बिना खंड के किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात करें। किस बिंदु पर अवकलज का मान सबसे बड़ा होता है?

कभी-कभी समस्याओं में बी 14 "खराब" कार्य होते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न खोजना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल जांच पर था, लेकिन अब ये कार्य इतने सामान्य हो गए हैं कि इस परीक्षा की तैयारी करते समय इन्हें अनदेखा नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, अन्य तरकीबें काम करती हैं, जिनमें से एक एकरसता है। परिभाषा फलन f (x) को खंड पर नीरस रूप से बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है: x 1

परिभाषा। फ़ंक्शन f (x) को खंड पर मोनोटोनिक रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्न है: x 1 f (x 2)। दूसरे शब्दों में, एक वर्धमान फलन के लिए, जितना बड़ा x, उतना बड़ा f(x)। घटते हुए कार्य के लिए, विपरीत सत्य है: बड़ा x, छोटा f(x)।

उदाहरण। लघुगणक एकात्मक रूप से बढ़ता है यदि आधार a > 1 और एकात्मक रूप से घटता है यदि 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, और मोनोटोनिक रूप से घटता है यदि 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, और मोनोटोनिक रूप से घटता है यदि 0 0. f (x) = log a x (a > 0) ; a 1; x > 0)"> 1, और यदि 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LANG:उदाहरण लघुगणक है) तो मोनोटोनिक रूप से घटता है नीरस रूप से बढ़ रहा है अगर आधार a> 1 और नीरस रूप से घट रहा है अगर 0 0. f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0)"> title="उदाहरण। लघुगणक एकात्मक रूप से बढ़ता है यदि आधार a > 1 और एकात्मक रूप से घटता है यदि 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

उदाहरण। घातीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a> 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है: 1 और 0 0:"> 1 पर घट रहा है और 0 0:"> 1 पर घट रहा है और 0 0 पर घट रहा है:" शीर्षक="(!LANG: उदाहरण। एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन एक लघुगणक की तरह व्यवहार करता है: यह a > 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है:"> title="उदाहरण। घातीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a> 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है:"> !}

0) या नीचे (एक 0) या नीचे (एक 9पैराबोला वर्टेक्स निर्देशांक अक्सर, फ़ंक्शन तर्क को फॉर्म के स्क्वायर ट्रिनोमियल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक पैराबोला है जिसमें हम शाखाओं में रूचि रखते हैं: पैराबोला शाखाएं ऊपर जा सकती हैं (ए> 0 के लिए) या नीचे (ए 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (a 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (a title="(!LANG: परवलय शीर्ष निर्देशांक सबसे अधिक बार, फ़ंक्शन तर्क रूप के एक वर्ग ट्रिनोमियल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक परवलय है, जिसमें हम शाखाओं में रुचि रखते हैं: एक परवलय की शाखाएँ ऊपर जा सकती हैं (a > 0 के लिए) या नीचे (a

समस्या की स्थिति में कोई खंड नहीं है। इसलिए, f(a) और f(b) की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करने के लिए बनी हुई है; लेकिन केवल एक ऐसा बिंदु है - यह पैराबोला x 0 का शीर्ष है, जिसके निर्देशांक की गणना शाब्दिक रूप से और बिना किसी डेरिवेटिव के की जाती है।

इस प्रकार, समस्या का समाधान बहुत सरल हो गया है और केवल दो चरणों तक कम हो गया है: परबोला के समीकरण को लिखें और सूत्र का उपयोग करके इसका शीर्ष ज्ञात करें: इस बिंदु पर मूल फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें: f (x 0)। यदि कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, तो यह उत्तर होगा।

0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG: फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: हल: मूल के अंतर्गत है द्विघात फंक्शनइस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखाओं के साथ एक पैराबोला है, क्योंकि गुणांक a = 1> 0. परबोला का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" वर्ग ="link_thumb"> 18फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: जड़ के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a \u003d 1\u003e 0. परवलय का शीर्ष: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" शीर्षक="(!LANG: सबसे छोटा मान ज्ञात करें फ़ंक्शन का: समाधान: जड़ के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a \u003d 1\u003e 0. परवलय का शीर्ष: x 0 \u003d b / ( 2ए) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> title="फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: जड़ के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a \u003d 1\u003e 0. परवलय का शीर्ष: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3"> !}

फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल लघुगणक के अंतर्गत पुनः एक द्विघात फलन है। a = 1 > 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2) 1) = 2/2 = 1"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" शीर्षक="(!LANG: सबसे छोटा मान ज्ञात करें फ़ंक्शन का: लघुगणक के तहत समाधान फिर से एक द्विघात कार्य है। शाखाओं के साथ परवलय का ग्राफ, क्योंकि a \u003d 1\u003e 0. परवलय का शीर्ष: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल लघुगणक के अंतर्गत पुनः एक द्विघात फलन है। a = 1 > 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

पाना उच्चतम मूल्यकार्य: समाधान: प्रतिपादक में एक द्विघात फलन होता है आइए इसे सामान्य रूप में फिर से लिखें: यह स्पष्ट है कि इस फलन का ग्राफ एक परवलय है, शाखाएं नीचे (a = 1

फलन के क्षेत्र से परिणाम कभी-कभी, समस्या B14 को हल करने के लिए, केवल परवलय के शीर्ष का पता लगाना पर्याप्त नहीं होता है। वांछित मान खंड के अंत में हो सकता है, और चरम बिंदु पर बिल्कुल नहीं। यदि कार्य किसी खंड को बिल्कुल भी निर्दिष्ट नहीं करता है, तो क्षेत्र को देखें अनुमत मानमूल समारोह। अर्थात्:

0 2. अंकगणित वर्गमूलकेवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:" शीर्षक="(!LANG:1. लघुगणक तर्क धनात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:" class="link_thumb"> 26 !} 1. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर बराबर नहीं होना चाहिए शून्य: 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. अंश का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए: "> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. अंश का हर अंश शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:"> 0 2. अंकगणित वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:" शीर्षक="(!LANG:1. लघुगणक तर्क होना चाहिए धनात्मक: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणित वर्ग जड़ केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:"> title="1. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर बराबर नहीं होना चाहिए शून्य:"> !}

हल वर्गमूल पुनः एक द्विघात फलन है। इसका ग्राफ एक परवलय है, लेकिन शाखाएं नीचे की ओर हैं क्योंकि a = 1
अब पैराबोला का शीर्ष ज्ञात करें: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 बिंदु x 0 = 1 ODZ खंड से संबंधित है और वह है अच्छा। अब हम बिंदु x 0 पर और साथ ही ODZ: y (3) \u003d y (1) \u003d 0 के सिरों पर फ़ंक्शन के मान पर विचार करते हैं, इसलिए हमें संख्या 2 और 0 मिली। हमसे पूछा जाता है सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए 2. उत्तर: 2

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए छोर ODZ से संबंधित नहीं हैं। इस तरह, लघुगणक जड़ से भिन्न होता है, जहाँ खंड के सिरे हमें काफी अच्छी तरह से सूट करते हैं। हम परबोला के शीर्ष की तलाश कर रहे हैं: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 लेकिन चूंकि खंड के अंत में हमें कोई दिलचस्पी नहीं है, हम फ़ंक्शन के मान को केवल बिंदु x 0 पर मानते हैं:

Y min = y(3) = log 0.5 (6 ) = = log 0.5 (18 9 5) = log 0.5 4 = 2 उत्तर: -2

एक खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने की प्रक्रिया एक हेलीकॉप्टर पर एक वस्तु (फ़ंक्शन का एक ग्राफ़) के चारों ओर एक आकर्षक उड़ान की याद दिलाती है, जिसमें कुछ बिंदुओं पर लंबी दूरी की तोप से फायरिंग होती है और चुनने से ये पॉइंट्स कंट्रोल शॉट्स के लिए बेहद खास पॉइंट्स हैं। अंक एक निश्चित तरीके से और कुछ नियमों के अनुसार चुने जाते हैं। किस नियम से? इस बारे में हम आगे बात करेंगे।

यदि समारोह वाई = एफ(एक्स) अंतराल पर निरंतर [ एक, बी] , फिर यह इस सेगमेंट पर पहुंचता है कम से कम तथा उच्चतम मूल्य . यह या तो में हो सकता है चरम बिंदुया खंड के अंत में। इसलिए खोजने के लिए कम से कम तथा समारोह का सबसे बड़ा मूल्य खंड पर निरंतर [ एक, बी] , आपको इसके सभी मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण बिंदुऔर खंड के अंत में, और फिर उनमें से सबसे छोटा और सबसे बड़ा चुनें।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का अधिकतम मान निर्धारित करना आवश्यक है एफ(एक्स) खंड पर [ एक, बी] . ऐसा करने के लिए, इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें [ एक, बी] .

महत्वपूर्ण बिंदु बिंदु कहा जाता है समारोह परिभाषित, और उसकी यौगिकया तो शून्य है या मौजूद नहीं है। फिर आपको महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करनी चाहिए। और, अंत में, किसी को महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना करनी चाहिए ( एफ(एक) तथा एफ(बी) ). इनमें से सबसे बड़ी संख्या होगी खंड पर समारोह का सबसे बड़ा मूल्य [एक, बी] .

खोजने की समस्या फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान .

हम एक साथ फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की तलाश कर रहे हैं

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 2] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं। व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और दो महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: और। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, यह खंड के अंत में और बिंदु पर इसके मूल्यों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि बिंदु खंड से संबंधित नहीं है [-1, 2] . ये Function Values ​​निम्नलिखित हैं: , , . यह इस प्रकार है कि सबसे छोटा फ़ंक्शन मान(नीचे दिए गए ग्राफ़ पर लाल रंग से चिह्नित), -7 के बराबर, खंड के दाहिने सिरे पर पहुँच जाता है - बिंदु पर, और महानतम(ग्राफ पर भी लाल), 9 के बराबर है, - महत्वपूर्ण बिंदु पर।

यदि फ़ंक्शन एक निश्चित अंतराल में निरंतर है और यह अंतराल एक खंड नहीं है (लेकिन, उदाहरण के लिए, एक अंतराल है; एक अंतराल और एक खंड के बीच का अंतर: अंतराल के सीमा बिंदु अंतराल में शामिल नहीं हैं, लेकिन सेगमेंट के सीमा बिंदुओं को सेगमेंट में शामिल किया गया है), तो फ़ंक्शन के मानों में सबसे छोटा और सबसे बड़ा नहीं हो सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया कार्य ]-∞, +∞[ पर निरंतर है और इसका सबसे बड़ा मान नहीं है।

हालांकि, किसी भी अंतराल (बंद, खुला, या अनंत) के लिए, निरंतर कार्यों की निम्नलिखित संपत्ति रखती है।

उदाहरण 4. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 3] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं:

.

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो हमें एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह अंतराल [-1, 3] से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

आइए इन मूल्यों की तुलना करें। निष्कर्ष: -5/13 के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यबिंदु पर 1 के बराबर।

हम फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों को एक साथ खोजना जारी रखते हैं

ऐसे शिक्षक हैं, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के विषय पर, छात्रों को उन उदाहरणों की तुलना में अधिक जटिल नहीं देते हैं, जिनमें फ़ंक्शन एक बहुपद या एक अंश है, अंश और जिनके हर बहुपद हैं। लेकिन हम खुद को ऐसे उदाहरणों तक सीमित नहीं रखेंगे, क्योंकि शिक्षकों में छात्रों को पूर्ण रूप से सोचने के प्रेमी हैं (डेरिवेटिव की तालिका)। इसलिए, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा।

उदाहरण 6. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को इस प्रकार पाते हैं उत्पाद का व्युत्पन्न :

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

सभी कार्यों का परिणाम: समारोह अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुँच जाता है, 0 के बराबर, एक बिंदु पर और एक बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यके बराबर इ², बिंदु पर।

उदाहरण 7. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:

व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु खंड से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

निष्कर्ष: समारोह अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुँच जाता है, के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्य, के बराबर, बिंदु पर।

लागू चरम समस्याओं में, एक नियम के रूप में, सबसे छोटे (सबसे बड़े) फ़ंक्शन मानों को न्यूनतम (अधिकतम) खोजने के लिए कम किया जाता है। लेकिन यह स्वयं मिनिमा या मैक्सिमा नहीं है जो अधिक व्यावहारिक हित के हैं, बल्कि उस तर्क के मूल्य हैं जिस पर उन्हें हासिल किया जाता है। लागू समस्याओं को हल करते समय, एक अतिरिक्त कठिनाई उत्पन्न होती है - कार्यों का संकलन जो विचाराधीन घटना या प्रक्रिया का वर्णन करता है।

उदाहरण 8 4 की क्षमता वाला एक टैंक, जिसमें चौकोर आधार के साथ समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है और शीर्ष पर खुला होता है, को टिन किया जाना चाहिए। कम से कम सामग्री के साथ इसे कवर करने के लिए टैंक का आयाम क्या होना चाहिए?

समाधान। होने देना एक्स- आधार पक्ष एच-टैंक ऊंचाई, एस- इसका सतह क्षेत्र बिना आवरण के, वी- इसकी मात्रा। टैंक का सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है, अर्थात। दो चर का एक कार्य है। ज़ाहिर करना एसएक चर के एक समारोह के रूप में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि, जहां से। मिली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना एचके लिए सूत्र में एस:

आइए हम इस फ़ंक्शन की चरम सीमा की जाँच करें। यह ]0, +∞[ , और में हर जगह परिभाषित और भिन्न है

.

हम व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करते हैं और महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं। इसके अलावा, पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, लेकिन यह मान परिभाषा के डोमेन में शामिल नहीं है और इसलिए एक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। तो, - एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु। आइए इसे दूसरे पर्याप्त मानदंड का उपयोग करके एक चरम सीमा की उपस्थिति के लिए जांचें। आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। जब दूसरा व्युत्पन्न शून्य () से अधिक हो। इसका मतलब यह है कि जब फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुंचता है . क्योंकि यह न्यूनतम - इस फ़ंक्शन का एकमात्र चरम, यह इसका सबसे छोटा मान है. तो, टैंक के आधार का किनारा 2 मीटर और इसकी ऊंचाई के बराबर होना चाहिए।

उदाहरण 9पैराग्राफ से ए, रेलवे लाइन पर स्थित है, बिंदु तक से, उससे कुछ दूरी पर एल, माल ले जाया जाना चाहिए। रेल द्वारा प्रति इकाई दूरी पर एक भार इकाई के परिवहन की लागत के बराबर है, और राजमार्ग द्वारा यह बराबर है। किस बिंदु पर एमरेलवे लाइन से माल परिवहन के लिए राजमार्ग होना चाहिए लेकिनमें सेसबसे किफायती था अबरेलमार्ग को सीधा माना जाता है)?

किसी फलन का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम (चरम) के लिए आवश्यक शर्त इस प्रकार है: यदि फ़ंक्शन f(x) बिंदु x = a पर चरम है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य या अनंत है, या करता है मौजूद नहीं।

यह स्थिति आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। बिंदु पर व्युत्पन्न x = a गायब हो सकता है, अनंत तक जा सकता है, या इस बिंदु पर चरम सीमा वाले फ़ंक्शन के बिना मौजूद नहीं हो सकता है।

फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f?(x) a के बाईं ओर धनात्मक है और a के दाईं ओर ऋणात्मक है, तो बिंदु x = स्वयं पर, फलन f(x) है ज्यादा से ज्यादा

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f? (x) a के बाईं ओर ऋणात्मक है और a के दाईं ओर धनात्मक है, तो बिंदु x = स्वयं पर, फलन f(x) है न्यूनतमबशर्ते कि फलन f(x) यहाँ संतत हो।

इसके बजाय, आप फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरी पर्याप्त स्थिति का उपयोग कर सकते हैं:

चलो बिंदु पर x = और पहला व्युत्पन्न f? (x) गायब हो जाता है; यदि दूसरा व्युत्पन्न f??(а) ऋणात्मक है, तो फलन f(x) बिंदु x = a पर अधिकतम है, यदि यह धनात्मक है, तो न्यूनतम है।

किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु क्या है और इसे कैसे खोजें?

यह फ़ंक्शन तर्क का मान है जिस पर फ़ंक्शन का चरम (यानी अधिकतम या न्यूनतम) होता है। इसे खोजने के लिए, आपको चाहिए व्युत्पन्न खोजेंफलन f?(x) और, इसे शून्य के बराबर करने पर, प्रश्न हल करें f?(x) = 0। इस समीकरण की जड़ें, साथ ही वे बिंदु जिन पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, महत्वपूर्ण बिंदु हैं, अर्थात, तर्क के मान जिस पर एक चरम सीमा हो सकती है . इन्हें देखकर आसानी से पहचाना जा सकता है व्युत्पन्न ग्राफ: हम तर्क के उन मूल्यों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एब्सिस्सा अक्ष (ऑक्स अक्ष) को काटता है और जिन पर ग्राफ़ टूटता है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें परबोला का चरम.

फलन y(x) = 3x2 + 2x - 50।

फलन व्युत्पन्न: y?(x) = 6x + 2

हम समीकरण को हल करते हैं: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

इस स्थिति में, महत्वपूर्ण बिंदु x0=-1/3 है। यह फ़ंक्शन के तर्क के इस मान के लिए है चरम. उसे पाने के लिए पाना, हम "x" के बजाय फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति में मिली संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333।

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम कैसे निर्धारित करें, अर्थात इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य?

यदि महत्वपूर्ण बिंदु x0 से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो x0 है अधिकतम बिंदु; यदि अवकलज का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है, तो x0 है न्यूनतम बिंदु; यदि चिन्ह नहीं बदलता है, तो बिंदु x0 पर न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम है।

माना उदाहरण के लिए:

हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर तर्क का मनमाना मान लेते हैं: x = -1

जब x = -1, व्युत्पन्न का मान y होगा? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (यानी, ऋण चिह्न)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर तर्क का मनमाना मान लेते हैं: x = 1

x = 1 के लिए, अवकलज का मान होगा y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (अर्थात् धन चिह्न)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, डेरिवेटिव ने साइन को माइनस से प्लस में बदल दिया। इसका अर्थ है कि x0 के क्रांतिक मान पर हमारे पास एक न्यूनतम बिंदु है।

समारोह का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य अंतराल पर(सेगमेंट पर) एक ही प्रक्रिया द्वारा पाए जाते हैं, केवल इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि, शायद, सभी महत्वपूर्ण बिंदु निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं होंगे। वे महत्वपूर्ण बिंदु जो अंतराल के बाहर हैं, उन्हें विचार से बाहर रखा जाना चाहिए। यदि अंतराल के अंदर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, तो इसका या तो अधिकतम या न्यूनतम होगा। इस मामले में, सबसे बड़ा और निर्धारित करने के लिए सबसे छोटे मूल्यफ़ंक्शंस, हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन के मानों को भी ध्यान में रखते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें

वाई (एक्स) \u003d 3 पाप (एक्स) - 0.5x

अंतरालों पर:

अतः फलन का अवकलज है

वाई? (एक्स) = 3cos (एक्स) - 0.5

हम समीकरण 3cos(x) - 0.5 = 0 को हल करते हैं

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± आर्ककोस (0.16667) + 2πk।

हम अंतराल [-9; 9]:

x \u003d आर्ककोस (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन के मान पाते हैं:

वाई (-7.687) = 3cos (-7.687) - 0.5 = 0.885

वाई (-4.88) = 3cos (-4.88) - 0.5 = 5.398

वाई (-1.403) = 3cos (-1.403) - 0.5 = -2.256

वाई (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

वाई (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

वाई (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-9; 9] फ़ंक्शन का x = -4.88 पर सबसे बड़ा मान है:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398।

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: x = -4.88। x = -4.88 पर फलन का मान y = 5.398 है।

हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान पाते हैं:

वाई(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

वाई(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है

वाई = 5.398 एक्स = -4.88 पर

सबसे छोटा मान है

वाई = 1.077 एक्स = -3 पर

फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु कैसे खोजें और उत्तलता और समतलता के पक्षों का निर्धारण कैसे करें?

रेखा y \u003d f (x) के सभी विभक्ति बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, इसे शून्य के बराबर करें (समीकरण को हल करें) और x के उन सभी मानों का परीक्षण करें जिनके लिए दूसरा व्युत्पन्न शून्य है , अनंत या मौजूद नहीं है। यदि, इन मानों में से किसी एक से गुजरते समय, दूसरा अवकलज चिह्न बदल जाता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक मोड़ होता है। यदि यह नहीं बदलता है, तो कोई विभक्ति नहीं है।

समीकरण च की जड़ें ? (x) = 0, साथ ही फलन के विच्छिन्नता के संभावित बिंदु और दूसरा अवकलज, फलन के प्रांत को अनेक अंतरालों में विभाजित करते हैं। उनके प्रत्येक अंतराल पर उत्तलता दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि अध्ययन के तहत अंतराल पर एक बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो रेखा y = f(x) यहाँ ऊपर की ओर अवतल है, और यदि यह ऋणात्मक है, तो नीचे की ओर।

दो वेरिएबल्स के फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा कैसे खोजें?

फ़ंक्शन f(x, y) के एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए, इसके असाइनमेंट के क्षेत्र में अलग-अलग, आपको इसकी आवश्यकता है:

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफएक्स? (एक्स, वाई) = 0, वित्तीय वर्ष? (एक्स, वाई) = 0

2) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु P0(a;b) के लिए, जाँच करें कि क्या अंतर का चिन्ह अपरिवर्तित रहता है

सभी बिंदुओं (x; y) के लिए P0 के काफी करीब। यदि अंतर एक सकारात्मक संकेत रखता है, तो बिंदु P0 पर हमारे पास एक न्यूनतम, यदि नकारात्मक है, तो अधिकतम। यदि अंतर अपने संकेत को बरकरार नहीं रखता है, तो बिंदु Р0 पर कोई चरम सीमा नहीं है।

इसी तरह, फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा के लिए निर्धारित किया जाता है अधिकतर्क।

कभी-कभी समस्याओं में बी 15 "खराब" कार्य होते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न खोजना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल जांच पर था, लेकिन अब ये कार्य इतने सामान्य हो गए हैं कि इस परीक्षा की तैयारी करते समय इन्हें अनदेखा नहीं किया जा सकता है।

ऐसे में और भी टोटके काम करते हैं जिनमें से एक है - एक लय.

फ़ंक्शन f (x) को खंड पर एकान्त रूप से बढ़ते हुए कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1) < f (x2).

फ़ंक्शन f (x) को सेगमेंट पर मोनोटोनिक रूप से घटता हुआ कहा जाता है यदि इस सेगमेंट के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1) > एफ ( x2).

दूसरे शब्दों में, एक वर्धमान फलन के लिए, x जितना बड़ा होगा, f(x) उतना ही बड़ा होगा। एक ह्रासमान फलन के लिए, विपरीत सत्य है: जितना अधिक x, उतना अधिक कमच (एक्स).

उदाहरण के लिए, लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है यदि आधार a > 1 और नीरस रूप से घटता है यदि 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

परिभाषा के पूरे डोमेन पर अंकगणितीय वर्ग (और न केवल वर्ग) जड़ नीरस रूप से बढ़ता है:

घातीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a> 1 के लिए बढ़ता है और 0 के लिए घटता है< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

अंत में, एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री। आप उन्हें भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। उनके पास एक विराम बिंदु है जहां एकरसता टूट जाती है।

ये सभी कार्य अपने शुद्ध रूप में कभी नहीं पाए जाते हैं। उनमें बहुपद, भिन्न और अन्य बकवास जोड़ दी जाती है, जिससे अवकलज की गणना करना कठिन हो जाता है। इस मामले में क्या होता है - अब हम विश्लेषण करेंगे।

पैराबोला वर्टेक्स निर्देशांक

अक्सर, फ़ंक्शन तर्क को इसके साथ बदल दिया जाता है चौकोर ट्रिनोमियल y = ax 2 + bx + c के रूप में। इसका ग्राफ एक मानक परबोला है, जिसमें हम रुचि रखते हैं:

1. परबोला शाखाएँ - ऊपर जा सकती हैं (a > 0 के लिए) या नीचे (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. परवलय का शीर्ष द्विघात फलन का चरम बिंदु है, जिस पर यह फलन अपना सबसे छोटा (a > 0 के लिए) या सबसे बड़ा (a) लेता है।< 0) значение.

सबसे बड़ी दिलचस्पी है एक पैराबोला के ऊपर, जिसके भुज की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

तो, हमें द्विघात फलन का चरम बिंदु मिल गया है। लेकिन यदि मूल कार्य मोनोटोनिक है, तो इसके लिए बिंदु x 0 भी चरम बिंदु होगा। इस प्रकार, हम मुख्य नियम तैयार करते हैं:

वर्ग ट्रिनोमियल के चरम बिंदु और इसमें प्रवेश करने वाला जटिल कार्य मेल खाता है। इसलिए, आप वर्ग ट्रिनोमियल के लिए x 0 देख सकते हैं, और फ़ंक्शन के बारे में भूल सकते हैं।

उपरोक्त तर्क से, यह स्पष्ट नहीं रहता है कि हमें किस प्रकार का बिंदु मिलता है: अधिकतम या न्यूनतम। हालाँकि, कार्यों को विशेष रूप से डिज़ाइन किया गया है ताकि इससे कोई फर्क न पड़े। अपने लिए जज करें:

1. समस्या की स्थिति में कोई खंड नहीं है। इसलिए, f(a) और f(b) की गणना करना आवश्यक नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करने के लिए बनी हुई है;
2. लेकिन केवल एक ऐसा बिंदु है - यह पैराबोला एक्स 0 का शीर्ष है, जिसके निर्देशांक की गणना सचमुच मौखिक रूप से और बिना किसी डेरिवेटिव के की जाती है।

इस प्रकार, समस्या का समाधान बहुत सरल हो जाता है और केवल दो चरणों में कम हो जाता है:

1. परवलय समीकरण y = ax 2 + bx + c लिखें और सूत्र का उपयोग करके इसका शीर्ष ज्ञात करें: x 0 = −b /2a;
2. इस बिंदु पर मूल फलन का मान ज्ञात कीजिए: f (x 0)। यदि कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, तो यह उत्तर होगा।

पहली नज़र में, यह एल्गोरिथ्म और इसका औचित्य जटिल लग सकता है। मैं जानबूझकर "नंगे" समाधान योजना पोस्ट नहीं करता, क्योंकि ऐसे नियमों का विचारहीन आवेदन त्रुटियों से भरा होता है।

गणित में परीक्षण परीक्षा से वास्तविक कार्यों पर विचार करें - यह वह जगह है जहाँ यह तकनीक सबसे आम है। साथ ही हम यह सुनिश्चित करेंगे कि इस तरह से बी15 की कई समस्याएं लगभग मौखिक हो जाएं।

जड़ के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन y \u003d x 2 + 6x + 13 है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ शाखाओं के साथ एक परबोला है, क्योंकि गुणांक a \u003d 1\u003e 0 है।

परबोला का शीर्ष:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

चूँकि परबोला की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, बिंदु x 0 \u003d -3 पर, फ़ंक्शन y \u003d x 2 + 6x + 13 सबसे छोटा मान लेता है।

मूल नीरस रूप से बढ़ रहा है, इसलिए x 0 संपूर्ण कार्य का न्यूनतम बिंदु है। हमारे पास है:

एक कार्य। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

वाई = लॉग 2 (एक्स 2 + 2x + 9)

लघुगणक के तहत फिर से एक द्विघात कार्य होता है: y \u003d x 2 + 2x + 9। ग्राफ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि ए = 1> 0।

परबोला का शीर्ष:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

इसलिए, बिंदु x 0 = −1 पर, द्विघात फलन सबसे छोटा मान ग्रहण करता है। लेकिन फ़ंक्शन y = log 2 x मोनोटोन है, इसलिए:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

घातांक द्विघात फलन y = 1 − 4x − x 2 है। आइए इसे सामान्य रूप में फिर से लिखें: y = −x 2 − 4x + 1।

जाहिर है, इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक पैराबोला है, शाखाएं नीचे (ए = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

मूल कार्य चरघातांकी है, यह मोनोटोन है, इसलिए सबसे बड़ा मान पाया बिंदु x 0 = -2 पर होगा:

एक चौकस पाठक निश्चित रूप से ध्यान देगा कि हमने जड़ और लघुगणक के अनुमेय मूल्यों का क्षेत्र नहीं लिखा है। लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं थी: अंदर ऐसे कार्य होते हैं जिनके मूल्य हमेशा सकारात्मक होते हैं।

एक समारोह के दायरे से परिणाम

कभी-कभी, समस्या B15 को हल करने के लिए, परबोला के शीर्ष को खोजने के लिए पर्याप्त नहीं है। वांछित मूल्य झूठ हो सकता है खंड के अंत में, लेकिन चरम बिंदु पर नहीं। यदि कार्य किसी खंड को बिल्कुल भी निर्दिष्ट नहीं करता है, तो देखें सहिष्णुता सीमामूल समारोह। अर्थात्:

फिर से ध्यान दें: शून्य जड़ के नीचे अच्छी तरह से हो सकता है, लेकिन किसी अंश के लघुगणक या भाजक में कभी नहीं। आइए देखें कि यह विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करता है:

एक कार्य। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें:

जड़ के नीचे फिर से एक द्विघात कार्य होता है: y \u003d 3 - 2x - x 2। इसका ग्राफ एक परवलय है, लेकिन a = -1 के बाद से शाखाएं नीचे जाती हैं< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

हम स्वीकार्य मूल्यों (ODZ) का क्षेत्र लिखते हैं:

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; एक]

अब परवलय का शीर्ष ज्ञात कीजिए:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

बिंदु x 0 = -1 ODZ खंड से संबंधित है - और यह अच्छा है। अब हम बिंदु x 0 पर और साथ ही ODZ के सिरों पर फ़ंक्शन के मान पर विचार करते हैं:

वाई (−3) = वाई (1) = 0

तो, हमें नंबर 2 और 0 मिले। हमें सबसे बड़ा खोजने के लिए कहा जाता है - यह नंबर 2 है।

एक कार्य। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

वाई = लॉग 0.5 (6x - x 2 - 5)

लघुगणक के अंदर एक द्विघात फ़ंक्शन y \u003d 6x - x 2 - 5 है। यह शाखाओं के साथ एक परवलय है, लेकिन लघुगणक में ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती है, इसलिए हम ODZ लिखते हैं:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए छोर ODZ से संबंधित नहीं हैं। इस तरह, लघुगणक जड़ से भिन्न होता है, जहाँ खंड के सिरे हमें काफी अच्छी तरह से सूट करते हैं।

पैराबोला के शीर्ष की तलाश:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

पैराबोला का शीर्ष ओडीजेड के साथ फिट बैठता है: x 0 = 3 ∈ (1; 5)। लेकिन चूंकि खंड के अंत में हमें कोई दिलचस्पी नहीं है, हम फ़ंक्शन के मान को केवल बिंदु x 0 पर मानते हैं:

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2