीं लिखा जाता है।

और इसलिए, स्पष्टता के लिए, इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

सुविधा के लिए, उनके चिन्हों वाली संख्याएँ कोष्ठकों में संलग्न हैं। इस मामले में, घटाव को जोड़ के साथ बदलना बहुत आसान है। इस मामले में घटाई गई संख्या (+1) और विपरीत संख्या (?1) है। आइए घटाव के संचालन को जोड़ के साथ बदलें और घटाव (+1) के बजाय हम विपरीत संख्या (? 1) लिखते हैं

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि इन अतिरिक्त इशारों का क्या मतलब है, यदि आप एक समान चिह्न लगाने के लिए अच्छी पुरानी पद्धति का उपयोग कर सकते हैं और तुरंत उत्तर लिख सकते हैं। वास्तव में, यह नियम हमें एक से अधिक बार मदद करेगा।

आइए पिछले उदाहरण 3 को हल करें? 7 घटाव नियम का उपयोग करना। सबसे पहले, हम प्रत्येक संख्या को उसके चिह्नों के साथ रखते हुए, व्यंजक को सामान्य रूप में लाते हैं। तीन का एक धन चिह्न है क्योंकि यह एक धनात्मक संख्या है। घटाव इंगित करने वाला ऋण सात पर लागू नहीं होता है। सात का एक धन चिह्न है क्योंकि यह भी एक धनात्मक संख्या है:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

आगे की गणना मुश्किल नहीं है:

उदाहरण 7व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?4 ? 5

हमारे सामने फिर से घटाव की क्रिया है। इस ऑपरेशन को अतिरिक्त द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। घटाए गए (?4) में हम घटाए गए (+5) के विपरीत संख्या जोड़ते हैं। सबट्रेंड (+5) के लिए विपरीत संख्या संख्या (?5) है।

हम ऐसी स्थिति में आ गए हैं जहां हमें ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है। ऐसे मामलों के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल जोड़ने होंगे, और प्राप्त उत्तर के सामने एक माइनस डालना होगा।

तो, आइए संख्याओं के मॉड्यूल जोड़ें, जैसा कि नियम के लिए हमें करने की आवश्यकता है, और प्राप्त उत्तर के सामने एक माइनस रखें:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को कोष्ठक में संलग्न किया जाना चाहिए और इन कोष्ठकों से पहले एक माइनस लगाया जाना चाहिए। तो हम एक ऋण प्रदान करते हैं, जो उत्तर से पहले आना चाहिए:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

इस उदाहरण का समाधान छोटा लिखा जा सकता है:

उदाहरण 8व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?3 ? 5 ? 7? 9

आइए अभिव्यक्ति को एक स्पष्ट रूप में लाएं। यहाँ, संख्या 3 को छोड़कर सभी संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए उनके पास धन चिह्न होंगे:

आइए हम घटाव की संक्रियाओं को जोड़ की संक्रियाओं से बदलें। सभी माइनस (माइनस को छोड़कर, जो तीन के सामने है) प्लस में बदल जाएगा और सभी पॉजिटिव नंबर विपरीत में बदल जाएंगे:

अब ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम लागू करें। नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल जोड़ने और प्राप्त उत्तर के सामने एक माइनस लगाने की आवश्यकता है:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

इस उदाहरण का समाधान छोटा लिखा जा सकता है:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

उदाहरण 9व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए?10 + 6 ? 15 + 11? 7

आइए अभिव्यक्ति को एक स्पष्ट रूप में लाएं:

यहां दो ऑपरेशन हैं: जोड़ और घटाव। हम जोड़ को वैसे ही छोड़ देते हैं, और घटाव को जोड़ से बदल देते हैं:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

क्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए, हम पहले अध्ययन किए गए नियमों के आधार पर प्रत्येक क्रिया को बारी-बारी से करेंगे। मॉड्यूल के साथ प्रविष्टियां छोड़ी जा सकती हैं:

पहली क्रिया:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

दूसरी क्रिया:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

तीसरी क्रिया:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

चौथी क्रिया:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

तो व्यंजक का मान ?10 + 6 ? 15 + 11? 7 बराबर?15

टिप्पणी. कोष्ठक में संख्याओं को संलग्न करके व्यंजक को स्पष्ट रूप में लाना आवश्यक नहीं है। नकारात्मक संख्याओं के अभ्यस्त होने पर, इस चरण को छोड़ा जा सकता है क्योंकि इसमें समय लगता है और यह भ्रमित करने वाला हो सकता है।

इसलिए, पूर्णांकों को जोड़ने और घटाने के लिए, आपको निम्नलिखित नियमों को याद रखना होगा:

विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको एक बड़े मॉड्यूल से एक छोटे मॉड्यूल को घटाना होगा, और उस चिन्ह को रखना होगा जिसका मॉड्यूल उत्तर के सामने बड़ा है।

छोटी संख्या में से बड़ी संख्या को घटाने के लिए, आपको बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाना होगा और प्राप्त उत्तर के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा।

एक संख्या को दूसरे से घटाने का अर्थ है घटाई गई संख्या में घटाई गई संख्या के विपरीत जोड़ना।

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल जोड़ने होंगे, और प्राप्त उत्तर के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा।

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प्रथम स्तर

डिग्री और उसके गुण। व्यापक गाइड (2019)

डिग्री की आवश्यकता क्यों है? आपको उनकी आवश्यकता कहां है? आपको उनका अध्ययन करने में समय बिताने की आवश्यकता क्यों है?

डिग्री के बारे में सब कुछ जानने के लिए, वे किस लिए हैं, अपने ज्ञान का उपयोग कैसे करें रोजमर्रा की जिंदगीइस लेख को पढ़ें।

और, ज़ाहिर है, डिग्री जानने से आप एक सफल व्यक्ति के करीब पहुंचेंगे OGE पास करनाया एकीकृत राज्य परीक्षा और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश करने के लिए।

चलो चले चलो चले!)

महत्वपूर्ण लेख! यदि फ़ार्मुलों के बजाय आप अस्पष्ट देखते हैं, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 (Windows पर) या Cmd+R (Mac पर) दबाएँ।

प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग के समान गणितीय संक्रिया है।

अब मैं सब कुछ मानव भाषा में बहुत ही सरल तरीके से समझाऊंगा सरल उदाहरण. ध्यान से। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए इसके अलावा शुरू करते हैं।

यहां समझाने के लिए कुछ नहीं है। आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम में से आठ हैं। प्रत्येक के पास कोला की दो बोतलें हैं। कितना कोला? यह सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा।

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरीके से लिखा जा सकता है: . गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न देखते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का एक तरीका लेकर आते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास कोला की बोतलों की संख्या समान थी और गुणन नामक एक तकनीक के साथ आए। सहमत हूं, इसे आसान और तेज माना जाता है।

तो, तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना गिनने के लिए, आपको बस याद रखने की आवश्यकता है पहाड़ा. बेशक, आप सब कुछ धीमा, कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! परंतु…

यहाँ गुणन तालिका है। दोहराना।

और दूसरा, सुंदर एक:

और आलसी गणितज्ञों ने और कौन-सी ट्रिकी गिनती की तरकीबें निकालीं? सही ढंग से - एक संख्या को एक शक्ति में बढ़ाना.

किसी संख्या को घात में बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को अपने आप से पांच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञ कहते हैं कि आपको इस संख्या को पांचवीं शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पांचवीं शक्ति है। और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज, आसान और त्रुटियों के बिना।

ऐसा करने के लिए, आपको केवल आवश्यकता है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करो, यह आपके जीवन को बहुत आसान बना देगा।

वैसे दूसरी डिग्री को क्यों कहा जाता है वर्गसंख्या, और तीसरा घनक्षेत्र? इसका क्या मतलब है? एक बहुत अच्छा प्रश्न। अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए किसी संख्या के वर्ग या दूसरी घात से शुरू करें।

मीटर से मीटर मापने वाले एक वर्ग पूल की कल्पना करें। पूल आपके पिछवाड़े में है। यह गर्म है और मैं वास्तव में तैरना चाहता हूं। लेकिन ... बिना तल का एक पूल! पूल के निचले हिस्से को टाइल्स से ढंकना जरूरी है। आपको कितनी टाइलें चाहिए? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के तल के क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली पोक करके गिन सकते हैं कि पूल के नीचे क्यूब मीटर बाय मीटर है। यदि आपकी टाइलें मीटर दर मीटर हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइल कहाँ देखी? टाइल बल्कि सेमी से सेमी होगी और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनने" से पीड़ा होगी। फिर आपको गुणा करना होगा। तो, पूल के तल के एक तरफ, हम टाइल्स (टुकड़े) और दूसरी तरफ, टाइल्स भी फिट करेंगे। से गुणा करने पर आपको टाइलें () प्राप्त होती हैं।

क्या आपने देखा कि हमने पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया है? इसका क्या मतलब है? चूंकि एक ही संख्या को गुणा किया जाता है, हम घातांक तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएँ होती हैं, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत सारे हैं, तो एक घात तक बढ़ाना बहुत आसान है और गणना में कम त्रुटियाँ भी हैं। परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी डिग्री () होगी। या आप कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा। दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी घात को हमेशा एक वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति होती है। एक वर्ग एक संख्या की दूसरी शक्ति की एक छवि है।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है, संख्या के वर्ग का उपयोग करके गिनें कि शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं ... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या गिनने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा, या ... यदि आप देखते हैं कि एक बिसात एक भुजा वाला वर्ग है, तो आप आठ का वर्ग कर सकते हैं। सेल प्राप्त करें। () इसलिए?

वास्तविक जीवन उदाहरण #3

अब घन या किसी संख्या का तीसरा घात। वही तालाब। लेकिन अब आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है। (वॉल्यूम और तरल पदार्थ, वैसे, क्यूबिक मीटर में मापा जाता है। अप्रत्याशित, है ना?) एक पूल बनाएं: एक नीचे एक मीटर आकार और एक मीटर गहरा और गणना करने का प्रयास करें कि मीटर द्वारा मीटर को मापने वाले कितने क्यूब आपके अंदर प्रवेश करेंगे पोखर।

बस अपनी उंगली इंगित करें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... कितना निकला? खो नहीं गया? क्या उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लें। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन क्यूब्स के बराबर होगा ... आसान, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि गणितज्ञ कितने आलसी और चालाक होते हैं यदि वे इसे बहुत आसान बना देते हैं। सब कुछ एक क्रिया में कम कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर हैं और उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया जाता है ... और इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का उपयोग कर सकते हैं। तो, जो आपने एक बार एक उंगली से गिना था, वे एक क्रिया में करते हैं: एक घन में तीन बराबर होता है। यह इस प्रकार लिखा गया है:

ही रहता है डिग्री की तालिका याद रखें. जब तक, निश्चित रूप से, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक नहीं हैं। अगर आपको कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद है, तो आप अपनी उंगली से गिनती जारी रख सकते हैं।

खैर, अंत में आपको यह समझाने के लिए कि डिग्री का आविष्कार आवारा और चालाक लोगों ने हल करने के लिए किया था जीवन की समस्याएं, और आपके लिए समस्याएँ पैदा न करने के लिए, यहाँ जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन उदाहरण #4

आपके पास एक लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए एक और मिलियन कमाते हैं। यानी हर साल की शुरुआत में आपका एक लाख दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अभी बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती और .. मूर्ख हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में जवाब देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले साल में - दो गुना दो ... दूसरे साल में - क्या हुआ, दो और से, तीसरे साल में ... रुक जाओ! आपने देखा कि संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है। तो दो से पांचवीं शक्ति एक लाख है! अब कल्पना कीजिए कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो तेजी से गणना करता है उसे ये लाखों मिलेंगे ... क्या संख्याओं की डिग्री याद रखने लायक है, आपको क्या लगता है?

वास्तविक जीवन उदाहरण #5

आपके पास एक लाख है। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए दो और कमाते हैं। यह बहुत अच्छा है ना? हर मिलियन तीन गुना है। आपके पास एक साल में कितना पैसा होगा? गिनती करते हैं। पहला वर्ष - गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से ... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले से ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को अपने आप से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति एक लाख है। आपको बस यह याद रखने की जरूरत है कि तीन से चौथी घात या है।

अब आप जानते हैं कि किसी संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाकर, आप अपने जीवन को बहुत आसान बना देंगे। आइए आगे देखें कि आप डिग्री के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की जरूरत है।

नियम और अवधारणाएं ... ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। तुम क्या सोचते हो, घातांक क्या है?? यह बहुत आसान है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान...

खैर, उसी समय, क्या डिग्री का ऐसा आधार? और भी सरल वह संख्या है जो सबसे नीचे, आधार पर है।

आपके लिए सुनिश्चित करने के लिए यहां एक तस्वीर है।

अच्छी तरह से और में सामान्य दृष्टि सेसामान्यीकरण और बेहतर याद रखने के लिए ... आधार "" और एक घातांक "" के साथ एक डिग्री को "डिग्री तक" के रूप में पढ़ा जाता है और इस प्रकार लिखा जाता है:

प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि घातांक एक प्राकृत संख्या है। हाँ, लेकिन क्या है प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनने में किया जाता है: एक, दो, तीन ... जब हम वस्तुओं की गिनती करते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात"। हम "एक तिहाई" या "शून्य दशमलव पांच दसवां" भी नहीं कहते हैं। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं। आपको क्या लगता है ये संख्याएँ क्या हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात" जैसी संख्याएं संदर्भित करती हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांक में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात ऋण चिह्न के साथ ली गई), और एक संख्या शामिल होती है। शून्य को समझना आसान है - यह तब है जब कुछ भी नहीं है। और ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को दर्शाने के लिए किया गया था: यदि आपके पास रूबल में आपके फोन पर शेष राशि है, तो इसका मतलब है कि आप ऑपरेटर के रूबल का भुगतान करते हैं।

सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। वे कैसे आए, क्या आपको लगता है? बहुत आसान। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों ने पाया कि लंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि को मापने के लिए उनके पास पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएं नहीं थीं। और वे साथ आए परिमेय संख्या... दिलचस्प है, है ना?

अपरिमेय संख्याएँ भी हैं। ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, अंतहीन दशमलव. उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक)।

पहली घात का कोई भी अंक स्वयं के बराबर होता है:
किसी संख्या का वर्ग करने के लिए उसे अपने आप से गुणा करना है:
किसी संख्या को घन करने के लिए उसे अपने आप से तीन गुना गुणा करना है:

परिभाषा।किसी संख्या को प्राकृतिक घात में बढ़ाने के लिए संख्या को अपने आप से गुणा करना है:
.

डिग्री गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं आपको अभी दिखाऊंगा।

आइए देखें क्या है तथा ?

परिभाषा से:

कुल कितने गुणक होते हैं?

यह बहुत आसान है: हमने कारकों में कारक जोड़े हैं, और परिणाम कारक है।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, जो कि: है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

उदाहरण: व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

समाधान:यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे शासन में आवश्यक रूप सेएक ही कारण होना चाहिए!
इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी परिस्थिति में आपको ऐसा नहीं लिखना चाहिए।

2. वह है -एक संख्या की शक्ति

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

वास्तव में, इसे "संकेतक को ब्रैकेट करना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन यह सच नहीं है, वास्तव में।

एक नकारात्मक आधार के साथ शक्ति

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि घातांक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

डिग्री में प्राकृतिक संकेतकआधार हो सकता है कोई संख्या. वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों।

आइए इस बारे में सोचें कि किन संकेतों ("" या "") में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ? पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम से गुणा करें, तो यह पता चला है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

यहां उत्तर दिए गए हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में, सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है!

6 अभ्यास उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उन्हें उलट दिया जाता है, तो नियम लागू हो सकता है।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

पूरेहम प्राकृतिक संख्याओं को नाम देते हैं, उनके विपरीत (अर्थात, "" चिह्न के साथ लिया जाता है) और संख्या।

सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले खंड जैसा दिखता है।

अब नए मामलों पर नजर डालते हैं। आइए बराबर से शुरू करते हैं।

शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, हम खुद से पूछते हैं: ऐसा क्यों है?

आधार के साथ कुछ शक्ति पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

इसलिए, हमने संख्या को इससे गुणा किया, और जैसा था - वैसा ही मिला। किस संख्या से गुणा किया जाना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू। माध्यम।

हम मनमाना संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद हैं। और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक तरफ, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - आप शून्य को अपने आप से कितना भी गुणा करें, फिर भी आपको शून्य मिलता है, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, किसी भी संख्या की तरह शून्य डिग्री तक, यह बराबर होना चाहिए। तो इस बात का सच क्या है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल नहीं होने का फैसला किया और शून्य को शून्य तक बढ़ाने से इनकार कर दिया। यानी अब हम न केवल शून्य से विभाजित कर सकते हैं, बल्कि इसे शून्य शक्ति तक बढ़ा भी सकते हैं।

चलिए और आगे बढ़ते हैं। प्राकृत संख्याओं और संख्याओं के अतिरिक्त, पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक डिग्री क्या है, आइए पिछली बार की तरह ही करें: हम कुछ सामान्य संख्या को उसी से ऋणात्मक डिग्री में गुणा करते हैं:

यहां से वांछित व्यक्त करना पहले से ही आसान है:

अब हम परिणामी नियम को एक मनमाना डिग्री तक बढ़ाते हैं:

तो, चलिए नियम बनाते हैं:

एक संख्या से एक ऋणात्मक घात समान संख्या का धनात्मक घात का विलोम होता है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

आइए संक्षेप करें:

I. अभिव्यक्ति को परिभाषित नहीं किया गया है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है: .

III. संख्या, नहीं शून्य, एक सकारात्मक शक्ति में एक ही संख्या के विपरीत एक नकारात्मक शक्ति के लिए:।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएं डरावनी हैं, लेकिन परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! यदि आप इसे हल नहीं कर पाए तो इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधान का विश्लेषण करें और आप सीखेंगे कि परीक्षा में उनसे आसानी से कैसे निपटें!

आइए एक घातांक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं की सीमा का विस्तार करना जारी रखें।

अब विचार करें परिमेय संख्या।किन संख्याओं को परिमेय कहा जाता है?

उत्तर: वह सब जिसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं, इसके अलावा।

क्या है समझने के लिए "आंशिक डिग्री"आइए एक अंश पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक शक्ति तक बढ़ाएं:

अब नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

किसी घात को प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या बढ़ानी चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या () की वें घात का मूल वह संख्या होती है, जिसे जब घात तक बढ़ाया जाता है, तो वह बराबर होती है।

अर्थात्, वें डिग्री की जड़ घातांक का व्युत्क्रम संचालन है:।

परिणाम यह निकला। जाहिर है, इस विशेष मामले को बढ़ाया जा सकता है:।

अब अंश जोड़ें: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम के साथ उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आखिरकार, सभी नंबरों से रूट नहीं निकाला जा सकता है।

कोई भी नहीं!

नियम याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाए जाने पर एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम अंश की जड़ें निकालना असंभव है!

और इसका अर्थ यह है कि ऐसी संख्याओं को एक सम भाजक के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, अर्थात व्यंजक का कोई अर्थ नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या पैदा हो जाती है।

संख्या को अन्य, कम किए गए अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह मौजूद है, लेकिन मौजूद नहीं है, और ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या एक और उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन जैसे ही हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, हमें फिर से परेशानी होती है: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए विचार करें भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल धनात्मक आधार घातांक.

तो अगर:

- प्राकृतिक संख्या;
एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

परिमेय घातांक वाली घातें व्यंजकों को जड़ों से बदलने के लिए बहुत उपयोगी होती हैं, उदाहरण के लिए:

5 अभ्यास उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब - सबसे कठिन। अब हम विश्लेषण करेंगे एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.

यहां डिग्री के सभी नियम और गुण ठीक उसी तरह हैं जैसे डिग्री के लिए एक तर्कसंगत घातांक के साथ, के अपवाद के साथ

वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है;

...शून्य शक्ति- यह, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित "संख्या रिक्त" है। , अर्थात् संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक घातांक- ऐसा लगता है जैसे एक निश्चित "रिवर्स प्रोसेस" हुआ है, यानी संख्या को अपने आप से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

वैसे, विज्ञान अक्सर एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग करता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है।

लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

हमें यकीन है कि आप कहां जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीखते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधानों का विश्लेषण:

1. आइए डिग्री को एक डिग्री तक बढ़ाने के लिए पहले से ही सामान्य नियम से शुरू करें:

अब स्कोर देखिए। क्या वह आपको कुछ याद दिलाता है? हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करते हैं:

इस मामले में,

परिणाम यह निकला:

उत्तर: .

2. हम घातांक में भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दशमलव या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

अग्रवर्ती स्तर

डिग्री की परिभाषा

डिग्री फॉर्म की अभिव्यक्ति है: , जहां:

— डिग्री का आधार;
- प्रतिपादक।

प्राकृतिक घातांक के साथ घात (n = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है संख्या को अपने आप से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ शक्ति (0, ±1, ±2,...)

यदि घातांक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य शक्ति के लिए:

व्यंजक अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर तो किसी भी हद तक यह है, और दूसरी ओर, वें अंश तक कोई भी संख्या यह है।

यदि घातांक है पूर्णांक ऋणात्मकसंख्या:

(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

नल के बारे में एक बार और: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

- प्राकृतिक संख्या;
एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

डिग्री गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें।

आइए देखें: क्या है और?

परिभाषा से:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर, निम्नलिखित उत्पाद प्राप्त होता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात्:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान : .

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान : यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे नियम में आवश्यक रूप सेएक ही आधार होना चाहिए। इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी हालत में मुझे यह नहीं लिखना चाहिए।

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इसे इस तरह पुनर्व्यवस्थित करें:

वास्तव में, इसे "संकेतक को ब्रैकेट करना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:!

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन यह सच नहीं है, वास्तव में।

एक नकारात्मक आधार के साथ शक्ति।

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि क्या होना चाहिए अनुक्रमणिकाडिग्री। लेकिन आधार क्या होना चाहिए? डिग्री में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों। आइए इस बारे में सोचें कि किन संकेतों ("" या "") में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ?

पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम () से गुणा करते हैं, तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह एड इनफिनिटम: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ, चिन्ह बदल जाएगा। आप ये सरल नियम बना सकते हैं:

यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
ऋणात्मक संख्या तक बढ़ाई गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
किसी भी घात के लिए शून्य शून्य के बराबर होता है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में, सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि कौन सा कम है: या? यदि हम इसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, जिसका अर्थ है कि आधार शून्य से कम. यानी हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे में विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंतिम नियम का विश्लेषण करने से पहले, आइए कुछ उदाहरणों को हल करें।

भावों के मूल्यों की गणना करें:

समाधान :

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उन्हें उलट दिया जाता, तो नियम 3 लागू किया जा सकता था, लेकिन यह कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे इससे गुणा करते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलता है, है ना? लेकिन अब ऐसा दिखता है:

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!इसे हमारे लिए केवल एक आपत्तिजनक माइनस बदलकर नहीं बदला जा सकता है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करने जा रहे हैं? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा का विस्तार करें और सरल करें:

खैर, अब कोष्ठक खोलते हैं। कितने अक्षर होंगे? गुणक द्वारा बार - यह कैसा दिखता है? यह कुछ और नहीं बल्कि एक ऑपरेशन की परिभाषा है गुणा: कुल गुणक निकले। अर्थात्, यह परिभाषा के अनुसार, एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय संकेतक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात , अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है; शून्य डिग्री के लिए एक संख्या, जैसा कि था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक है निश्चित "एक संख्या की तैयारी", अर्थात् एक संख्या; एक पूर्णांक नकारात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री - ऐसा लगता है कि एक निश्चित "रिवर्स प्रक्रिया" हुई है, यानी संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की कल्पना करना बेहद मुश्किल है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना मुश्किल है)। बल्कि, यह एक विशुद्ध रूप से गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने एक डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के पूरे स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान अक्सर एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग करता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है। लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

तो अगर हम एक अपरिमेय घातांक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

उत्तर:

वर्ग सूत्र का अंतर याद रखें। उत्तर: ।
हम भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दोनों दशमलव, या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए: .
कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

खंड सारांश और बुनियादी सूत्र

डिग्रीफॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: , जहां:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक)।

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका सूचक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

घातांक जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री गुण

डिग्री की विशेषताएं।

ऋणात्मक संख्या तक बढ़ाई गई यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
ऋणात्मक संख्या तक बढ़ाई गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है।
कोई भी संख्या शून्य घात के बराबर होती है।

अब आपके पास एक शब्द है...

आपको लेख कैसा लगा? मुझे नीचे कमेंट में बताएं कि आपको यह पसंद आया या नहीं।

डिग्री के गुणों का उपयोग करने के अपने अनुभव के बारे में बताएं।

शायद आपके पास प्रश्न हैं। या सुझाव।

टिप्पणियों में लिखें।

और आपकी परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ!

प्रत्येक अंकगणितीय संक्रिया कभी-कभी रिकॉर्ड करने के लिए बहुत बोझिल हो जाती है और वे इसे सरल बनाने का प्रयास करते हैं। जोड़ ऑपरेशन के साथ भी ऐसा ही हुआ करता था। लोगों के लिए एक ही प्रकार के बार-बार परिवर्धन करना आवश्यक था, उदाहरण के लिए, एक सौ फारसी कालीनों की लागत की गणना करने के लिए, जिसकी लागत प्रत्येक के लिए 3 सोने के सिक्के हैं। 3+3+3+…+3 = 300। बोझिलता के कारण, यह अंकन को 3 * 100 = 300 तक कम करने के लिए आविष्कार किया गया था। वास्तव में, अंकन "तीन गुना एक सौ" का अर्थ है कि आपको एक सौ लेने की आवश्यकता है ट्रिपल और उन्हें एक साथ जोड़ें। गुणन ने जड़ ली, सामान्य लोकप्रियता हासिल की। लेकिन दुनिया अभी भी खड़ी नहीं है, और मध्य युग में एक ही प्रकार के बार-बार गुणा करना आवश्यक हो गया। मुझे एक बुद्धिमान व्यक्ति के बारे में एक पुरानी भारतीय पहेली याद आती है जिसने गेहूं के दाने मांगे थे अगली राशि: बिसात की पहली कोठरी के लिए उसने एक दाना मांगा, दूसरे के लिए - दो, तीसरा - चार, पाँचवाँ - आठ, इत्यादि। इस प्रकार शक्तियों का पहला गुणन प्रकट हुआ, क्योंकि अनाज की संख्या कोशिका संख्या की शक्ति के दो के बराबर थी। उदाहरण के लिए, अंतिम सेल पर 2*2*2*…*2 = 2^63 दाने होंगे, जो 18 वर्णों की संख्या के बराबर है, जो वास्तव में पहेली का अर्थ है।

एक शक्ति को बढ़ाने के संचालन ने बहुत तेजी से जड़ें जमा लीं, और डिग्री के जोड़, घटाव, विभाजन और गुणा करना भी जल्दी से आवश्यक हो गया। उत्तरार्द्ध अधिक विस्तार से विचार करने योग्य है। शक्तियों को जोड़ने के सूत्र सरल और याद रखने में आसान हैं। इसके अलावा, यह समझना बहुत आसान है कि वे कहां से आते हैं यदि पावर ऑपरेशन को गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। लेकिन पहले आपको प्राथमिक शब्दावली को समझने की जरूरत है। व्यंजक a ^ b (पढ़ें "a to power of b") का अर्थ है कि संख्या a को स्वयं b गुना से गुणा किया जाना चाहिए, और "a" को डिग्री का आधार कहा जाता है, और "b" घातांक है। यदि शक्तियों के आधार समान हैं, तो सूत्र काफी सरलता से निकाले जाते हैं। विशिष्ट उदाहरण: व्यंजक 2^3 * 2^4 का मान ज्ञात कीजिए। क्या होना चाहिए, यह जानने के लिए आपको समाधान शुरू करने से पहले कंप्यूटर पर इसका उत्तर पता करना चाहिए। किसी भी ऑनलाइन कैलकुलेटर, सर्च इंजन में इस एक्सप्रेशन को दर्ज करते हुए, "विभिन्न आधारों और समान के साथ शक्तियों का गुणन" या गणितीय पैकेज टाइप करके, आउटपुट 128 होगा। अब इस एक्सप्रेशन को लिखते हैं: 2^3 = 2*2*2, और 2^4 = 2 *2*2*2। यह पता चला है कि 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) । यह पता चला है कि समान आधार वाली शक्तियों का गुणनफल किसी घात के लिए उठाए गए आधार के बराबर होता है, योग के बराबरपिछले दो डिग्री।

आप सोच सकते हैं कि यह एक दुर्घटना है, लेकिन नहीं: कोई अन्य उदाहरण केवल इस नियम की पुष्टि कर सकता है। इस प्रकार, सामान्य तौर पर, सूत्र इस तरह दिखता है: a^n * a^m = a^(n+m) । एक नियम यह भी है कि शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है। यहां हमें नकारात्मक शक्तियों का नियम याद रखना चाहिए: a^(-n) = 1 / a^n। अर्थात्, यदि 2^3 = 8, तो 2^(-3) = 1/8। इस नियम का उपयोग करके, हम समानता साबित कर सकते हैं a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) को कम किया जा सकता है और एक रहता है। इससे यह नियम निकलता है कि समान आधार वाली घातों का भागफल इस आधार के बराबर है जो कि भाज्य और भाजक के भागफल के बराबर है: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) । उदाहरण: व्यंजक 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) को सरल कीजिए। गुणा एक कम्यूटेटिव ऑपरेशन है, इसलिए गुणन घातांक को पहले जोड़ा जाना चाहिए: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. इसके बाद, आपको विभाजन से नकारात्मक डिग्री से निपटना चाहिए। भाज्य घातांक से भाजक घातांक को घटाना आवश्यक है: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. यह यह पता चलता है कि ऋणात्मक अंश से भाग देने की क्रिया समान धनात्मक घातांक द्वारा गुणन की संक्रिया के समान है। तो अंतिम उत्तर 8 है।

ऐसे उदाहरण हैं जहां शक्तियों का गैर-विहित गुणन होता है। विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करना अक्सर अधिक कठिन होता है, और कभी-कभी असंभव भी होता है। विभिन्न संभावित दृष्टिकोणों के कई उदाहरण दिए जाने चाहिए। उदाहरण: व्यंजक 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 को सरल बनाएं। जाहिर है, विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों का गुणन होता है। लेकिन, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी आधार एक ट्रिपल की अलग-अलग शक्तियां हैं। 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6। नियम (a^n) ^m = a^(n*m) का उपयोग करते हुए, आपको व्यंजक को अधिक सुविधाजनक रूप में फिर से लिखना चाहिए: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) । उत्तर: 3^11. ऐसे मामलों में जहां अलग-अलग आधार हैं, नियम a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n समान संकेतकों के लिए काम करता है। उदाहरण के लिए, 3^3 * 7^3 = 21^3। अन्यथा, जब अलग-अलग आधार और संकेतक होते हैं, तो पूर्ण गुणा करना असंभव है। कभी-कभी आप कंप्यूटर तकनीक की मदद से आंशिक रूप से सरल या सहारा ले सकते हैं।

एक ही आधार लेकिन विभिन्न शक्तियों वाली संख्याएँ। बिजली जोड़ने के नियम

शक्तियों का जोड़ और घटाव

शक्ति गुणन

डिग्री का विभाजन

घातांक वाली संख्याओं वाले भिन्नों वाले उदाहरणों को हल करने के उदाहरण

डिग्री गुण

संपत्ति #1 शक्तियों का उत्पाद

संपत्ति #2 निजी डिग्री

संपत्ति #3 घातांक

शक्तियों को कैसे गुणा करें

एक ही आधार के साथ शक्तियों को गुणा करना

यह वीडियो ट्यूटोरियल सदस्यता द्वारा उपलब्ध है

1. मूल परिभाषाएं

2. प्रमेय का कथन 1

3. कार्यों की व्याख्या करना

4. प्रमेय का प्रमाण 1

5. प्रमेय 1 का प्रयोग करके उदाहरणों का हल

6. प्रमेय का सामान्यीकरण 1

7. प्रमेय 1 के सामान्यीकरण का उपयोग करके उदाहरणों का समाधान

8. प्रमेय का प्रयोग करके विभिन्न समस्याओं को हल करना 1

9. सारांशित करना

एक ही घातांक के साथ शक्तियों का गुणन और विभाजन

बुनियादी परिभाषाओं और प्रमेयों की याद

समान घातांक वाली घातों को गुणा करने के उदाहरण

प्रमेय 4 . का कथन और प्रमाण

प्रमेय 5 . का कथन और प्रमाण

प्रमेयों का कथन शब्दों में

प्रमेय 4 का प्रयोग करके विशिष्ट समस्याओं का समाधान

प्रमेय 4 . का सामान्यीकरण

सामान्यीकृत प्रमेय का उपयोग करके उदाहरणों को हल करना 4

विशिष्ट समस्याओं को हल करना जारी रखें

गणना उदाहरण

"गुणों का गुणन और विभाजन" विषय पर गणित का पाठ

I. छात्रों द्वारा मौजूदा ज्ञान में महारत हासिल करने के प्रदर्शन का संगठन। (स्टेप 1)

द्वितीय. प्रासंगिक अनुभव के कब्जे की डिग्री द्वारा प्रशिक्षु के स्व-मूल्यांकन का संगठन। (चरण दो)

III. शैक्षिक और व्यावहारिक कार्य (चरण 3) + चरण 4। (छात्र स्वयं गुण तैयार करेंगे)

चतुर्थ। ज्ञान की सीमा के छात्रों के लिए संचार (न्यूनतम और अधिकतम के रूप में)।

V. नई सामग्री के अध्ययन का संगठन। (चरण 5)

सातवीं। गृहकार्य।

डिग्री, फॉर्मूलेशन, सबूत, उदाहरण के गुण।

प्राकृतिक संकेतकों के साथ डिग्री के गुण

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुण

परिमेय घातांक वाली शक्तियों के गुण

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुण

प्राकृतिक विज्ञान और गणित पर लेख

समान आधार वाली शक्तियों के गुण

जोड़ और घटाव के नियम।

परिमेय संख्याओं का जोड़ और घटाव

पूर्ण संख्याओं का जोड़ और घटाव

पूर्णांक जोड़ और घटाव उदाहरण

पूर्णांकों को जोड़ने और घटाने के नियम

डिग्री और उसके गुण। व्यापक गाइड (2019)

प्रथम स्तर

किसी संख्या को घात में बढ़ाना

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

वास्तविक जीवन का उदाहरण #2

वास्तविक जीवन उदाहरण #3

वास्तविक जीवन उदाहरण #4

वास्तविक जीवन उदाहरण #5

नियम और अवधारणाएं ... ताकि भ्रमित न हों

डिग्री गुण

एक नकारात्मक आधार के साथ शक्ति

6 अभ्यास उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों का विश्लेषण:

5 अभ्यास उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

अपने लिए तय करें:

समाधानों का विश्लेषण:

अग्रवर्ती स्तर

डिग्री की परिभाषा

प्राकृतिक घातांक के साथ घात (n = 1, 2, 3,...)

पूर्णांक घातांक के साथ शक्ति (0, ±1, ±2,...)

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

डिग्री गुण

एक नकारात्मक आधार के साथ शक्ति।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

खंड सारांश और बुनियादी सूत्र

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